Koch kar tanesi - Koch snowflake

Koch kar tanesinin ilk dört yinelemesi

Animasyondaki ilk yedi yineleme

Koch eğrisine yakınlaştırma

Koch kar tanesi

İlk dört yineleme

Altıncı yineleme

Koch kar tanesi (aynı zamanda Koch eğrisi , Koch yıldız veya Koch ada ) a, fraktal eğrisi ve bir erken Fraktallerin tarif edilmiş. İsveçli matematikçi Helge von Koch'un 1904 tarihli "Teğetsiz Bir Sürekli Eğride, Temel Geometriden Oluşturulabilir" başlıklı makalesinde yer alan Koch eğrisine dayanmaktadır .

Koch kar tanesi, bir dizi aşamada yinelemeli olarak oluşturulabilir. İlk aşama bir eşkenar üçgendir ve birbirini izleyen her aşama, önceki aşamanın her iki yanına dışa doğru kıvrımlar eklenerek daha küçük eşkenar üçgenler yapılarak oluşturulur. Kar tanesi yapımında birbirini takip eden aşamaların çevrelediği alanlar,8/5art arda gelen aşamaların çevreleri sınırsız olarak artarken, orijinal üçgenin alanının çarpımıdır. Sonuç olarak, kar tanesi sonlu bir alanı çevreler , ancak sonsuz bir çevreye sahiptir .

Yapı

Koch kar tanesi, bir eşkenar üçgenle başlayıp ardından her bir çizgi parçasını aşağıdaki gibi yinelemeli olarak değiştirerek oluşturulabilir:

1. doğru parçasını eşit uzunlukta üç parçaya bölün.
2. 1. adımdaki orta parçayı tabanı olarak alan ve dışarıyı gösteren bir eşkenar üçgen çizin.
3. 2. adımdaki üçgenin tabanı olan çizgi parçasını çıkarın.

Bu işlemin ilk yinelemesi bir heksagramın ana hatlarını oluşturur .

Koch kar tanesi, yukarıdaki adımlar süresiz olarak takip edildiğinden yaklaşılan sınırdır. İlk olarak Helge von Koch tarafından tanımlanan Koch eğrisi , orijinal üçgenin üç kenarından yalnızca biri kullanılarak oluşturulmuştur. Başka bir deyişle, üç Koch eğrisi bir Koch kar tanesi oluşturur.

Nominal olarak düz bir yüzeyin Koch eğrisine dayalı bir temsili, benzer şekilde, her bir çizgiyi belirli bir açıyla testere dişi şeklinde segmentlere ayırarak oluşturulabilir.

Birden çok Koch eğrisi yinelemesinden oluşturulmuş bir fraktal pürüzlü yüzey

Özellikler

Koch kar tanesinin çevresi

Her yineleme, Koch kar tanesindeki kenar sayısını dört ile çarpar, böylece n yinelemeden sonraki kenar sayısı şu şekilde verilir:

${\displaystyle N_{n}=N_{n-1}\cdot 4=3\cdot 4^{n}\,.}$

Orijinal eşkenar üçgenin kenarları s uzunluğundaysa, n yinelemeden sonra kar tanesinin her bir kenarının uzunluğu :

${\displaystyle S_{n}={\frac {S_{n-1}}{3}}={\frac {s}{3^{n}}}\,,}$

orijinal uzunluğun üç katının ters kuvveti . n yinelemeden sonra kar tanesinin çevresi :

${\displaystyle P_{n}=N_{n}\cdot S_{n}=3\cdot s\cdot {\left({\frac {4}{3}}\sağ)}^{n}\,. }$

Koch eğrisi sonsuz bir uzunluğa sahiptir , çünkü eğrinin toplam uzunluğu bir faktör kadar artar.4/3her yineleme ile. Her yineleme, önceki yinelemedekinden dört kat daha fazla çizgi parçası oluşturur ve her birinin uzunluğu1/3önceki aşamadaki bölümlerin uzunluğu. Bu nedenle, n yinelemeden sonra eğrinin uzunluğu (4/3) ⁿ , orijinal üçgen çevresinin katıdır ve n sonsuzluğa meyilli olduğundan sınırsızdır.

