Sierpinski üçgeni - Sierpiński triangle

Sierpinski üçgeni
Rastgele bir algoritma kullanılarak oluşturuldu
Mantığında Sierpinski üçgeni: ilk 16 bağlaçlar ait leksikografik sipariş argümanlar. İkili rakamlar olarak anlaşıldığı sütun 17, 51 ... (dizi, 15, 5, 3, 1 elde A001317 olarak OEIS )

Sierpinski üçgeni (bazen yazıldığından Sierpinski da denir), Sierpinski conta veya Sierpinski elek , bir olan fraktal cazip sabit ayar bir genel şekli ile eşkenar üçgenin alt bölümlere, yinelemeli küçük eşkenar üçgen içine. Başlangıçta bir eğri olarak oluşturulmuş olan bu, kendine benzer kümelerin temel örneklerinden biridir; yani, herhangi bir büyütme veya küçültmede yeniden üretilebilen matematiksel olarak oluşturulmuş bir modeldir. Adını Polonyalı matematikçi Wacław Sierpiński'den almıştır , ancak Sierpiński'nin çalışmasından yüzyıllar önce dekoratif bir desen olarak ortaya çıkmıştır.

İnşaatlar

Sierpinski üçgenini oluşturmanın birçok farklı yolu vardır.

Üçgenleri çıkarma

Sierpinski üçgeninin evrimi

Sierpinski üçgeni , üçgen alt kümelerinin tekrar tekrar çıkarılmasıyla bir eşkenar üçgenden oluşturulabilir :

  1. Eşkenar üçgenle başlayın.
  2. Dört küçük eş eşkenar üçgene bölün ve ortadaki üçgeni çıkarın.
  3. Kalan küçük üçgenlerin her biri ile 2. adımı sonsuza kadar tekrarlayın.

Her kaldırılan üçgen (bir trema ) olan topolojik bir açık grubu . Üçgenleri özyinelemeli olarak kaldırma işlemi, sonlu bir alt bölme kuralının bir örneğidir .

Küçültme ve çoğaltma

Sierpinski üçgenine yakınsayan aynı şekil dizisi alternatif olarak aşağıdaki adımlarla oluşturulabilir:

  1. Düzlemdeki herhangi bir üçgenle başlayın (düzlemdeki herhangi bir kapalı, sınırlı bölge gerçekten işe yarayacaktır). Kanonik Sierpinski üçgeni, tabanı yatay eksene paralel olan bir eşkenar üçgen kullanır (ilk resim).
  2. Üçgeni küçültmek 1/2 yükseklik ve 1/2genişlik, üç kopya yapın ve üç küçültülmüş üçgeni, her üçgen bir köşedeki diğer iki üçgene değecek şekilde konumlandırın (resim 2). Merkezdeki deliğin ortaya çıkışına dikkat edin - çünkü aralarındaki üç küçültülmüş üçgen sadece3/4orijinal alanın alanı. (Delikler, Sierpinski üçgeninin önemli bir özelliğidir.)
  3. Adım 2'yi daha küçük üçgenlerin her biri ile tekrarlayın (resim 3 ve benzeri).

Bu sonsuz sürecin, başlangıç ​​şeklinin üçgen olmasına bağlı olmadığına dikkat edin - bu şekilde daha açıktır. Örneğin bir kareden başlayan ilk birkaç adım aynı zamanda bir Sierpinski üçgenine doğru yönelir. Michael Barnsley , "V-değişken fraktallar ve süper fraktallar" adlı makalesinde bunu göstermek için bir balık görüntüsünü kullandı.

Bir kareden yineleme

Gerçek fraktal, sonsuz sayıda yinelemeden sonra elde edilecek olandır. Daha resmi olarak, kapalı nokta kümeleri üzerindeki fonksiyonlar cinsinden tanımlanır. d A'nın genişlemeyi bir faktörle göstermesine izin verirsek1/2bir A noktası etrafında, sonra A, B ve C köşeleri olan Sierpinski üçgeni d A  ∪  d B  ∪  d C dönüşümünün sabit kümesidir .

