Doğrusal operatörlerin "boyutunun" ölçüsü
In matematik , operatör normu tedbirler belli "ebadı" doğrusal operatörler her bir atayarak gerçek sayı bunun adı verilen operatör normunu . Biçimsel olarak, verilen iki normlu vektör uzayı arasındaki sınırlı lineer operatörlerin uzayı üzerinde tanımlanan bir normdur .
Giriş ve tanım
İki normlu vektör uzayı verildiğinde ve (aynı taban alanı üzerinde , ya gerçek sayılar ya da karmaşık sayılar ), doğrusal bir harita , ancak ve ancak, öyle bir gerçek sayı varsa, süreklidir .
Soldaki norm içeride olan, sağdaki norm ise içeride olandır . Sezgisel olarak, sürekli operatör arasında bir faktörden daha fazla herhangi bir vektörün uzunluğuna hiçbir zaman artar Bu nedenle görüntü sürekli operatör altında sınırlı bir kümenin da sınırlanmaktadır. Bu özelliğinden dolayı sürekli lineer operatörler sınırlı operatörler olarak da bilinir . Birinin "boyutunu ölçmek" için, yukarıdaki eşitsizliğin tümü için geçerli olacak şekilde sayıların en azı alınabilir.
Bu sayı, vektörleri "uzatan" maksimum skaler faktörü temsil eder . Başka bir deyişle, "boyutu" , "en büyük" durumda vektörleri ne kadar "uzattığı" ile ölçülür. Biz operatör normunu tanımlamak Yani olarak
İnfimum tüm bu grubu olarak elde edilir olan kapalı , boş olmayan ve sınırlı aşağıdaki.
Bu operatör normunun, normlu vektör uzayları ve W için norm seçimine bağlı olduğunu akılda tutmak önemlidir .
Örnekler
Her gerçek -by- matris karşılık doğrusal eşlemek için (vektör) pletorasından her çifti normlar gerçek vektör uzayı indükler her bir operatör bir norm uygulanabilir -by- reel sayılar matrisler; bu uyarılmış normlar, matris normlarının bir alt kümesini oluşturur .
Biz özellikle seçerseniz Öklit normunu hem ve daha sonra bir matris verilen matris normu olan karekök en büyüklerinden Özdeğer matrisinin ( belirtmektedir eşlenik devrik arasında ). Bu, en büyük tekil değeri atamaya eşdeğerdir .
Tipik bir sonsuz boyutlu bir örneğe geçen, dikkate dizi alan bir bir L p boşluk ile tanımlanan,
Bu sonsuz boyutlu analog olarak görülebilir Öklid uzayında
Şimdi sınırlı bir diziyi düşünün dizisi alan bir elementtir tarafından verilen bir norm ile
Noktasal çarpma ile bir operatör tanımlayın :
Operatör , operatör normu ile sınırlıdır
Bu tartışma, doğrudan, genel bir boşluk ile değiştirildiği ve yerine ile değiştirildiği duruma uzanır .
eşdeğer tanımlar
Normlu uzaylar arasında lineer bir operatör olsun . İlk dört tanım her zaman eşdeğerdir ve eğer ek olarak ise hepsi eşdeğerdir:
Eğer o zaman son iki satırdaki kümeler boş olacaksa ve sonuç olarak doğru değeri yerine küme üzerindeki toplamları eşit olacaksa, bunun yerine kümenin üst değeri alınırsa , boş kümenin toplamı olur ve formüller tutar herhangi bir
If için sınırlıdır o zaman
ve
burada bir
devrik ait olan ile tanımlanan doğrusal operatörü
Özellikleri
Operatör normu aslında ve arasındaki tüm sınırlı operatörlerin uzayı üzerinde bir normdur . Bu şu anlama gelir
Aşağıdaki eşitsizlik, tanımın doğrudan bir sonucudur:
Operatör normu, operatörlerin bileşimi veya çarpımı ile de uyumludur: eğer , ve aynı temel alan üzerinde üç normlu uzaysa ve ve iki sınırlı operatör ise, o zaman bu bir
alt çarpımsal normdur , yani:
üzerindeki sınırlı operatörler için bu, operatör çarpmasının birlikte sürekli olduğu anlamına gelir.