çevre sınırı

İterasyon sayısı sonsuza gittiğinden, çevre sınırı şu şekildedir:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }P_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }3\cdot s\cdot \left({\frac {4}{3}}\sağ) ^{n}=\infty \,,}$

beri |4/3|  > 1.

Bir ln 4/3'te-boyutlu ölçü var, ancak şu ana kadar hesaplanmadı. Sadece üst ve alt sınırlar icat edilmiştir.

Koch kar tanesi alanı

Her yinelemede, önceki yinelemenin her iki tarafına yeni bir üçgen eklenir, bu nedenle yineleme n'de eklenen yeni üçgenlerin sayısı :

${\displaystyle T_{n}=N_{n-1}=3\cdot 4^{n-1}={\frac {3}{4}}\cdot 4^{n}\,.}$

Bir yinelemede eklenen her yeni üçgenin alanı 1/9önceki yinelemede eklenen her üçgenin alanının, dolayısıyla n yinelemesinde eklenen her üçgenin alanı :

${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}}{9}}={\frac {a_{0}}{9^{n}}}\,.}$

nerede bir ₀ orijinal üçgenin alanıdır. Bu nedenle, n yinelemesinde eklenen toplam yeni alan :

${\displaystyle b_{n}=T_{n}\cdot a_{n}={\frac {3}{4}}\cdot {\sol({\frac {4}{9}}\sağ)}^ {n}\cdot a_{0}}$

n yinelemeden sonra kar tanesinin toplam alanı :

${\displaystyle A_{n}=a_{0}+\sum _{k=1}^{n}b_{k}=a_{0}\left(1+{\frac {3}{4}}}\ toplam _{k=1}^{n}\sol({\frac {4}{9}}\sağ)^{k}\sağ)=a_{0}\sol(1+{\frac {1} {3}}\sum _{k=0}^{n-1}\sol({\frac {4}{9}}\sağ)^{k}\sağ)\,.}$

Geometrik toplamı daraltmak şunları verir:

${\displaystyle A_{n}=a_{0}\sol(1+{\frac {3}{5}}\sol(1-\sol({\frac {4}{9}}\sağ))^{ n}\sağ)\sağ)={\frac {a_{0}}{5}}\sol(8-3\sol({\frac {4}{9}}\sağ)^{n}\sağ )\,.}$

Alan sınırları

Alanın sınırı:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{0}}{5}}\cdot \left(8-3\ sol({\frac {4}{9}}\sağ)^{n}\sağ)={\frac {8}{5}}\cdot a_{0}\,,}$

beri |4/9|  < 1.

Böylece, Koch kar tanesinin alanı 8/5orijinal üçgenin alanı. Orijinal üçgenin kenar uzunluğu s cinsinden ifade edildiğinde , bu:

${\displaystyle {\frac {2s^{2}{\sqrt {3}}}{5}}.}$

Devrimin katı

Koch kar tanesinin birim kenarının başlangıç ​​eşkenar üçgeninin simetri ekseni etrafındaki dönüş katısının hacmi${\displaystyle {\frac {11{\sqrt {3}}}}{135}}\pi.}$

Diğer özellikler

Koch kar tanesi, merkezde daha büyük bir kopyayı çevreleyen altı küçük kopya ile kendi kendini kopyalıyor. Bu nedenle, bir rep-7 rep-tile'dir ( tartışma için Rep- tile'ye bakınız ).

Fraktal boyut Koch eğrisinin olduğu4'te/3'te ≈ 1.26186. Bu hat (= 1) daha büyük, fakat daha az daha Peano 'in boşluk doldurucu eğri (= 2).

Koch eğrisi her yerde süreklidir , ancak hiçbir yerde türevlenemez .

Uçağın mozaiklenmesi

Koch kar tanesinin iki boyutuyla mozaikleme

Koch kar tanelerinin iki farklı boyuttaki kopyalarıyla uçağı mozaiklemek mümkün . Ancak, sadece tek boyutlu kar taneleri kullanılarak böyle bir mozaikleme mümkün değildir. Mozaikteki her Koch kar tanesi, iki farklı boyutta yedi küçük kar tanesine bölünebildiğinden, aynı anda ikiden fazla boyut kullanan mozaikler bulmak da mümkündür. Uçağı döşemek için aynı boyuttaki Koch kar taneleri ve Koch kar taneleri kullanılabilir.