Bu çekici bir sabit kümedir , böylece işlem başka bir kümeye tekrar tekrar uygulandığında, görüntüler Sierpinski üçgeninde birleşir. Yukarıdaki üçgende olan budur, ancak başka herhangi bir küme yeterli olacaktır.

kaos oyunu

Kaos oyunu kullanılarak animasyonlu bir Sierpinski üçgeni oluşturma

Bir nokta alınır ve d A , d B ve d C dönüşümlerinin her birini ona rasgele uygularsa, elde edilen noktalar Sierpinski üçgeninde yoğun olacaktır, bu nedenle aşağıdaki algoritma yine ona rasgele yakın yaklaşımlar üretecektir:

Sierpinski üçgeninin köşeleri olarak p 1 , p 2 ve p 3 ve rastgele bir nokta v 1 olarak etiketleyerek başlayın . v n +1 = ayarla1/2( v n + p r n ) , burada r n rastgele bir sayı 1, 2 veya 3'tür. v 1 ila v noktalarını çizin . İlk v 1 noktası Sierpiński üçgeninde bir noktaysa, tüm v n noktaları Sierpinski üçgeni üzerindedir. Üçgenin çevresi içinde yer alan ilk v 1 noktası Sierpinski üçgeninde bir nokta değilse, v n noktalarından hiçbiri Sierpinski üçgeni üzerinde bulunmaz , ancak üçgende yakınsarlar. Eğer v 1 üçgenin dışındaysa, v n'nin gerçek üçgene inmesinin tek yolu , eğer üçgen sonsuz büyük olsaydı, v n üçgenin hangi parçası olurdu, olur.

Bir Sierpinski üçgeninin animasyonlu yapısı
Bir Sierpinski Üçgeni, 120°'lik bir açı oluşturan ve orta noktalardan ayrılan üç dalı olan bir fraktal ağaç tarafından özetlenir. Açı azaltılırsa, üçgen sürekli olarak bir ağaca benzeyen bir fraktal haline dönüştürülebilir.
Her subtriangle n deterministik Sierpinski üçgenin inci yineleme bir bir adresi var ağaç ile N seviyeleri (eğer n = ∞ sonra ağaç fraktal de); T=üst/merkez, L=sol, R=sağ ve bu diziler hem deterministik formu hem de "kaos oyununda bir dizi hareketi" temsil edebilir.

Veya daha basit:

  1. Bir üçgen oluşturmak için bir düzlemde üç nokta alın, çizmenize gerek yok.
  2. Üçgenin içindeki herhangi bir noktayı rastgele seçin ve mevcut konumunuzu düşünün.
  3. Üç köşe noktasından herhangi birini rastgele seçin.
  4. Mevcut konumunuzdan seçilen tepe noktasına olan mesafenin yarısını taşıyın.
  5. Geçerli konumu çizin.
  6. 3. adımdan itibaren tekrarlayın.

Bu yöntem aynı zamanda kaos oyunu olarak da adlandırılır ve yinelenen bir işlev sistemine bir örnektir . Üçgenin dışında veya içinde herhangi bir noktadan başlayabilirsiniz ve sonunda birkaç arta kalan nokta ile Sierpinski Contasını oluşturacaktır (başlangıç ​​noktası üçgenin ana hatları üzerindeyse, kalan nokta yoktur). Kalem ve kağıt ile yaklaşık yüz nokta yerleştirildikten sonra kısa bir taslak oluşturulur ve birkaç yüz noktadan sonra detay görünmeye başlar. Kaos oyununun etkileşimli bir versiyonu burada bulunabilir .

Yinelenen bir fonksiyon sistemi kullanan Sierpinski üçgeni

Sierpinski contasının ok ucu yapısı

Sierpinski contasının animasyonlu ok ucu yapısı
Sierpinski contasının ok ucu yapısı

Sierpinski contası için başka bir yapı , düzlemde bir eğri olarak oluşturulabileceğini göstermektedir . Koch kar tanesinin yapımına benzer şekilde, daha basit eğrilerin tekrar tekrar değiştirilmesi işlemiyle oluşturulur :

  1. Düzlemde tek bir çizgi parçasıyla başlayın
  2. Eğrinin her bir çizgi parçasını art arda üç kısa parça ile değiştirin, iki ardışık parça arasındaki her birleşimde 120°'lik açılar oluşturun, eğrinin ilk ve son bölümleri orijinal çizgi parçasına paralel veya onunla 60°'lik bir açı oluşturacak şekilde.

