Ters fonksiyon teoremi - Inverse function theorem

Gelen matematik , özellikle diferansiyel hesap , ters dönüşüm teoremi bir için yeterli bir koşul sağlar fonksiyonu olarak ters çevrilebilir bir de mahalle onun bir noktanın alanı , yani, onun bu: türevi sürekli ve sıfır olmayan noktada . Teoremi da verir formül için türevinin bir ters fonksiyonu . Çok değişkenli analizde , bu teorem , Jacobian determinantı kendi alanında bir noktada sıfır olmayan, sürekli türevlenebilir , vektör değerli herhangi bir fonksiyona genelleştirilebilir ve tersinin Jacobian matrisi için bir formül verir . Karmaşık holomorfik fonksiyonlar , manifoldlar arasında türevlenebilir haritalar , Banach uzayları arasında türevlenebilir fonksiyonlar ve benzeri için ters fonksiyon teoreminin versiyonları da vardır .

Beyan

Tek fonksiyonları için değişken , teoremi, eğer a, sürekli türevlenebilir noktasında sıfır olmayan bir türevi olan fonksiyon bir ; Daha sonra bir mahalle ters çevrilebilir bir ters sürekli türevlenebilir ve de ters fonksiyonun türevi türevi tersidir de : ${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili b=f(a)}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili bir}$

${\displaystyle {\bigl (}f^{-1}{\bigr )}'(b)={\frac {1}{f'(a)}}={\frac {1}{f'(f) ^{-1}(b))}}.}$

Varsayar alternatif bir versiyonu olan , sürekli ve birebir yakın bir en ve türevlenebilir bir de neden olur, sıfır olmayan bir türevi ile yakın ters çevrilebilmektedir bir benzer şekilde sürekli ve injektif var, ters ile, ve yukarıdaki formülü burada geçerli olacak ilave olarak. ${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili f}$

Bunun doğal sonucu olarak, açıkça eğer görüyoruz olduğu noktasında sıfırdan farklı türevi ile oyunu bırakanların türevlenebilir, a , ardından bir mahallede ters çevrilebilir bir , tersi de olduğu -th türevlenebilir. İşte pozitif bir tam sayı veya . ${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili k}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili k}$${\görüntüleme stili k}$${\görüntüleme stili \infty }$

Eğer birden fazla değişkenli fonksiyonlar için, teoremi bildiren F a, sürekli türevlenebilir açık kümesinden fonksiyonu olarak ve toplam türev bir noktasında ters çevrilebilir p (yani Jacobi determinantı F de p sıfır değildir ), daha sonra F tersi yakın s : bir ters fonksiyonu için F bazı tanımlanır mahalle arasında . Yazıldığında , bu , x ve y'yi sırasıyla p ve q'nun yeterince küçük komşuluklarıyla sınırlandırmamız koşuluyla , n denklem sisteminin açısından benzersiz bir çözüme sahip olduğu anlamına gelir . Sonsuz boyutlu durumda, teoremi bu ekstra hipotezi gerektirir Frechet türevi arasında F de p bir sahiptir sınırlı ters. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\görüntüleme stili q=F(p)}$${\displaystyle F=(F_{1},\ldots ,F_{n})}$${\displaystyle y_{i}=F_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}}$

Son olarak, teoremi ters fonksiyon söylüyor sürekli türevlenebilir ve onun jakobiyen türevi olan matris tersi bölgesinin Jacobi arasında F de p : ${\görüntüleme stili F^{-1}}$${\görüntüleme stili q=F(p)}$

${\displaystyle J_{F^{-1}}(q)=[J_{F}(p)]^{-1}.}$

Teoremin zor kısmı, 'nin varlığı ve türevlenebilirliğidir . Bunu varsayarsak, ters türev formülü aşağıdakilere uygulanan zincir kuralından çıkar : ${\görüntüleme stili F^{-1}}$${\displaystyle F^{-1}\circ F={\text{id}}}$

${\displaystyle I=J_{F^{-1}\circ F}(p)\ =\ J_{F^{-1}}(F(p))\cdot J_{F}(p)\ =\ J_{F^{-1}}(q)\cdot J_{F}(p).}$

Örnek

Şu şekilde tanımlanan vektör değerli işlevi göz önünde bulundurun : ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}\!}$

