Norm (matematik) - Norm (mathematics)
In matematik , bir norm bir olan fonksiyon bir gelen gerçek veya kompleks vektör alanı negatif olmayan reel sayılara o mesafeye gibi belirli şekillerde davranacağını kökenli : o HafiflettiDİYARBAKIR , ölçekleme ile bir çeşit itaat üçgen eşitsizliği ve sadece 'de sıfır olduğu köken. Özellikle, bir vektörün orijinden Öklid uzaklığı , Öklid normu veya 2-norm olarak adlandırılan bir normdur ve bir vektörün kendisiyle olan iç çarpımının karekökü olarak da tanımlanabilir .
Bir sözde norm veya yarı norm, bir normun ilk iki özelliğini karşılar, ancak orijinden başka vektörler için sıfır olabilir. Belirli bir norma sahip bir vektör uzayına normlu vektör uzayı denir . Benzer şekilde, seminormlu bir vektör uzayına seminormlu vektör uzayı denir .
Tanım
Bir Verilen vektör uzayı bir aşkın alt alan F karmaşık sayılar bir norm üzerinde bir olan gerçek değerli bir fonksiyondur aşağıdaki özelliklere sahip zamanki belirtmektedir mutlak değerini bir skaler :
- Alt Toplama / Üçgen eşitsizliği : hepsi için
- Mutlak homojenlik : tüm ve tüm skalerler için
-
Pozitif kesinlik /
Noktadan ayıran : herkes içineğero zaman
- Özellik (2), bazı yazarların özelliği (3) eşdeğer koşulla değiştirdiğini ima ettiğinden : her eğer ve sadece
Bir seminorm on , (1) ve (2) özelliklerine sahip bir fonksiyondur , böylece özellikle her norm aynı zamanda bir seminormdur (ve dolayısıyla aynı zamanda bir alt- doğrusal fonksiyoneldir ). Ancak, norm olmayan seminormlar vardır. Özellikler (1) ve (2) , if'nin bir norm (veya daha genel olarak, bir seminorm) olduğunu ve bunun da aşağıdaki özelliğe sahip olduğunu ima eder :
- Olumsuzluk : herkes için
Bazı yazarlar olumsuz olmamayı "norm" tanımının bir parçası olarak dahil ederler, ancak bu gerekli değildir.
eşdeğer normlar
p ve q'nun bir vektör uzayı üzerinde iki norm (veya seminorm) olduğunu varsayalım O zaman , her vektör için c > 0 olan iki gerçek sabit c ve C varsa, p ve q'ya eşdeğer denir.
gösterim
Bir vektör uzayı X üzerinde bir norm verilirse , o zaman bir vektörün normu genellikle onu çift dikey çizgi içine alarak gösterilir: Bu tür gösterimler bazen p yalnızca bir seminorm ise kullanılır . Öklid uzayındaki bir vektörün uzunluğu için (bu, aşağıda açıklandığı gibi bir norm örneğidir ), tek dikey çizgilerle gösterim de yaygındır.
In LaTeX ve ilgili biçimlendirme dilleri, norm gösterim çift çubuk makro ile girilir \|
olarak vermektedir, belirtmek için kullanılır çift dikey çizgi paralel çizgiler , paralel operatörü ve paralel bir ek ile girilir olarak ve oluşturulur , bu iki benzer görünümlü rağmen makrolar bir parantez ve bir operatörü ifade ettiğinden karıştırılmamalıdır . Bu nedenle boyutları ve etraflarındaki boşluklar aynı şekilde hesaplanmaz. Benzer şekilde, tek dikey çubuk, parantez olarak kullanıldığında ve operatör olarak kullanıldığında kodlanır .
\parallel
\|
\parallel
|
\mid
Olarak Unicode'a , "çift dikey çizgi" karakter temsilidir U +, 2016 ‖ çift dikey HATTI . "Çift dikey çizgi" sembolü , paralel çizgileri ve paralel operatörleri belirtmesi amaçlanan U+2225 ∥ PARALEL TO "paralel" sembolü ile karıştırılmamalıdır . Çift dikey çizgi , dilbilimde yanal tıklamaları ifade etmeyi amaçlayan U+01C1 ǁ LATIN LETTER LATERAL CLICK ile karıştırılmamalıdır .