Her yinelemede bu yapı sürekli bir eğri verir. Limitte bunlar, Sierpinski ok ucu olarak adlandırılan tek bir sürekli yönlendirilmiş (sonsuz kıvrımlı) yolla Sierpinski üçgenini izleyen bir eğriye yaklaşır . Aslında, Sierpinski'nin 1915 tarihli orijinal makalesinin amacı, makalenin başlığının da belirttiği gibi bir eğri (Kantor eğrisi) örneği göstermekti.

hücresel otomatlar

Sierpinski üçgeni , Conway'in Game of Life ile ilgili olanlar da dahil olmak üzere belirli hücresel otomatalarda ( Kural 90 gibi ) görünür . Örneğin, tek bir hücreye uygulandığında Yaşam benzeri hücresel otomat B1/S12, Sierpinski üçgeninin dört yaklaşımını üretecektir. Standart yaşamda çok uzun bir hücre kalınlığında çizgi iki aynalı Sierpinski üçgeni oluşturacaktır. Hücresel bir otomattaki bir çoğaltıcı modelinin zaman-uzay diyagramı da genellikle bir Sierpinski üçgenine benzer, örneğin HighLife'daki ortak çoğaltıcınınki gibi. Sierpinski üçgeni, Ulam-Warburton otomatında ve Hex-Ulam-Warburton otomatında da bulunabilir.

Pascal üçgeni

Bir Pascal üçgeninin ilk 2 5 (32) seviyesini, binom katsayısı çift ise ve aksi halde siyahsa beyaz gölgelendirerek elde edilen bir Sierpinski üçgenine seviye 5 yaklaşımı

Sıralı Pascal üçgeni alınır ve çift sayılar beyaz, tek sayılar siyah renklendirilirse, sonuç Sierpinski üçgenine bir yaklaşımdır. Daha doğrusu, sınır olarak bu yaklaşımları sonsuza parite -colored Pascal üçgeni -row Sierpinski üçgeni olduğunu.

Hanoi Kuleleri

Hanoi Kuleleri bulmaca disk hiç daha küçük bir disk üzerine yerleştirilir, söz konusu özelliği koruyarak, üç mandal arasında farklı büyüklüklerde diskleri hareket içerir. Bir -disk bulmacasının durumları ve bir durumdan diğerine izin verilen hareketler, yönlendirilmemiş bir grafik oluşturur , Hanoi grafiği , geometrik olarak temsil edilebilen bu grafik , yapımında üçüncü adımdan sonra kalan üçgenler kümesinin kesişim grafiğidir . Sierpinski üçgeni. Böylece, sonsuza giden limitte , bu grafik dizisi Sierpinski üçgeninin ayrı bir analogu olarak yorumlanabilir.

Özellikler

Boyutların tam sayısı için , bir nesnenin bir tarafını ikiye katlarken, kopyaları oluşturulur, yani 1 boyutlu nesne için 2 kopya, 2 boyutlu nesne için 4 kopya ve 3 boyutlu nesne için 8 kopya. Sierpinski üçgeni için, kenarını ikiye katlamak kendisinin 3 kopyasını oluşturur. Böylece Sierpinski üçgeni sahip Hausdorff boyutu çözme izler için .

Sierpinski üçgeninin alanı sıfırdır ( Lebesgue ölçüsünde ). Her yinelemeden sonra kalan alan, önceki yinelemenin alanıdır ve sonsuz sayıda yineleme, sıfıra yaklaşan bir alanla sonuçlanır.

Bir Sierpinski üçgeninin noktaları, barycentric koordinatlarda basit bir karakterizasyona sahiptir . Bir nokta barycentric koordinatlarını varsa şeklinde ifade, ikili rakamlar , ardından nokta ancak ve ancak Sierpinski üçgeninde olduğu için bütün .

Diğer modüllere genelleme

Farklı bir modül kullanılıyorsa, Pascal üçgeni kullanılarak Sierpinski üçgeninin bir genellemesi de oluşturulabilir . Yineleme bir alarak oluşturulabilir Pascal üçgeni ile satır ve onların değer modulo rakamları boyama . Olarak yaklaşımlar sonsuz, bir fraktal oluşturulur.

Aynı fraktal, bir üçgeni benzer üçgenlerden oluşan bir mozaiğe bölerek ve baş aşağı olan üçgenleri orijinalden çıkararak ve ardından bu adımı her küçük üçgenle yineleyerek elde edilebilir.

Tersine, fraktal, bir üçgenle başlayıp onu çoğaltarak ve yeni şekilleri aynı yönde daha büyük bir benzer üçgende düzenleyerek ve önceki şekillerin köşeleri birbirine dokunarak ve ardından bu adımı yineleyerek oluşturulabilir.

