Sahil şeridi paradoksu - Coastline paradox

Kıyı şeridi paradoksuna bir örnek. Büyük Britanya'nın kıyı şeridi 100 km (62 mi) uzunluğundaki birimler kullanılarak ölçülürse, kıyı şeridinin uzunluğu yaklaşık 2.800 km'dir (1.700 mi). 50 km (31 mi) ünite ile toplam uzunluk yaklaşık 3.400 km (2.100 mi), yaklaşık 600 km (370 mi) daha uzundur.

Şeridi paradoks bu beklenenin aksine gözlemdir şeridi a kara iyi tanımlanmış bir uzunluğa sahip değildir. Bu , kıyı şeridinin fraktal eğri benzeri özelliklerinden, yani bir kıyı şeridinin tipik olarak fraktal bir boyuta sahip olmasından kaynaklanır (ki bu aslında uzunluk kavramını uygulanamaz kılar). Bu fenomenin ilk kaydedilen gözlemi Lewis Fry Richardson tarafından yapıldı ve Benoit Mandelbrot tarafından genişletildi .

Kıyı şeridinin ölçülen uzunluğu, onu ölçmek için kullanılan yönteme ve kartografik genellemenin derecesine bağlıdır . Bir kara kütlesi, yüzlerce kilometreden bir milimetrenin küçük kesirlerine kadar tüm ölçeklerde özelliklere sahip olduğundan, ölçüm yaparken dikkate alınması gereken en küçük özelliğin belirgin bir boyutu yoktur ve bu nedenle tek bir iyi tanımlanmış çevre yoktur. kara parçasına. Minimum özellik boyutu hakkında belirli varsayımlar yapıldığında çeşitli yaklaşımlar mevcuttur.

Sorun, diğer, daha basit kenarların ölçümünden temel olarak farklıdır. Örneğin, uzunluğun belirli bir miktardan küçük ve başka bir miktardan büyük olduğunu belirlemek için bir ölçüm cihazı kullanarak düz, idealleştirilmiş bir metal çubuğun uzunluğunu doğru bir şekilde ölçmek mümkündür - yani, belirli bir aralıkta ölçmek. belirsizlik derecesi . Ölçüm cihazı ne kadar doğru olursa, kenarın gerçek uzunluğuna o kadar yakın sonuçlar olacaktır. Ancak bir kıyı şeridini ölçerken, daha yakın ölçüm doğrulukta bir artışla sonuçlanmaz - ölçüm yalnızca uzunluk olarak artar; metal çubuktan farklı olarak, kıyı şeridinin uzunluğu için maksimum bir değer elde etmenin bir yolu yoktur.

Üç boyutlu uzayda, kıyı şeridi paradoksu, ölçüm çözünürlüğüne bağlı olarak bir yüzey alanının değiştiği fraktal yüzeyler kavramına kolaylıkla genişletilir .

Matematiksel yönler

Temel uzunluk kavramı, Öklid mesafesinden kaynaklanır . Öklid geometrisinde düz bir çizgi iki nokta arasındaki en kısa mesafeyi temsil eder . Bu çizginin sadece bir uzunluğu vardır. Bir kürenin yüzeyinde bunun yerini , hem uç noktaları hem de kürenin merkezini içeren düzlemde bulunan yüzey eğrisi boyunca ölçülen jeodezik uzunluk ( büyük daire uzunluğu da denir ) alır. Temel yay uzunluğu daha karmaşıktır, ancak, aynı zamanda hesaplanabilir. Cetvellerle ölçerek, noktaları birleştiren düz çizgilerin toplamını ekleyerek bir eğrinin uzunluğu yaklaşık olarak hesaplanabilir:

yay uzunluğu.svg

Bir eğrinin uzunluğunu tahmin etmek için birkaç düz çizgi kullanmak, gerçek uzunluktan daha düşük bir tahmin üretecektir; giderek daha kısa (ve dolayısıyla daha çok sayıda) çizgiler kullanıldığında, toplam eğrinin gerçek uzunluğuna yaklaşır. Bu uzunluk için kesin bir değer , sonsuz derecede küçük mesafelerin hesaplanmasını sağlayan matematik dalı olan kalkülüs kullanılarak bulunabilir . Aşağıdaki animasyon, düzgün bir eğriye nasıl anlamlı bir şekilde kesin bir uzunluk atanabileceğini gösterir:

yay uzunluğu.gif

Tüm eğriler bu şekilde ölçülemez. Bir fraktal tanımı, olan karmaşıklığı ölçüm ölçeği ile değiştiren bir eğri ile, bir. Düz bir eğrinin yaklaşımları, ölçüm kesinliği arttıkça tek bir değere yönelirken , bir fraktal için ölçülen değer yakınsamaz.