Thue-Mors dizisi ve kaplumbağa grafikleri

Bir kaplumbağa grafik bir otomat bir dizi ile programlanmışsa oluşturulur eğridir. Program durumlarını seçmek için Thue-Mors dizisi üyeleri kullanılıyorsa:

• Eğer T ( n ) = 0 , bir birim önde taşımak,
• Eğer T ( n ) 1 = lik bir açı ile, döndürme yönününπ/3,

ortaya çıkan eğri Koch kar tanesine yakınsar.

Lindenmayer sistemi olarak temsil

Koch eğrisi aşağıdaki yeniden yazma sistemi ile ifade edilebilir ( Lindenmayer sistemi ):

Alfabe  : F

Sabitler  : +, -

aksiyom  : F

Üretim kuralları :

F → F+F--F+F

Burada F "ileri çek" anlamına gelir , - "60° sağa dön" ve + "60° sola dön" anlamına gelir.

Koch kar tanesini oluşturmak için, aksiyom olarak F--F--F (eşkenar üçgen) kullanılır.

Koch eğrisinin varyantları

Von Koch'un konseptini takiben, dik açılar ( kuadratik ), diğer açılar ( Cesàro ), daireler ve çokyüzlüler ve bunların daha yüksek boyutlara uzantıları (sırasıyla Sphereflake ve Kochcube ) dikkate alınarak Koch eğrisinin çeşitli varyantları tasarlandı.

Varyant ( boyut , açı )	illüstrasyon	Yapı
≤1D, 60-90° açı	Cesaro fraktal (85°)	Cesàro fraktal, Koch eğrisinin 60° ile 90° arasında bir açıya sahip bir çeşididir. Bir Cesàro kar tanesinin ilk dört yinelemesi (90° karede düzenlenmiş dört 60° eğri)
≈1.46D, 90° açı	İkinci dereceden tip 1 eğrisi	İlk iki yineleme
1.5D, 90° açı	İkinci dereceden tip 2 eğrisi	Minkowski Sosis İlk iki yineleme. Fraktal boyutu eşittir3/2 ve boyut 1 ile 2 arasında tam olarak yarı yoldadır. Bu nedenle, tamsayı olmayan fraktal nesnelerin fiziksel özelliklerini incelerken sıklıkla seçilir.
≤2D, 90° açı	Üçüncü yineleme	Minkowski Adası Bir karede düzenlenmiş dört ikinci dereceden tip 2 eğri
≈1.37D, 90° açı	ikinci dereceden pul	Bir poligonda düzenlenmiş 4 ikinci dereceden tip 1 eğri: İlk iki yineleme. " Minkowski Sosis " olarak bilinen fraktal boyutu eşittir3'te/ln √ 5 = 1.36521.
≤2D, 90° açı	kuadratik antiflake	Anti kanaviçe eğrisi eğrileri (yerine dışarı doğru içe doğru bakan, ikinci dereceden pul tip 1, Vicsek fraktal )
≈1.49D, 90° açı	ikinci dereceden çapraz	Başka bir varyasyon. Fraktal boyutu eşittir3.33'te/ln √ 5 = 1.49.
≤2D, 90° açı	ikinci dereceden ada	İkinci dereceden eğri, yinelemeler 0, 1 ve 2; boyutu18'de/6'da≈1.61
≤2D, 60° açı	von Koch yüzeyi	Koch eğrisinin iki boyutta doğal uzantısının ilk üç yinelemesi.
≤2D, 90° açı	Tip 1 3D Koch ikinci dereceden fraktal türünün birinci (mavi blok), ikinci (artı yeşil bloklar), üçüncü (artı sarı bloklar) ve dördüncü (artı şeffaf bloklar) yinelemeleri	İkinci dereceden tip 1 eğrisinin uzantısı. Soldaki resim, ikinci yinelemeden sonraki fraktalı gösterir. Animasyon ikinci dereceden yüzey .
≤3D, herhangi	3 boyutlu Koch eğrisi	Koch eğrilerinden oluşturulmuş üç boyutlu bir fraktal. Şekil, Sierpiński piramidi ve Menger süngerinin Sierpinski üçgeninin ve Sierpinski halısının uzantıları olarak düşünülebileceği gibi , eğrinin üç boyutlu bir uzantısı olarak düşünülebilir . Bu şekil için kullanılan eğrinin versiyonu 85 ° açı kullanır.