Daha yüksek boyutlarda analoglar

Sierpinski piramit özyineleme ilerlemesi (7 adım)
Yukarıdan görüldüğü gibi bir Sierpiński üçgeni tabanlı piramit (4 ana bölüm vurgulanmıştır). Elde edilen üçgenin kendi içinde bir 2B fraktal olabilmesi için bu 2 boyutlu yansıtılmış görünümdeki kendine benzerliğe dikkat edin.

Sierpinski yüzlü veya tetrix'in sürekli düzenli bir daralma oluşturduğu Sierpinski üçgenin üç boyutlu analogudur tetrahedron , bir yarım orijinal yüksekliğine temas köşeleri ile birlikte bu tetrahedron dört kopyasını koyarak ve sonra işlemi tekrarlamak.

Kenar uzunluklu bir başlangıç ​​tetrahedronundan oluşturulan bir tetriks , toplam yüzey alanının her yinelemede sabit kalması özelliğine sahiptir. Yan uzunluğunun (yineleme-0) tetrahedron ilk yüzey alanı olan . Sonraki yineleme, kenar uzunluğuna sahip dört kopyadan oluşur , bu nedenle toplam alan tekrar olur. Sonraki yinelemeler, kopya sayısını tekrar dört katına çıkarır ve toplam alanı koruyarak kenar uzunluğunu yarıya indirir. Bu arada, inşaatın hacmi her adımda yarıya iniyor ve bu nedenle sıfıra yaklaşıyor. Bu işlemin sınırı ne hacim ne de yüzeye sahiptir, ancak Sierpinski contası gibi karmaşık bir şekilde bağlantılı bir eğridir. Onun Hausdorff boyutu olduğunu ; burada "log", doğal logaritmayı ifade eder, pay, önceki yinelemenin her bir kopyasından oluşturulan şeklin kopya sayısının logaritmasıdır ve payda, bu kopyaların öncekinden küçültüldüğü faktörün logaritmasıdır. yineleme. Tüm noktalar, dış kenarların ikisine paralel olan bir düzleme yansıtılırsa, örtüşmeden tam olarak bir kenar uzunluğunun karesini doldururlar .

Bir tetrixin bazı ortografik projeksiyonlarının bir düzlemi nasıl doldurabileceğini gösteren dönen bir seviye-4 tetrix animasyonu - bu etkileşimli SVG'de 3D modeli döndürmek için tetrix üzerinde sola ve sağa hareket edin

Tarih

Wacław Sierpiński , 1915'te Sierpinski üçgenini tanımladı. Bununla birlikte, benzer desenler zaten 13. yüzyıl Cosmatesque kakma taş işçiliğinin ortak bir motifi olarak ortaya çıkıyor .

Apollonian conta , ilk olarak tarif edilmiştir Pergeden Apollonius'un (3 yy) ve ayrıca ile analiz Gottfried Leibniz'i (17. yüzyılda) ve 20. yüzyıl Sierpinski üçgen bir kavisli ön-madde olan.

etimoloji

Sierpinski üçgenine atıfta bulunmak için "conta" kelimesinin kullanımı, motorlarda bulunan ve bazen fraktal gibi azalan boyutta bir dizi deliğe sahip olan contalara atıfta bulunur ; Bu kullanım, fraktalın "motorlardaki sızıntıları önleyen kısım"a benzediğini düşünen Benoit Mandelbrot tarafından yapılmıştır .