S1
S2
S3
S4
S5
Aynı modeli daha küçük ve daha küçük bir ölçekte tekrarlayan bu Sierpiński eğrisi (bir tür Boşluk doldurma eğrisi ), uzunluk olarak artmaya devam ediyor. Sonsuz olarak bölünebilir bir geometrik uzayda yinelendiği anlaşılırsa, uzunluğu sonsuzluğa meyleder. Aynı zamanda, alan eğri içine yapar hassas yakınsamak Şekil-gibi, benzer şekilde, toprak kütlesi bir ada kıyı şeridi uzunluğu daha kolayca hesaplanabilir.

Bir fraktal eğrinin uzunluğu her zaman sonsuza saptığından, bir kıyı şeridini sonsuz ya da sonsuza yakın çözünürlükte ölçecek olsaydınız, kıyı şeridindeki sonsuz kısa bükülmelerin uzunluğu sonsuza kadar eklerdi. Ancak bu şekil, uzayın sonsuz küçük bölümlere ayrılabileceği varsayımına dayanmaktadır. Öklid geometrisinin altında yatan ve günlük ölçümlerde faydalı bir model olarak hizmet eden bu varsayımın gerçek değeri, felsefi bir spekülasyon meselesidir ve atom düzeyinde değişen "uzay" ve "mesafe" gerçekliklerini yansıtabilir veya yansıtmayabilir ( yaklaşık bir nanometre ölçeğinde ). Örneğin, bir atomdan çok daha küçük olan Planck uzunluğu , evrende mümkün olan en küçük ölçülebilir birim olarak önerilmektedir.

Sahil şeritlerinin yapıları, Mandelbrot kümesi gibi idealize edilmiş fraktallardan daha az kesindir, çünkü bunlar istatistiksel olarak rastgele şekillerde desenler oluşturan çeşitli doğal olaylar tarafından oluşturulurken , idealleştirilmiş fraktallar basit, formül dizilerinin tekrarlanan yinelemeleriyle oluşturulur.

keşif

1951'den kısa bir süre önce Lewis Fry Richardson , sınır uzunluklarının savaş olasılığı üzerindeki olası etkisini araştırırken, Portekizlilerin İspanya ile ölçülen sınırlarını 987 km, İspanyolların ise 1214 km olarak bildirdiğini fark etti. Bu, düzensiz sınırların ölçülmesinde doğasında var olan matematiksel bir belirsizlik olan kıyı şeridi sorununun başlangıcıydı.

Bir sınır (veya kıyı) uzunluğunu tahmin hakim usul hazırlamak olmuştur , n uzunluğu düz-çizgi parçalarının eşit olan bölücülerin bir harita veya hava fotoğrafta. Segmentin her bir ucu sınırda olmalıdır. Sınır tahminindeki tutarsızlıkları araştıran Richardson, şimdi "Richardson Etkisi" olarak adlandırılan şeyi keşfetti: bölümlerin toplamı, bölümlerin ortak uzunluğuyla ters orantılıdır. Gerçekte, cetvel ne kadar kısa olursa, ölçülen kenar o kadar uzun olur; İspanyol ve Portekizli coğrafyacılar basitçe farklı uzunlukta cetveller kullanıyorlardı.

Richardson'ı en çok şaşırtan sonuç, belirli koşullar altında sıfıra yaklaştıkça kıyı şeridinin uzunluğunun sonsuza yaklaşmasıdır . Richardson, Öklid geometrisine dayanarak, düzenli geometrik şekillerin benzer tahminlerinde olduğu gibi, bir kıyı şeridinin sabit bir uzunluğa yaklaşacağına inanmıştı. Örneğin, çevre düzenli bir çokgen bir içinde yazılı daire yaklaşımlar çevresi (ve bir tarafın uzunluğu azalarak) kenarlarının sayısının artmasıyla. Olarak geometrik ölçü teorisi kesin bir sınır küçük düz parçalar olarak ifade edilebilir, daire gibi düzgün bir eğri olarak adlandırılır doğrultulabilir eğrisi .

