Etki alanının değişmezliği - Invariance of domain

Etki alanının değişmezlik bir teoremi olan topoloji hakkında homeomorphic alt kümelerinin arasında Öklid uzayında . Belirtir: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Eğer bir olduğunu açık alt kümesi içinde ve bir olduğunu injektif sürekli haritası , ardından açık olan ve bir olan homeomorfizma arasında ve .${\görüntüleme stili U}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f:U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ ${\görüntüleme stili V:=f(U)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili V}$

Teorem ve ispatı 1912'de yayınlanan LEJ Brouwer'a dayanmaktadır. İspat cebirsel topoloji araçlarını , özellikle Brouwer sabit nokta teoremi kullanır .

Notlar

": Teoremin sonucu eşdeğer şekilde formüle edilebilir bir olduğunu açık haritası ". ${\görüntüleme stili f}$

Normal olarak, bunun bir homeomorfizm olup olmadığını kontrol etmek için , her ikisinin de ters fonksiyonunun sürekli olduğunu doğrulamak gerekir ; teorem, etki alanı açık bir alt kümeyse ve görüntü de içindeyse, sürekliliğin otomatik olduğunu söylüyor . Ayrıca, teorem, eğer iki altküme ve of homeomorfik ise ve açıksa, o zaman da açık olması gerektiğini söyler . (Bunun sadece altuzay topolojisinde değil , bir altkümesi olarak açık olduğuna dikkat edin. Altuzay topolojisinin açıklığı otomatiktir.) Bu ifadelerin her ikisi de hiç açık değildir ve Öklid uzayından çıkarsa genellikle doğru değildir. ${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili f}$ ${\görüntüleme stili f^{-1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\görüntüleme stili f^{-1}}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili V}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili V}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\görüntüleme stili V}$

İmajına üzerine homeomorfizma olmayan bir harita: ile${\displaystyle g:(-1.1,1)\to \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle g(t)=\sol(t^{2}-1,t^{3}-t\sağ).}$

O büyük önem her iki taşımaktadır alanı ve görüntü arasında Öklid uzayında bulunan aynı boyutta . Harita mesela düşünün tarafından tanımlanan bu harita injektif ve süreklidir, alan açık bir alt kümesidir , ancak görüntü içinde açık değil daha aşırı bir örnek haritasıdır A tarafından tanımlanan burada çünkü injektif ve sürekli olmasına bile bir verim yok görüntüsüne homeomorfizm. ${\görüntüleme stili f}$${\displaystyle f:(0,1)\to \mathbb {R} ^{2}}$${\görüntüleme stili f(t)=(t,0).}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$${\displaystyle g:(-1.1,1)\to \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle g(t)=\sol(t^{2}-1,t^{3}-t\sağ)}$${\görüntüleme stili g}$

Teorem ayrıca sonsuz boyutlarda genel olarak doğru değildir. Örneğin, tüm sınırlı gerçek dizilerin Banach lp uzayını düşünün . Sonra kayması olarak tanımla O zaman dolaylı ve süreklidir, etki alanı içinde açıktır , ancak görüntü değildir. ${\ Displaystyle \ ^{\infty }}$${\displaystyle f:\ell ^{\infty }\to \ell ^{\infty }}$${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)=\left(0,x_{1},x_{2},\ldots \right).}$${\görüntüleme stili f}$${\ Displaystyle \ ^{\infty }}$

Sonuçlar

Teoremin değişmezliği etki alanının önemli bir sonucu olduğunu homeomorphic olamaz eğer , hiçbir boş olmayan açık alt kümesi Nitekim herhangi açık alt homeomorphic olabilir bu durumda. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\görüntüleme stili m\neq n.}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$

genellemeler

Teoremin değişmezliği alanı genelleştirilebilecekse manifoldu : eğer ve topolojik olan n sınır olmaksızın -manifolds ve yerel olarak bire-bir olan sürekli bir haritasıdır (her nokta yani bir sahip mahalle olacak şekilde bu mahalle sınırlıdır birebirdir) ardından bir olduğunu açık haritası (anlam açıktır zaman açık alt kümesi ve a) yerel homeomorfizma . ${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili N}$${\ Displaystyle f:M\'den N'ye}$${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili f(U)}$${\görüntüleme stili N}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili M}$

Bir Banach uzayından kendisine doğru belirli sürekli harita türleri için genellemeler de vardır .

Ayrıca bakınız

• Belirli bir sürekli haritanın açık olmasını sağlayan diğer koşullar için açık haritalama teoremi .

Referanslar

Dış bağlantılar

• Mill, J. van (2001) [1994], "Alan değişmezliği" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press