Tek dikey çizgi | bir Unicode gösterimi vardır U+007C | DİKEY HAT .
Örnekler
Her (gerçek veya karmaşık) vektör uzayı bir normu kabul eder: Eğer bir X vektör uzayı için bir Hamel tabanı ise , o zaman x = Σ i ∈ I s ben x ben ∈ X gönderen gerçek değerli harita (sonlu sayıda hariç tümü skalerler s i de 0) için Σ i ∈ I | s ı | X üzerinde bir normdur . Ayrıca, onları belirli problemler için faydalı kılan ek özellikler sergileyen çok sayıda norm vardır.
Mutlak değer normu
Tek boyutlu bir
X vektör uzayı üzerindeki herhangi bir p normu, mutlak değer normuna (ölçeklendirmeye kadar) eşdeğerdir, yani , vektör uzaylarının normu koruyan bir izomorfizmi vardır ve burada ya veya normu koruyan, Bu izomorfizmin verildiği anlamına gelir. Böyle bir vektör, sıfır olmayan herhangi bir vektörün normunun tersi ile çarpılmasıyla elde edildiğinden, var olan norm 1 vektörüne göndererek .Öklid normu
Açık n boyutlu Öklid alan vektörünün uzunluğunun sezgisel düşünce
X = ( x 1 , x 2 , ..., x , n ) , aşağıdaki formül ile yakalanırBu, orijinden X noktasına olan olağan uzaklığı veren Öklid normudur - Pisagor teoreminin bir sonucu . Bu işlem aynı zamanda için kullanılan bir kısaltmadır "SRSS", şu şekilde de ifade edilebilir s niçin r arasında oot s arasında um s quares.
Öklid normu açık ara en yaygın kullanılan normdur ancak aşağıda gösterileceği gibi bu vektör uzayında başka normlar da vardır. Ancak, tüm bu normlar, hepsinin aynı topolojiyi tanımlaması anlamında eşdeğerdir.
İç çarpım , bir, iki vektörün Öklid vektör alanı olan nokta ürünün kendi arasında koordinat vektörleri aşırı ortonormal olarak . Bu nedenle, Öklid normu koordinatsız bir şekilde şu şekilde yazılabilir:
Öklid norm olarak da adlandırılır L 2 normu , ℓ 2 normu , 2-norm veya kare normu ; bkz L s alanı . Bu tanımlar mesafe fonksiyonu olarak adlandırılan Öklid uzunluğu , L 2 mesafe veya ℓ 2 mesafe .
Öklid normu belirli bir pozitif sabit olan vektörler kümesi bir
n- küresi oluşturur .Karmaşık sayıların Öklid normu
Karmaşık bir sayının Öklid normu ,
karmaşık düzlem Öklid düzlemi ile tanımlanırsa , onun mutlak değeridir ( modül de denir ), x + i y karmaşık sayısının Öklid düzleminde bir vektör olarak tanımlanması , Miktar (ilk olarak Euler tarafından önerildiği gibi) karmaşık sayı ile ilişkili Öklid normu.Kuaterniyonlar ve oktonyonlar
Gerçek sayılar üzerinde tam olarak dört Öklid Hurwitz cebiri vardır . Bunlar gerçek sayılar karmaşık sayılar quaternions son olarak ve oktonyonu gerçek sayılar boyunca bu boşlukların boyutları 1 , 2 , 4 ve 8 , sırasıyla. Kanonik ilgili Normlar ve bunların olan mutlak değeri , daha önce ele alındığı gibi, işlevleri.