Tanımdan, eğer bir operatör dizisi operatör normunda yakınsarsa , sınırlı kümelerde
düzgün bir şekilde yakınsar .
Ortak operatör normları tablosu
Bazı yaygın operatör normlarının hesaplanması kolaydır ve diğerleri NP-zordur . NP-zor normlar dışında, tüm bu normlar , norm ( tam cevap için işlemler gerektiren veya
güç yöntemi veya Lanczos yinelemeleriyle yaklaşık olarak tahmin ederseniz daha az ) hariç, işlemlerde (bir matris için) hesaplanabilir. ).
Operatör Normlarının Hesaplanabilirliği
|
ortak alan
|
|
|
|
Alan adı
|
|
Bir sütunun maksimum normu |
Bir sütunun maksimum normu |
Bir sütunun maksimum normu
|
|
NP-zor |
Maksimum tekil değer |
Bir satırın maksimum normu
|
|
NP-zor |
NP-zor |
Bir satırın maksimum normu
|
Norm eşlenik şöyle veya devrik hesaplanabilir. Biz biri için yapılacak olan daha sonra nerede olduğunu
Hölder konjuge için yani, ve
Hilbert uzayındaki operatörler
Gerçek veya karmaşık bir
Hilbert uzayı olduğunu varsayalım . Eğer bir sınırlı lineer operatör, sonra elimizdeki
ve
burada belirtmektedir eşlenik operatörü arasında (ki burada Öklid boşluklar standart ile iç çarpım için tekabül konjuge devrik matris ).
Genel olarak, spektral yarıçapı , yukarıda operatör normu ile sınırlandırılır :
Eşitliğin neden her zaman geçerli olmayabileceğini görmek için , sonlu boyutlu durumda bir matrisin Ürdün kanonik formunu düşünün . Süper köşegen üzerinde sıfır olmayan girişler olduğu için eşitlik ihlal edilebilir. Yarınilpotent operatörleri bu örneklerden biri sınıfıdır. Sıfır olmayan yarınilpotent operatör spektrumunu vardır Yani iken
Bir matris Ancak olan
, normal olarak, Ürdün kanonik formu (yekpare denklik kadar) çaprazdır; bu spektral teoremdir . Bu durumda bunu görmek kolay
Bu formül bazen belirli bir sınırlı operatörün operatör normunu hesaplamak için kullanılabilir :
Hermit operatörünü tanımlayın spektral yarıçapını belirleyin ve operatör normunu elde etmek için karekökünü alın .
Operatör normu tarafından indüklenen
topoloji ile sınırlı operatörlerin uzayı ayrılabilir değildir . Örneğin, Hilbert uzayı olan Lp uzayını ele alalım . İçin let olması karakteristik fonksiyonu arasında ve olmak çarpma operatörü tarafından verilen , yani
O zaman her biri operatör normu 1 ile sınırlı bir operatördür ve
Ama
sayılamayan bir kümedir . Bu , operatör normunda, sınırlandırılmış operatörlerin uzayının ayrılabilir olmadığı anlamına gelir . Bunu dizi uzayının ayrılabilir olmadığı gerçeğiyle karşılaştırabiliriz .
İlişkisel cebir birlikte operatör norm ve eşlenik işlemi ile bir Hilbert uzayında tüm sınırlanmış operatörlerin, bir verir C * cebiri .
Ayrıca bakınız
norm
Norm (matematik) – Vektör uzayında uzunluk
normlu uzay
Operatör cebiri – Fonksiyonel analizin dalı
operatör teorisi
Topolojik vektör uzayı – Yakınlık kavramına sahip vektör uzayı
Hilbert uzayındaki operatörler kümesindeki topolojiler
Sınırsız operatör
Notlar
bibliyografya
Referanslar
-
Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2007), Sonsuz Boyutlu Analiz: Bir Otostopçunun Rehberi , Springer, s. 229, ISBN 9783540326960.
-
Conway, John B. (1990), "III.2 Normlu Uzaylarda Lineer Operatörler", Fonksiyonel Analizde Bir Ders , New York: Springer-Verlag, s. 67–69, ISBN 0-387-97245-5