Ayrıca bakınız

Referanslar

  1. ^ "Trema Removal tarafından Sierpinski Conta"
  2. ^ Michael Barnsley ; ve diğerleri (2003), "V-değişken fraktallar ve süper fraktallar", arXiv : matematik/0312314
  3. ^ NOVA (kamu televizyon programı). Kaos'un Garip Yeni Bilimi (bölüm). Kamu televizyon istasyonu WGBH Boston. 31 Ocak 1989'da yayınlandı.
  4. ^ Feldman, David P. (2012), "17.4 Kaos oyunu" , Kaos ve Fraktallar: İlköğretime Giriş , Oxford University Press, s. 178–180, ISBN 9780199566440.
  5. ^ Peitgen, Heinz-Otto; Jürgens, Hartmut; Saupe, Dietmar; Maletsky, Evan; Perciante, Terry; ve Yunker, Lee (1991). Sınıf için Fraktallar: Stratejik Faaliyetler Cilt Bir , s.39. Springer-Verlag, New York. ISBN  0-387-97346-X ve ISBN  3-540-97346-X .
  6. ^ Prusinkiewicz, P. (1986), "L-sistemlerinin grafik uygulamaları" (PDF) , Grafik Arayüzü Bildiriler Kitabı '86 / Vision Arayüzü '86 , s. 247–253.
  7. ^ Sierpinski, Waclaw (1915). "Sur une courbe don'tout point est un point de ramification". Komp. Parçala. Acad. bilim Paris . 160 : 302–305 – https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k31131 aracılığıyla .
  8. ^ Brunori, Paola; Magrone, Paola; Lalli, Laura Tedeschini (2018-07-07), "Imperial Porfiry and Golden Leaf: Sierpinski Triangle in a Medieval Roman Cloister" , Akıllı Sistemler ve Hesaplamadaki Gelişmeler , Springer International Publishing, s. 595–609, doi : 10.1007/978 -3-319-95588-9_49 , ISBN 9783319955872
  9. ^ Rumpf, Thomas (2010), "Conway's Game of Life with OpenCL ile hızlandırıldı" (PDF) , Proceedings of the Eleventh International Conference on Membran Computing (CMC 11) , s. 459–462.
  10. ^ Bilotta, Eleonora; Pantano, Pietro (Yaz 2005), "2D hücresel otomatlarda acil model oluşturma fenomeni", Yapay Yaşam , 11 (3): 339–362, doi : 10.1162/1064546054407167 , PMID  16053574 , S2CID  7842605.
  11. ^ Khovanova, Tanya; Nie, Eric; Puranik, Alok (2014), "The Sierpinski Triangle and the Ulam-Warburton Automaton", Math Horizons , 23 (1): 5–9, arXiv : 1408.5937 , doi : 10.4169/mathhorizons.23.1.5 , S2CID  125503155
  12. ^ Stewart, Ian (2006), Nasıl Kek Kesilir: Ve diğer matematiksel bilmeceler , Oxford University Press, s. 145, ISBN 9780191500718.
  13. ^ Romik, Dan (2006), "Hanoi Kulesi grafiğinde ve sonlu otomatlarda en kısa yollar", SIAM Journal on Discrete Mathematics , 20 (3): 610–62, arXiv : math.CO/0310109 , doi : 10.1137/050628660 , MR  2272218 , S2CID  8342396.
  14. ^ Falconer, Kenneth (1990). Fraktal geometri: matematiksel temeller ve uygulamalar . Chichester: John Wiley. P. 120 . ISBN'si 978-0-471-92287-2. Zbl  0689.28003 .
  15. ^ Helmberg, Gilbert (2007), Fraktallarla Tanışmak , Walter de Gruyter, s. 41, ISBN 9783110190922.
  16. ^ "Sierpinski contasını oluşturmanın birçok yolu" .
  17. ^ Shannon & Bardzell, Kathleen & Michael, "Pascal Üçgenindeki Desenler - Bir Bükümle - İlk Büküm: Nedir?" , maa.org , Mathematical Association of America , alındı 29 Mart 2015
  18. ^ Jones, Huw; Campa, Aurelio (1993), "Tekrarlanan fonksiyon sistemlerinden soyut ve doğal formlar", Thalmann, NM'de; Thalmann, D. (eds.), Communicating with Virtual Worlds , CGS CG International Series, Tokyo: Springer, pp. 332-344, doi : 10.1007/978-4-431-68456-5_27
  19. ^ Williams, Kim (Aralık 1997). Stewart, Ian (ed.). "Cosmati'nin kaldırımları". Matematiksel Turist. Matematiksel Zekacı . 19 (1): 41–45. doi : 10.1007/bf03024339 .
  20. ^ Mandelbrot B (1983). Doğanın Fraktal Geometrisi . New York: WH Freeman. P. 170 . ISBN'si 978-0-7167-1186-5.
    Aste T, Weaire D (2008). Mükemmel Paketlemenin Peşinde (2. baskı). New York: Taylor ve Francis. s. 131–138. ISBN'si 978-1-4200-6817-7.
  21. ^ Benedetto, John; Wojciech, Czaja. Entegrasyon ve Modern Analiz . P. 408.

Dış bağlantılar