Üzerinde kanonik norm ait
quaternions ile tanımlanır- Sonlu boyutlu karmaşık normlu uzaylar
Üzerinde n boyutlu karmaşık uzay en yaygın norm
Bu durumda, standart olarak ifade edilebilir kare kökünün bir iç çarpım vektörü ve kendisinin:
Bu formül, Öklid ve karmaşık uzaylar da dahil olmak üzere herhangi bir iç çarpım uzayı için geçerlidir . Karmaşık uzaylar için, iç çarpım karmaşık nokta çarpımına eşdeğerdir . Dolayısıyla bu durumda formül aşağıdaki gösterim kullanılarak da yazılabilir:
Taksi normu veya Manhattan normu
1-norm vektörlerinin grubu, bir yüzeyi, belirli bir sabit formları çapraz politop norm eksi 1. Taxicab norm edilene boyutu eşdeğer olarak da adlandırılır
norm . Bu normdan türetilen mesafeye Manhattan mesafesi veya ℓ 1 mesafesi denir .1-norm basitçe sütunların mutlak değerlerinin toplamıdır.
Tersine,
p -norm
Let s ≥ 1 olmak iyi bir numara. P -norm (aynı zamanda , vektörün -norm) olduğu
Bu tanım 0 < p < 1 için hala biraz ilgi çekicidir , ancak sonuçta ortaya çıkan fonksiyon bir norm tanımlamaz, çünkü üçgen eşitsizliğini ihlal eder . Bu 0 < p < 1 durumu için , ölçülebilir analogda bile doğru olan, karşılık gelen L p sınıfının bir vektör uzayı olduğudur ve fonksiyonun da doğru olduğu doğrudur.
p- normunun kısmi türevi şu şekilde verilir:
Bu nedenle, x'e göre türev ,
p = 2 özel durumu için bu,
Maksimum norm (özel durum: sonsuzluk normu, tek tip norm veya üst norm)
Eğer böyle bir vektör ise :
Sonsuzluk normu belirli bir sabit, c olan vektörler kümesi, kenar uzunluğu 2
c olan bir hiperküpün yüzeyini oluşturur .sıfır norm
Olasılık ve fonksiyonel analizde, sıfır norm alanı için tam bir metrik topoloji neden ölçülebilir fonksiyonlar ve için F-uzay F-norm ile dizilerin Burada demek
F-norm bazı gerçek değerli fonksiyonu ile bir F-alanı mesafe d , öyle ki, K gerekli homojenlik özelliği bulunmadığı için -norm, yukarıda tarif edilen genel anlamda bir norm değildir.Bir vektörün sıfırdan Hamming mesafesi
Olarak metrik geometri , ayrık metrik aksi belirgin noktalarına ve sıfır değeri bir alır. Bir vektör uzayının elemanlarına koordinat bazında uygulandığında, ayrık mesafe,
kodlama ve bilgi teorisinde önemli olan Hamming mesafesini tanımlar . Gerçek veya karmaşık sayılar alanında, ayrık metriğin sıfırdan uzaklığı sıfır olmayan noktada homojen değildir; aslında, sıfırdan farklı argüman sıfıra yaklaştıkça sıfıra olan mesafe bir kalır. Bununla birlikte, bir sayının sıfırdan ayrık uzaklığı, bir normun diğer özelliklerini, yani üçgen eşitsizliği ve pozitif kesinliği karşılar. Vektörlere bileşen bazında uygulandığında, sıfırdan ayrık mesafe, vektör bağımsız değişkeninde sıfır olmayan bileşenlerin sayısını sayan homojen olmayan bir "norm" gibi davranır; yine, bu homojen olmayan "norm" süreksizdir.Gelen sinyal işleme ve istatistik , David Donoho sevk sıfır " norm " tırnak işareti. Donoho en gösterimde sonra, sıfır "norm" x sıfır olmayan koordinat sayısı, sadece bir x , ya da sıfir ile vektörün Hamming uzaklığı. Bu "norm" sınırlı bir set lokalize edildiğinde, sınırdır p olarak -norms p Tabii 0., sıfır "norm" dir yaklaşımlar değil gerçekten bir norm olduğunu değil, çünkü pozitif homojen . Aslında, yukarıda açıklanan anlamda bir F-normu bile değildir, çünkü skaler-vektör çarpımındaki skaler argümana ve vektör argümanına göre birlikte ve ayrı ayrı süreksizdir. Terminolojiyi kötüye kullanmak , bazı mühendisler Donoho en tırnak işareti ihmal ve uygunsuz sayı-of-the nonzeros işlev çağrı L 0 için gösterim yankılanan, norm Lebesgue alan içinde ölçülebilir fonksiyonlar .