Bir kıyı şeridini ölçmek

Richardson işlerini tamamlayan sonra on yıldan fazla zaman, Benoit Mandelbrot arasında yeni bir şube geliştirilen matematik , fraktal geometri sonsuz kıyı şeridi olarak doğada böyle olmayan düzeltilebilir komplekslerini tarif etmek. Çalışmasının temeli olarak hizmet eden yeni figürün kendi tanımı şudur:

Ben icat fraktal gelen Latince sıfat parçalanmış . Karşılık gelen Latince franger fiili, düzensiz parçalar oluşturmak için "kırmak:" anlamına gelir. Bu nedenle, "parçalanmış"ın yanı sıra ... fractus'un "düzensiz" anlamına da gelmesi mantıklıdır .

Fraktalın önemli bir özelliği kendine benzerliktir ; yani, herhangi bir ölçekte aynı genel konfigürasyon görünür. Bir sahil şeridi, burunlarla değişen koylar olarak algılanır. Belirli bir kıyı şeridinin bu öz-benzerlik özelliğine sahip olduğu varsayımsal durumda, o zaman, kıyı şeridinin herhangi bir küçük bölümü ne kadar büyütülürse büyütülsün, daha büyük koylar ve burunlar üzerinde üst üste bindirilmiş benzer bir küçük koylar ve burunlar örüntüsü, doğrudan doğruya ortaya çıkar. kum taneleri. Bu ölçekte kıyı şeridi , eldeki küçük nesnelerden oluşturulan koyların ve burunların stokastik bir düzenlemesiyle, anlık olarak değişen, potansiyel olarak sonsuz uzunlukta bir iplik gibi görünür . Böyle bir ortamda (pürüzsüz eğrilerin aksine) Mandelbrot, "kıyı şeridi uzunluğunun, onu kavramak isteyenlerin parmakları arasında kayan, anlaşılması zor bir kavram olduğunu" iddia ediyor.

Farklı fraktal türleri vardır. Belirtilen özelliğe sahip bir kıyı şeridi, "birinci fraktal kategorisi, yani fraktal boyutu 1'den büyük olan eğriler" içindedir. Bu son ifade, Richardson'ın düşüncesinin Mandelbrot tarafından bir uzantısını temsil ediyor. Mandelbrot'un Richardson Etkisi ile ilgili ifadesi şudur:

burada L, kıyı şeridi uzunluğu, ölçüm biriminin bir fonksiyonu olan ε, ifade ile yaklaşık olarak hesaplanır. F bir sabittir ve D, Richardson'ın L tarafından tahmin edilen kıyı şeridine bağlı olarak bulduğu bir parametredir. Teorik bir açıklama yapmadı, ancak Mandelbrot D'yi Hausdorff boyutunun tamsayı olmayan bir formuyla , daha sonra fraktal boyutla tanımladı . İfadenin sağ tarafının yeniden düzenlenmesi şunları elde eder:

burada Fε −D , L'yi elde etmek için gerekli olan ε birim sayısı olmalıdır. Fraktal boyut, fraktal yaklaşık olarak kullanılan şeklin boyutlarının sayısıdır: bir nokta için 0, bir çizgi için 1, bir kare için 2. İfadedeki D, tipik olarak 1.5'ten küçük kıyı şeritleri için 1 ile 2 arasındadır. Göl kıyıları için tipik değer D = 1.28'dir. Sahili ölçen kesikli çizgi tek yönde uzanmaz ve bir alanı temsil etmez, ancak orta düzeydedir. Kalın bir çizgi veya 2ε genişliğinde bir bant olarak yorumlanabilir. Daha fazla kırık kıyı şeridi daha büyük D'ye sahiptir ve bu nedenle aynı ε için L daha uzundur. Mandelbrot, D'nin ε'dan bağımsız olduğunu gösterdi.

Ayrıca bakınız

Referanslar

alıntılar

Kaynaklar

Dış bağlantılar