Benzer fraktal eğriler oluşturmak için kareler kullanılabilir. Bir birim kare ile başlayarak ve her yinelemede, önceki yinelemedeki karelerin üçte biri boyutunda bir kareyi her bir kenara ekleyerek, hem çevre uzunluğunun hem de toplam alanın geometrik ilerlemelerle belirlendiği gösterilebilir. Alanın ilerlemesi 2'ye yakınsar, çevrenin ilerlemesi ise sonsuza kadar uzaklaşır, yani Koch kar tanesi durumunda olduğu gibi, sonsuz bir fraktal eğri ile sınırlanmış sonlu bir alanımız var. Ortaya çıkan alan, merkezi orijinal ile aynı, ancak alanın iki katı olan bir kareyi doldurur ve döndürülür.π/4 radyan, çevre dokunuyor ama asla kendisiyle örtüşmüyor.

Toplam alanı koşulan n yineleme olduğunu inci:

${\displaystyle A_{n}={\frac {1}{5}}+{\frac {4}{5}}\sum _{k=0}^{n}\left({\frac {5} {9}}\sağ)^{k}\quad {\mbox{veren}}\quad \lim _{n\rightarrow \infty}A_{n}=2\,,}$

çevrenin toplam uzunluğu ise:

${\displaystyle P_{n}=4\sol({\frac {5}{3}}\sağ)^{n}a\,,}$

n arttıkça sonsuza yaklaşan .

Ayrıca bakınız

• Hausdorff boyutuna göre fraktalların listesi
• Gabriel'in Boynuzu (sonsuz yüzey alanı ancak sonlu bir hacmi çevreler)
• Gosper eğrisi (Peano- Gosper eğrisi veya akış yılanı olarak da bilinir )
• Osgood eğrisi
• kendine benzerlik
• teragon
• Weierstrass fonksiyonu
• kıyı şeridi paradoksu

Referanslar

daha fazla okuma

• Kasner, Edward; Newman, James (2001) [1940]. "IX Değişim ve Değiştirilebilirlik § Kar tanesi" . Matematik ve Hayal Gücü . Dover Basın . s. 344–351. ISBN'si 0-486-41703-4.

Dış bağlantılar

Harici video
Koch Kar Tanesi Fraktal – Khan Academy

• (2000) "von Koch Eğrisi", EFG'nin Bilgisayar Laboratuarı de Wayback Machine (2017 20 Temmuz arşivlenmiş)
• Bernt Wahl'ın Koch Eğrisi şiiri , Wahl.org . 23 Eylül 2019'da alındı.
• Weisstein, Eric W. "Koch Kar Tanesi" . Matematik Dünyası . 23 Eylül 2019'da alındı .
  • "Koch eğrisinin 7 yinelemesi" . Wolfram Alfa Sitesi . 23 Eylül 2019'da alındı .
  • "Kare Koch Fraktal Eğrileri" . Wolfram Gösterileri Projesi . 23 Eylül 2019'da alındı .
  • "Kare Koch Fraktal Yüzey" . Wolfram Gösterileri Projesi . 23 Eylül 2019'da alındı .
• Koch eğrisinin bir antene uygulanması
• Koch yüzeyinin yapısını gösteren bir WebGL animasyonu , tchaumeny.github.io . 23 Eylül 2019'da alındı.
• "Koch eğrisinin ve ikinci dereceden Koch eğrisinin matematiksel analizi" (PDF) . Orijinalinden (pdf) 26 Nisan 2012 tarihinde arşivlendi . Erişim tarihi: 22 Kasım 2011 .