sonsuz boyutlar
Bileşenler potansiyel sonsuz sayıda yukarıda normların genelleme ℓ p ve L s boşluklar normlara,
daha da genelleştirilebilen sırasıyla karmaşık değerli diziler ve fonksiyonlar için (bkz.
Haar ölçümü ).Herhangi bir iç ürün , doğal bir şekilde normu indükler.
Sonsuz boyutlu normlu vektör uzaylarının diğer örnekleri Banach uzayı makalesinde bulunabilir.
Kompozit normlar
Yukarıdakilerin birleştirilmesiyle diğer normlar oluşturulabilir; Örneğin
Herhangi bir norm ve herhangi bir dolaylı doğrusal dönüşüm A için , x'in yeni bir normunu tanımlayabiliriz .
3B'de bu, 1-norm ( oktahedronlar ) ve maksimum norm ( paralelkenar tabanlı prizmalar ) için benzerdir ancak farklıdır .
"Girişsel" formüllerle tanımlanmayan norm örnekleri vardır. Örneğin, fonksiyonel Minkowsky bir merkezi simetrik konveks gövdenin (sıfır merkezli) bir norm belirler (bakınız
: kesinlikle emici setleri konveks yarı normlar arasında § sınıflandırma aşağıda).Yukarıdaki tüm formüller ayrıca değişiklik yapılmadan normlar verir .
Ayrıca, matris normları olarak adlandırılan (gerçek veya karmaşık girişleri olan) matris uzayları üzerinde
normlar vardır .soyut cebirde
Let E bir olmak sonlu uzantısı bir saha içinde k ve ayrılmaz derecede p ^ ı ve izin k cebirsel kapanış sahip K'yi . Farklı ise kalıplamaların arasında E vardır { σ j } j , o zaman Galois'in teorisi normu bir elemanın a ∈ E değeri bu fonksiyonu olarak derece homojen olan
[ D : k ] , Galois'in teorisi normu norm değildir bu makale anlamında. Ancak, normun [ E : k ] -inci kökü (bu kavramın mantıklı olduğu varsayılarak) bir normdur.Kompozisyon cebirleri
Norm kavramı içinde
bileşim cebirlerin etmez olup bu negatif ya da sıfır olabilecek bir norm olağan özellikleri paylaşırlar z 0 bir bileşim cebir ≠ ( A *, K ) , bir oluşmaktadır alan üzerinde cebir A , bir involüsyon * ve "norm" olarak adlandırılan ikinci dereceden bir form .Bileşim cebirlerin karakteristik özelliğidir homomorfizması malı N : Ürün için WZ iki eleman arasında ağırlık ve z bileşimi cebir olarak, norm tatmin için ve
O bileşim cebri norm norm karesi yukarıda ele alınmıştır. Bu durumlarda norm, kesin bir ikinci dereceden formdur . Diğer bileşim cebirlerinde norm, izotropik ikinci dereceden bir formdur .Özellikler
Bir vektör uzayındaki herhangi bir norm için
ters üçgen eşitsizliği şu şekildedir:For L p normlar, elimizdeki Hölder eşitsizliği
denklik
Birim çember kavramı ( norm 1'in tüm vektörlerinin kümesi) farklı normlarda farklıdır: 1-norm için birim çember bir karedir , 2-norm (Öklid normu) için iyi bilinendir. birim çember , sonsuzluk normu için ise farklı bir karedir. Herhangi bir p- norm için, uyumlu eksenleri olan bir süper elipstir (ilgili çizime bakın). Normun tanımı nedeniyle, birim çember dışbükey ve merkezi olarak simetrik olmalıdır (bu nedenle, örneğin birim top bir dikdörtgen olabilir, ancak bir üçgen olamaz ve bir
p- norm için).Vektör uzayı açısından, seminorm uzayda bir topoloji tanımlar ve bu tam olarak seminorm farklı vektörler arasında ayrım yapabildiğinde bir Hausdorff topolojisidir, bu da yine seminormun bir norm olmasına eşdeğerdir. Bu şekilde tanımlanan topoloji (bir norm veya bir seminorm tarafından), diziler veya açık kümeler olarak anlaşılabilir. Bir dizi vektörleri söylenen