${\displaystyle F(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}\\{e^{x}\sin y}\\\end{bmatrix}}.}$

Jacobian matrisi:

${\displaystyle J_{F}(x,y)={\başlangıç{bmatrix}{e^{x}\cos y}&{-e^{x}\sin y}\\{e^{x}\ günah y}&{e^{x}\cos y}\\\end{bmatrix}}}$

Jacobian determinantı ile:

${\displaystyle \det J_{F}(x,y)=e^{2x}\cos ^{2}y+e^{2x}\sin ^{2}y=e^{2x}.\,\ !}$

Determinant her yerde sıfır değildir. Böylece teoremi her nokta için, garanti p içinde , yaklaşık bir mahalle vardır p , üzerinde F ters çevrilebilir olduğunu. Bu, F'nin tüm etki alanı üzerinde tersine çevrilebilir olduğu anlamına gelmez : bu durumda F , periyodik olduğu için dolaylı bile değildir : . ${\görüntüleme stili e^{2x}\!}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\!}$${\displaystyle F(x,y)=F(x,y+2\pi )\!}$

karşı örnek

İşlev , çizginin yakınında ikinci dereceden bir zarf içinde sınırlandırılmıştır , yani . Bununla birlikte, 'de biriken yerel maks/min noktaları vardır , bu nedenle herhangi bir çevreleyen aralıkta bire bir değildir.${\displaystyle f(x)=x+2x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})}$${\görüntüleme stili y=x}$${\görüntüleme stili f'(0)=1}$${\görüntüleme stili x=0}$

Türevin sürekli olduğu varsayımından vazgeçilirse, fonksiyonun artık tersine çevrilebilir olması gerekmez. Örneğin ve süreksiz türevi vardır ve , keyfi olarak yakınında kaybolur . Bu kritik noktalar yerel maks/min noktalarıdır , bu nedenle içeren herhangi bir aralıkta bire bir değildir (ve tersine çevrilemez) . Sezgisel olarak, eğim , eğimlerin zayıf fakat hızlı bir salınım tarafından yönetildiği yakın noktalara yayılmaz. ${\displaystyle f(x)=x+2x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})}$${\görüntüleme stili f(0)=0}$${\displaystyle f'\!(x)=1-2\cos({\tfrac {1}{x}})+4x\sin({\tfrac {1}{x}})}$${\görüntüleme stili f'\!(0)=1}$${\görüntüleme stili x=0}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili x=0}$${\görüntüleme stili f'\!(0)=1}$

ispat yöntemleri

Önemli bir sonuç olarak, ters fonksiyon teoreminin sayısız ispatı verilmiştir. Ders kitaplarında en yaygın olarak görülen kanıt , Banach sabit nokta teoremi olarak da bilinen daralma eşleme ilkesine dayanır (bu, adi diferansiyel denklemlerin çözümlerinin varlığının ve benzersizliğinin kanıtında anahtar adım olarak da kullanılabilir ).

Sabit nokta teoremi sonsuz boyutlu (Banach uzayı) ayarlarda geçerli olduğundan, bu ispat hemen ters fonksiyon teoreminin sonsuz boyutlu versiyonuna genellenir (aşağıdaki Genellemelere bakınız).

Sonlu boyutlarda alternatif bir ispat, kompakt bir kümedeki fonksiyonlar için aşırı değer teoremine dayanır .

Yine bir başka kanıt , teoremin etkili bir versiyonunu sağlama avantajına sahip olan Newton'un yöntemini kullanır : fonksiyonun türevi üzerindeki sınırlar, fonksiyonun tersinir olduğu komşuluğun büyüklüğünün bir tahminini ifade eder.

Ters fonksiyon teoreminin bir kanıtı

Ters teoremi durumları eğer bir C ¹ açık bir dizi vektör değerli işlev daha sonra, bir Cı vardır, ancak ve ancak ¹ vektör değerli fonksiyonu yakın tanımlanan ile yakın ve yakın . Bu ilk olarak Picard ve Goursat tarafından yinelemeli bir şema kullanılarak oluşturulmuştur: temel fikir, daralma eşleme teoremini kullanarak sabit bir nokta teoremini kanıtlamaktır . Türev alarak, bunu takip eder . ${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili U}$${\displaystyle \det f^{\prime }(a)\neq 0}$${\görüntüleme stili g}$${\görüntüleme stili b=f(a)}$${\görüntüleme stili g(f(x))=x}$${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili f(g(y))=y}$${\görüntüleme stili b}$${\displaystyle g^{\prime }(y)=f^{\prime }(g(y))^{-1}}$

Zincir kuralı, matrislerin ve her birinin tersi olduğunu ima eder . Sürekliliği ve anlamı , her biri yerel olarak ters olan homeomorfizmalardır . Varlığı kanıtlamak için, afin bir dönüşümden sonra o ve , öyle kabul edilebilir . ${\görüntüleme stili f^{\birincil }(a)}$${\görüntüleme stili g^{\birincil }(b)}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili g}$${\görüntüleme stili f(0)=0}$${\displaystyle f^{\prime }(0)=I}$${\görüntüleme stili a=b=0}$

Kalkülüsün temel teoremi ile if bir C ¹ fonksiyonudur , öyle ki . Ayar , bunu takip eder ${\görüntüleme stili u}$${\textstyle u(1)-u(0)=\int _{0}^{1}u^{\prime }(t)\,dt}$${\textstyle \|u(1)-u(0)\|\leq \sup _{0\leq t\leq 1}\|u^{\prime }(t)\|}$${\displaystyle u(t)=f(x+t(x^{\ asal }-x))-xt(x^{\ asal }-x)}$

${\displaystyle \|f(x)-f(x^{\prime })-x+x^{\prime }\|\leq \|xx^{\prime }\|\,\sup _{0\ leq t\leq 1}\|f^{\prime }(x+t(x^{\prime }-x))-I\|.}$

Şimdi bunun için seçin . Varsayalım ki ve tanımlama tarafından endüktif ve . Varsayımlar gösteriyor ki, eğer öyleyse ${\görüntüleme stili \delta >0}$${\textstyle \|f'(x)-I\|<{1 \2'den fazla}}$${\displaystyle \|x\|<\delta }$${\görüntüleme stili \|y\|<\delta/2}$${\displaystyle x_{n}}$${\görüntüleme stili x_{0}=0}$${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}+yf(x_{n})}$${\displaystyle \|x\|,\,\,\|x^{\prime }\|<\delta }$

${\displaystyle \|f(x)-f(x^{\prime })-x+x^{\prime }\|\leq \|xx^{\prime }\|/2}$.

Özellikle ima eder . Endüktif şemada ve . Bu nedenle a, Cauchy dizisi eğilimi . Gerektiği gibi inşaat ile . ${\displaystyle f(x)=f(x^{\prime })}$${\görüntüleme stili x=x^{\birincil }}$${\displaystyle \|x_{n}\|<\delta }$${\displaystyle \|x_{n+1}-x_{n}\|<\delta/2^{n}}$${\görüntüleme stili (x_{n})}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili f(x)=y}$

Çalışmadığını kontrol etmek için C ¹ , yazma , böylece . Yukarıdaki eşitsizliklere göre, böylece . Öte yandan eğer , o zaman . Kullanımı geometrik dizi için , o izler . Ama sonra ${\görüntüleme stili g=f^{-1}}$${\görüntüleme stili g(y+k)=x+h}$${\görüntüleme stili f(x+h)=f(x)+k}$${\displaystyle \|hk\|<\|h\|/2}$${\displaystyle \|h\|/2<\|k\|<2\|h\|}$${\görüntüleme stili A=f^{\birincil }(x)}$${\displaystyle \|AI\|<1/2}$${\görüntüleme stili B=IA}$${\displaystyle \|A^{-1}\|<2}$

${\displaystyle {\|g(y+k)-g(y)-f^{\prime }(g(y))^{-1}k\| \over \|k\|}={\|hf^{\prime }(x)^{-1}[f(x+h)-f(x)]\| \over \|k\|}\leq 4{\|f(x+h)-f(x)-f^{\prime }(x)h\| \üstü \|h\|}}$

olarak 0 eğilimi ve olduğunu kanıtlayan, 0 eğilimi C ¹ ile . ${\görüntüleme stili k}$${\görüntüleme stili h}$${\görüntüleme stili g}$${\displaystyle g^{\prime }(y)=f^{\prime }(g(y))^{-1}}$

Yukarıdaki kanıt sonlu boyutlu bir uzay için sunulmuştur, ancak Banach uzayları için eşit derecede iyi uygulanır . Bir ters çevrilebilir fonksiyonu ise C ^k ile , o zaman da onun tersidir. Bunu , operatörler üzerindeki haritanın herhangi biri için C ^k olduğu gerçeğini kullanarak tümevarım takip eder (sonlu boyutlu durumda bu temel bir gerçektir çünkü bir matrisin tersi , determinantına bölünen adjuge matris olarak verilir ). Buradaki ispat yöntemi Henri Cartan , Jean Dieudonné , Serge Lang , Roger Godement ve Lars Hörmander'ın kitaplarında bulunabilir . ${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili k>1}$${\görüntüleme stili F(A)=A^{-1}}$${\görüntüleme stili k}$

genellemeler

manifoldlar

Ters fonksiyon teoremi, türevlenebilir manifoldlar arasındaki türevlenebilir haritalar açısından yeniden ifade edilebilir . Bu bağlamda teorem, türevlenebilir bir harita (sınıfının ) için, diferansiyeli ise , ${\ Displaystyle F:M\'den N'ye}$${\görüntüleme stili C^{1}}$${\görüntüleme stili F}$

${\displaystyle dF_{p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N}$

a, doğrusal izomorfizm bir noktada içinde açık bir mahalle vardır sonra bir şekilde ${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili p}$

${\displaystyle F|_{U}:U\to F(U)}$

bir difeomorfizmdir . Bunun , dF _p'nin bir izomorfizm olduğu varsayımından doğrudan ima edildiği gibi, p ve F ( p ) içeren M ve N'nin bağlı bileşenlerinin aynı boyuta sahip olduğu anlamına geldiğine dikkat edin . Türevi ise F tüm noktalar bir izomorfizm olan p de M sonra harita F a, yerel Diffeomorfizm .

Banach uzayları

Ters fonksiyon teoremi, X ve Y Banach uzayları arasındaki türevlenebilir haritalara da genelleştirilebilir . Let U menşe açık mahalle X ve bir sürekli türevlenebilir fonksiyon ve Frechet türevi varsayalım arasında F , 0 ° C'de a, sınırlı doğrusal izomorfizm X üzerine Y . Daha sonra açık mahalle vardır V bölgesinin içinde Y ve sürekli türevlenebilir ilk öyle ki tüm y de V . Ayrıca, sadece yeterince küçük çözüm x denkleminin . ${\displaystyle F:U\to Y\!}$${\displaystyle dF_{0}:X\to Y\!}$${\görüntüleme stili F(0)\!}$${\displaystyle G:V\to X\!}$${\görüntüleme stili F(G(y))=y}$${\görüntüleme stili G(y)\!}$${\görüntüleme stili F(x)=y\!}$

Banach manifoldları

Bu iki genelleme yönü, Banach manifoldları için ters fonksiyon teoreminde birleştirilebilir .

sabit derece teoremi

Ters fonksiyon teoremi (ve örtük fonksiyon teoremi ), bir noktanın yakınında sabit sıralı düzgün bir haritanın o noktanın yakınında belirli bir normal forma konabileceğini belirten sabit sıra teoreminin özel bir durumu olarak görülebilir . Özellikle, bir noktaya yakın sabit sırası vardır , daha sonra açık bir yakın çevre vardır U arasında p ve V bölgesinin ve diffeomorphisms vardır ve bu şekilde türev şekilde isimli e eşit . Yani F , p yakınındaki türevine "benziyor" . Bir komşulukta sıralama sabit olacak şekilde noktalar kümesi, M'nin açık yoğun bir alt kümesidir ; bu, rank fonksiyonunun yarı sürekliliğinin bir sonucudur . Böylece sabit sıra teoremi, etki alanının genel bir noktasına uygulanır. ${\ Displaystyle F:M\'den N'ye}$${\görüntüleme stili p\in M\!}$${\görüntüleme stili F(p)\!}$${\displaystyle u:T_{p}M\to U\!}$${\displaystyle v:T_{F(p)}N\to V\!}$${\displaystyle F(U)\subseteq V\!}$${\displaystyle dF_{p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N\!}$${\displaystyle v^{-1}\circ F\circ u\!}$${\displaystyle p\in M}$${\görüntüleme stili p}$

F'nin türevi bir p noktasında tümleç (ilgili) olduğunda, aynı zamanda bir p komşuluğunda da özneldir (görsel olarak özneldir) ve bu nedenle F'nin rankı o komşulukta sabittir ve sabit sıra teoremi geçerlidir .

Holomorfik fonksiyonlar

Bir ise holomorfik fonksiyonu F açık kümesinden tanımlanmıştır , U ve içine ve jakobiyen matris arasında kompleks türevleri , bir noktasında ters çevrilebilir p , o zaman F civarındaki bir ters çevrilebilir fonksiyonudur p . Bu, teoremin gerçek çok değişkenli versiyonundan hemen sonra gelir. Ayrıca ters fonksiyonun yine holomorfik olduğu gösterilebilir. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\!}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\!}$

polinom fonksiyonları

Eğer doğru olsaydı, Jacobian varsayımı , polinomlar için ters fonksiyon teoreminin bir varyantı olurdu. Vektör değerli bir polinom fonksiyonunun, ters çevrilebilir bir polinom (yani sıfırdan farklı bir sabit) olan bir Jacobian determinantı varsa, o zaman aynı zamanda bir polinom fonksiyonu olan bir tersinin de olduğunu belirtir. İki değişken durumunda bile bunun doğru mu yanlış mı olduğu bilinmiyor. Bu, polinomlar teorisinde büyük bir açık problemdir.

seçimler

Ne zaman ile , bir kez sürekli türevlenebilir ve Jakobyan bir noktada taşımaktadır rütbe , ters benzersiz olmayabilir. Ancak, yerel vardır seçme işlevi böyle herkes için bir de mahalle arasında , , olan bu mahallede kez sürekli türevlenebilir ve ( olan Moore-Penrose pseudoinverse arasında ). ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle m\leq n}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili k}$${\displaystyle A=\nabla f({\overline {x}})}$${\görüntüleme stili {\üzerine çizgi {x}}}$ ${\görüntüleme stili m}$${\görüntüleme stili f}$ ${\görüntüleme stili s}$${\görüntüleme stili f(s(y))=y}$${\görüntüleme stili y}$${\displaystyle {\üst çizgi {y}}=f({\üst çizgi {x}})}$${\displaystyle s({\üst çizgi {y}})={\üst çizgi {x}}}$${\görüntüleme stili s}$${\görüntüleme stili k}$${\displaystyle \nabla s({\overline {y}})=A^{T}(AA^{T})^{-1}}$${\displaystyle \nabla s({\overline {y}})}$${\görüntüleme stili A}$

Ayrıca bakınız

• Banach sabit nokta teoremi
• örtük fonksiyon teoremi
• Nash-Moser teoremi

Notlar

Referanslar

• Allendoerfer, Carl B. (1974). "Diferansiyellenebilir Fonksiyonlar Hakkında Teoremler". Çeşitli Değişkenlerin Hesabı ve Diferansiyellenebilir Manifoldlar . New York: Macmillan. s. 54–88. ISBN'si 0-02-301840-2.
• Baxandall, Peter ; Liebeck, Hans (1986). "Ters Fonksiyon Teoremi". Vektör Analizi . New York: Oxford University Press. s. 214–225. ISBN'si 0-19-859652-9.
• Nijenhuis, Albert (1974). "Güçlü türevler ve ters eşlemeler". Amer. Matematik. Aylık . 81 (9): 969-980. doi : 10.2307/2319298 . hdl : 10338.dmlcz/102482 .
• Protter, Murray H .; Morrey, Charles B., Jr (1985). "Dönüşümler ve Jakobenler". Orta Düzey Matematik (İkinci baskı). New York: Springer. s. 412–420. ISBN'si 0-387-96058-9.
• Renard, Michael; Rogers, Robert C. (2004). Kısmi Diferansiyel Denklemlere Giriş . Uygulamalı Matematik Metinleri 13 (İkinci baskı). New York: Springer-Verlag. s. 337-338. ISBN'si 0-387-00444-0.
• Rudin, Walter (1976). Matematiksel analiz ilkeleri . Saf ve Uygulamalı Matematikte Uluslararası Seriler (Üçüncü baskı). New York: McGraw-Hill Kitabı. s.  221 – 223 .