yakınsama için norm olarak ise olarak eşit biçimde, topolojisi, açık bir birlik olarak temsil edilebilir tüm kümeler oluşmaktadır toplar . Eğer normlu bir uzay iseİki norm ve bir vektör uzayına deniraynı topolojiyi indüklerlerse
eşdeğerdir , bu ancak ve ancak pozitif gerçek sayılarCveD varsa gerçekleşir,öyle ki herkes içinÖzellikle,
Eşdeğer normlar, aynı süreklilik ve yakınsama kavramlarını tanımlar ve birçok amaç için ayırt edilmeleri gerekmez. Daha kesin olmak gerekirse, vektör uzayında eşdeğer normlarla tanımlanan tek biçimli yapı, tek biçimli izomorfiktir .
Seminormların sınıflandırılması: kesinlikle dışbükey emici kümeler
Bir vektör alan tüm yarı normlar açısından sınıflandırılabilir
kesinlikle dışbükey alt-gruplar emici A ve her bir alt-kümesi, bir seminorm karşılık için p bir adı göstergesi bir A olarak tanımlananHerhangi bir yerel dışbükey topolojik vektör uzayı , kesinlikle dışbükey kümelerden oluşan yerel bir tabana sahiptir . Böyle bir temel oluşturmak için genel bir yöntem, bir aile (kullanmaktır s yarınorm arasında) p olduğu ayrılır ve nokta : kümelerinin bütün sonlu kesişme toplanması { p <1 / n } a içine alan döner yerel dışbükey topo.vek alanı böylece her p süreklidir .
Böyle bir yöntem, zayıf ve zayıf* topolojileri tasarlamak için kullanılır .
norm durum:
- Şimdi ( p )'nin tek bir p içerdiğini varsayalım : ( p ) ayrıldığından , p bir normdur ve onun açık
- Bunun tersi Andrey Kolmogorov'dan kaynaklanmaktadır : herhangi bir yerel dışbükey ve yerel olarak sınırlı topolojik vektör uzayı normaldir . Tam:
- Eğer 0 kesinlikle dışbükey sınırlı mahalle, mastar olup (ki bir normdur.
Ayrıca bakınız
Norm kavramının genelleştirilmesiReferanslar
bibliyografya
- Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Sur, vectoriels topologiques'den kaçınır [ Topolojik Vektör Uzayları: Chapters 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Éléments de matematik . 2 . Eggleston, HG tarafından tercüme edilmiştir; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN'si 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190 .
- Khaleelulla, SM (1982). Topolojik Vektör Uzaylarında Karşı Örnekler . Matematik Ders Notları . 936 . Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag . ISBN'si 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370 .
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topolojik Vektör Uzayları . Saf ve uygulamalı matematik (İkinci baskı). Boca Raton, FL: CRC Basın. ISBN'si 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topolojik Vektör Uzayları . GTM . 8 (İkinci baskı). New York, NY: Springer New York Baskı Springer. ISBN'si 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Treves, François (2006) [1967]. Topolojik Vektör Uzayları, Dağılımlar ve Çekirdekler . Mineola, NY: Dover Yayınları. ISBN'si 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
- Wilansky, Albert (2013). Topolojik Vektör Uzaylarında Modern Yöntemler . Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .