K3 yüzeyi - K3 surface

3 boşlukta pürüzsüz bir kuartik yüzey. Şekil, belirli bir karmaşık K3 yüzeyindeki (karmaşık boyut 2, dolayısıyla gerçek boyut 4) gerçek noktaların (gerçek boyut 2'nin) bir kısmını göstermektedir .

Gelen matematik , bir kompleks analitik K3 yüzey bir kompakt olarak bağlı olan kompleks manifoldu önemsiz olan bir boyuta 2'nin standart demet ve düzensizlik sıfır. Herhangi üzerinde bir (cebirsel) K3 yüzey alanına , bir aracı düzgün , uygun geometrik bağlı cebirsel yüzey ye uyan aynı koşullar. Gelen Enriques-Kodaira sınıflandırma yüzeylerin, K3 minimal yüzeyler dört sınıf bir şekilde bir yüzeyleri Kodaira boyutu sıfır. Basit bir örnek Fermat kuartik yüzeyidir.

${\displaystyle x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4}=0}$

içinde karmaşık yansıtmalı 3-uzay .

İki boyutlu kompakt kompleks tori ile birlikte K3 yüzeyleri, iki boyutlu Calabi-Yau manifoldlarıdır (ve ayrıca hyperkähler manifoldlarıdır ). Bu nedenle, pozitif kavisli del Pezzo yüzeyleri (sınıflandırılması kolay) ve genel tipteki (esas olarak sınıflandırılamayan) negatif kavisli yüzeyler arasında, cebirsel yüzeylerin sınıflandırılmasının merkezinde yer alırlar . K3 yüzeyleri, yapısı eğrilere veya değişmeli çeşitlere indirgenmeyen , ancak yine de esaslı bir anlayışın mümkün olduğu en basit cebirsel çeşitler olarak kabul edilebilir . Karmaşık bir K3 yüzeyi gerçek boyut 4'e sahiptir ve pürüzsüz 4-manifoldların incelenmesinde önemli bir rol oynar . K3 yüzeyleri Kac-Moody cebirlerine , ayna simetrisine ve sicim teorisine uygulanmıştır .

Karmaşık cebirsel K3 yüzeylerini, daha geniş karmaşık analitik K3 yüzeyleri ailesinin bir parçası olarak düşünmek faydalı olabilir. Diğer birçok cebirsel çeşit türü, bu tür cebirsel olmayan deformasyonlara sahip değildir.

Tanım

K3 yüzeylerini tanımlamanın birkaç eşdeğer yolu vardır. Önemsiz kanonik demeti olan tek kompakt karmaşık yüzeyler K3 yüzeyleri ve kompakt kompleks tori'dir ve bu nedenle K3 yüzeylerini tanımlamak için ikincisi hariç herhangi bir koşul eklenebilir. Örneğin, karmaşık bir analitik K3 yüzeyini, hiçbir yerde kaybolmayan bir holomorfik 2-form ile 2 boyutlu basit bağlantılı bir kompakt karmaşık manifold olarak tanımlamak eşdeğerdir . (İkinci koşul, tam olarak kanonik paketin önemsiz olduğunu söylüyor.)

Tanımın bazı varyantları da vardır. Karmaşık sayılar üzerinde, bazı yazarlar yalnızca cebirsel K3 yüzeylerini dikkate alır. (Cebirsel bir K3 yüzeyi otomatik olarak yansıtmalıdır .) Veya K3 yüzeylerinin pürüzsüz olmak yerine du Val tekilliklerine ( 2 boyutunun kanonik tekillikleri ) sahip olmasına izin verilebilir .

Betti sayılarının hesaplanması

Betti sayıları aşağıdaki gibi bir kompleks analitik K3 yüzeyinin hesaplanır. (Benzeri bir argüman, bir alan üzerinde bir cebirsel K3 yüzeyinin Betti sayıları için aynı cevabı verir kullanılarak tanımlanan l-adic kohomolojisi .) Tanım olarak, standart demet önemsiz ve düzensizliğin q ( X ) (boyut ve tutarlı demet kohomoloji grubu ) sıfırdır. By Serre ikiliği , ${\displaystyle K_{X}=\Omega _{X}^{2}}$${\görüntüleme stili h^{1}(X,O_{X})}$${\ Displaystyle H^{1}(X,O_{X})}$

${\displaystyle h^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})=h^{0}(X,K_{X})=1.}$

Sonuç olarak, X'in aritmetik cinsi (veya holomorfik Euler karakteristiği ) :

${\displaystyle \chi (X,{\mathcal {O}}_{X}):=\sum _{i}(-1)^{i}h^{i}(X,{\mathcal {O} }_{X})=1-0+1=2.}$

Öte yandan, Riemann-Roch teoremi (Noether formülü) şöyle der:

${\displaystyle \chi (X,{\mathcal {O}}_{X})={\frac {1}{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2} (X)\sağ),}$

burada bir i -inci Chern sınıfı arasında tanjant demeti . Yana önemsiz olduğunu ilk Chern sınıf sıfır ve böyledir . ${\ Displaystyle c_{i}(X)}$${\görüntüleme stili K_{X}}$${\displaystyle c_{1}(K_{X})=-c_{1}(X)}$${\ Displaystyle c_{2}(X)=24}$

Daha sonra, üstel dizi , kohomoloji gruplarının kesin bir dizisini verir ve böylece . Böylece Betti sayısı sıfırdır ve ile Poincare ikilik , aynı zamanda, sıfırdır. Son olarak, topolojik Euler karakteristiğine eşittir${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{X}\to O_{X}\to O_{X}^{*}\to 0}$${\displaystyle 0\to H^{1}(X,\mathbb {Z} )\to H^{1}(X,O_{X})}$${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} )=0}$${\görüntüleme stili b_{1}(X)}$${\ Displaystyle b_{3}(X)}$${\ Displaystyle c_{2}(X)=24}$

${\displaystyle \chi (X)=\sum _{i}(-1)^{i}b_{i}(X).}$

ve beri , bunu takip eder . ${\displaystyle b_{0}(X)=b_{4}(X)=1}$${\displaystyle b_{1}(X)=b_{3}(X)=0}$${\ Displaystyle b_{2}(X)=22}$

Özellikler

• Herhangi iki karmaşık analitik K3 yüzeyi, Kunihiko Kodaira tarafından pürüzsüz 4-manifoldlar olarak difeomorfiktir .
• Her karmaşık analitik K3 yüzeyi vardır Kähler metrik tarafından, Yum-Tong Siu . (Benzer şekilde, ama çok daha kolay: bir alan üzerindeki her cebirsel K3 yüzeyi projektiftir.) Shing-Tung Yau'nun Calabi varsayımına çözümüne göre, her karmaşık analitik K3 yüzeyinin bir Ricci-düz Kähler metriğine sahip olduğu sonucu çıkar.
• Hodge numaralar herhangi K3 yüzeyin Hodge elmas listelenmiştir:

  		1
  	0		0
  1		20		1
  	0		0
  		1

  Bunu göstermenin bir yolu, belirli bir K3 yüzeyinin Jacobian idealini hesaplamak ve ardından bu tür tüm K3 yüzeylerinin aynı Hodge sayılarına sahip olduğunu göstermek için cebirsel K3 yüzeylerinin modülleri üzerinde Hodge yapısının bir varyasyonunu kullanmaktır . Keyfi bir K3 yüzeyi için hesaplanan Hodge yapısının bölümleriyle birlikte Betti sayılarının hesaplanması kullanılarak daha düşük kaşlı bir hesaplama yapılabilir . Bu durumda Hodge simetri kuvvetleri , dolayısıyla . Karakteristik p > 0'daki K3 yüzeyleri için bu ilk olarak Alexey Rudakov ve Igor Shafarevich tarafından gösterildi .${\displaystyle H^{2}(X;\mathbb {Z} )}$${\displaystyle H^{0}(X;\Omega _{X}^{2})\cong \mathbb {C} }$${\displaystyle H^{1}(X,\Omega _{X})\cong \mathbb {C} ^{20}}$

• Bir kompleks analitik K3 yüzeyi için X , kesişme biçiminde (ya da kap ürünü üzerine) a, simetrik iki doğrusal bir şekilde bilinen tamsayılar üzere değerlerle K3 kafes . Bu da izomorf unimodular kafes eşit ya da burada, u rank 2 hiperbolik kafes ve bir E8 kafes .${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{22}}$ ${\displaystyle \operatöradı {II} _{3,19}}$${\displaystyle E_{8}(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}}$${\ Displaystyle E_{8}}$
• Yukio Matsumoto'nun 11/8 varsayımı , çift kesişim formuna sahip her düzgün yönlendirilmiş 4 manifoldlu X'in , imzanın mutlak değerinin en az 11/8 katı ikinci Betti sayısına sahip olduğunu tahmin eder . Eğer doğruysa bu optimal olacaktır, çünkü eşitlik 3−19 = −16 imzasına sahip karmaşık bir K3 yüzeyi için geçerlidir. Varsayım da kesişme formu her basit bağlantılı düz 4-manifoldu olduğu anlamına geliyor homeomorphic a bağlı toplamı K3 yüzeyinin ve kopya .${\displaystyle S^{2}\times S^{2}}$
• K3 yüzeyine difeomorfik olan her karmaşık yüzey, Robert Friedman ve John Morgan tarafından bir K3 yüzeyidir . Öte yandan, Kodaira ve Michael Freedman tarafından homeomorfik olan ancak bir K3 yüzeyine difeomorfik olmayan pürüzsüz karmaşık yüzeyler (bazıları projektif) vardır . Bu "homotopi K3 yüzeylerinin" tümü Kodaira boyutu 1'e sahiptir.

Örnekler

• Çift kapak X, bir yansıtmalı düzlemi pürüzsüz sextic boyunca dallı (derece 6) eğri genus 2 K3 yüzeyidir (olduğunu, derece 2 gr -2 = 2). (Ters görüntüsü Bu terminoloji aracının X genel bir hiper olarak düzgün bir eğri cinsi 2.)${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$
• Pürüzsüz bir kuartik (derece 4) yüzey, cins 3'ün (yani, derece 4) bir K3 yüzeyidir.${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$
• Bir Kummer yüzeyi , iki boyutlu değişmeli A çeşidinin eylem tarafından bölümüdür . Bu, A'nın 2 burulma noktasında 16 tekillikle sonuçlanır . En az çözünürlük , bu tekil yüzeyin da Kummer yüzeyi olarak adlandırılabilir; bu çözünürlük bir K3 yüzeyidir. A , cins 2'nin bir eğrisinin Jacobian'ı olduğunda , Kummer, bölümün 16 düğümlü bir kuartik yüzey olarak gömülebileceğini gösterdi .${\ Displaystyle a\mapsto -a}$${\ Displaystyle A/(\pm 1)}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$
• Daha genel olarak: bir quartic yüzeyi, Y du Val Singularities ile, minimal çözünürlük Y bir cebirsel K3 yüzeyidir.
• Bir kuadrik ve bir kübik in kesişimi, cins 4'ün (yani, derece 6) bir K3 yüzeyidir.${\displaystyle \mathbf {P} ^{4}}$
• Üç kuadranın kesişimi, cins 5'in (yani, 8. derece) bir K3 yüzeyidir.${\displaystyle \mathbf {P} ^{5}}$
• Ağırlıklı projektif uzaylarda du Val tekilliklerine sahip birkaç K3 yüzey veri tabanı vardır .

Picard kafesi

Picard grubu Pic ( X, bir kompleks analitik K3 yüzeyi) X üzerinde kompleks analitik hattı demetlerinin değişmeli grubu anlamına gelmektedir , X . Bir cebirsel K3 yüzeyi için, Pic( X ), X üzerindeki cebirsel çizgi demetleri grubu anlamına gelir . İki tanım tarafından karmaşık bir cebirsel K3 yüzeyi kabul Jean-Pierre Serre 'in GAGA teoremi.

Bir K3 yüzeyi X'in Picard grubu her zaman sonlu olarak oluşturulmuş bir serbest değişmeli gruptur; rütbesine Picard numarası denir . Karmaşık durumda, Pic( X ) öğesinin bir alt grubudur . Birçok farklı Picard sayısının oluşabilmesi K3 yüzeylerinin önemli bir özelliğidir. İçin X kompleks cebirsel K3 yüzeyi , 1 ve kompleks analitik durumda ila 20 arasında herhangi bir tamsayı olabilir , aynı zamanda sıfır olabilir. (Bu durumda, X hiç kapalı karmaşık eğri içermez. Buna karşılık, bir cebirsel yüzey her zaman birçok sürekli eğri ailesi içerir.) Cebirsel olarak kapalı bir karakteristik p > 0 alanı üzerinde , süpersingular özel bir K3 yüzey sınıfı vardır. 22 numaralı Picard ile K3 yüzeyleri . ${\görüntüleme stili \rho }$${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{22}}$${\görüntüleme stili \rho }$${\görüntüleme stili \rho }$

Picard kafes K3 yüzeyinin değişmeli grubu Pic (anlamına gelir x ) ile birlikte kesişim formu, tam sayılar değerleri simetrik bir çift doğrusal formu. (Üzerinde , kesişim formu, üzerinde kesişim formunun kısıtlanması anlamına gelir . Genel bir alan üzerinde, kesişme formu , Picard grubu ile bölen sınıf grubu tanımlanarak, bir yüzey üzerindeki eğrilerin kesişim teorisi kullanılarak tanımlanabilir .) Picard bir K3 yüzeyinin kafesi her zaman çifttir , yani tamsayı her biri için çifttir . ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$${\ Displaystyle u^{2}}$${\displaystyle u\in \operatöradı {Resim} (X)}$

Hodge endeksi teoremi bir cebirsel K3 yüzeyinin Picard kafes imzası olduğunu ima . Bir K3 yüzeyinin birçok özelliği, tamsayılar üzerinde simetrik çift doğrusal bir form olarak Picard kafesi tarafından belirlenir. Bu, K3 yüzeyleri teorisi ile simetrik çift doğrusal formların aritmetiği arasında güçlü bir bağlantıya yol açar. Bu bağlamda bir birinci örnek olarak: bir kompleks analitik K3 yüzeyi bir eleman bulunur, ancak ve ancak cebirseldir ile . ${\görüntüleme stili (1,\rho -1)}$${\displaystyle u\in \operatöradı {Resim} (X)}$${\displaystyle u^{2}>0}$

Kabaca söylemek gerekirse, tüm karmaşık analitik K3 yüzeylerinin uzayı karmaşık boyut 20'ye sahipken, Picard numaralı K3 yüzeylerinin uzayı boyuta sahiptir (tekillik üstü durum hariç). Özellikle cebirsel K3 yüzeyleri 19 boyutlu ailelerde ortaya çıkar. K3 yüzeylerinin modül uzayları hakkında daha fazla detay aşağıda verilmiştir. ${\görüntüleme stili \rho }$${\görüntüleme stili 20-\rho }$

K3 yüzeylerinin Picard kafesleri olarak hangi kafeslerin oluşabileceğinin kesin tanımı karmaşıktır. Nedeniyle bir net bir açıklama, Viacheslav Nikulin'in ve David Morrison , her hatta kafes imza olmasıdır ile bazı karmaşık yansıtmalı K3 yüzeyinin Picard kafes olduğunu. Bu tür yüzeylerin uzayı bir boyuta sahiptir . ${\görüntüleme stili (1,\rho -1)}$${\displaystyle \rho \leq 11}$${\görüntüleme stili 20-\rho }$

Eliptik K3 yüzeyler

Genel durumdan daha kolay analiz edilen K3 yüzeylerinin önemli bir alt sınıfı, eliptik bir fibrasyona sahip K3 yüzeylerinden oluşur . "Eliptik", bu morfizmin sonlu sayıdaki liflerinin hepsinin cins 1'in düzgün eğrileri olduğu anlamına gelir . Tekil lifler, Kodaira tarafından sınıflandırılan olası tekil lif türleri ile rasyonel eğrilerin birleşimidir. Tekil liflerin topolojik Euler özelliklerinin toplamı olduğundan, her zaman bazı tekil lifler vardır . Genel bir eliptik K3 yüzeyi, her biri tipte (bir düğümlü kübik eğri) tam olarak 24 tekil fibere sahiptir . ${\displaystyle X\to \mathbf {P} ^{1}}$${\görüntüleme stili \chi (X)=24}$${\görüntüleme stili I_{1}}$

Bir K3 yüzeyinin eliptik olup olmadığı Picard kafesinden okunabilir. Yani, 2 veya 3 olmayan karakteristikte, bir K3 yüzeyi X , ancak ve ancak ile sıfır olmayan bir eleman varsa eliptik bir fibrasyona sahiptir . (Karakteristik 2 veya 3'te, ikinci koşul aynı zamanda yarı eliptik bir fibrasyona karşılık gelebilir .) Bundan, eliptik bir fibrasyona sahip olmanın bir K3 yüzeyinde bir eş-boyut-1 koşulu olduğu sonucu çıkar. Dolayısıyla, eliptik lifli karmaşık analitik K3 yüzeylerinin 19 boyutlu aileleri ve eliptik lifli projektif K3 yüzeylerinin 18 boyutlu modül uzayları vardır. ${\displaystyle u\in \operatöradı {Resim} (X)}$${\ Displaystyle u^{2}=0}$

Örnek: Her quartic yüzeyi pürüzsüz X de bir çizgi içerir L eliptik bir Faybreyşın sahip uzak çıkıntı tarafından verilen, L . Tüm düzgün kuartik yüzeylerin modül uzayı (izomorfizme kadar) 19 boyutuna sahipken, bir çizgi içeren kuartik yüzeylerin alt uzayı 18 boyutuna sahiptir. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$${\displaystyle X\to \mathbf {P} ^{1}}$

K3 yüzeylerinde rasyonel eğriler

Del Pezzo yüzeyleri gibi pozitif kavisli çeşitlerin aksine, karmaşık bir cebirsel K3 yüzeyi X düz değildir ; yani sürekli bir rasyonel eğriler ailesi tarafından kapsanmaz. Öte yandan, genel tip yüzeyler gibi negatif kavisli çeşitlerin aksine, X büyük bir ayrık rasyonel eğriler (muhtemelen tekil) içerir. Özellikle, Fedor Bogomolov ve David Mumford'un her eğri gösterdi X olan doğrusal eşdeğer rasyonel eğrilerinin pozitif lineer kombinasyonu.

Negatif kavisli çeşitlerin bir başka karşıtlığı, karmaşık bir analitik K3 yüzeyi X üzerindeki Kobayashi metriğinin aynı şekilde sıfır olmasıdır. Kanıt, cebirsel bir K3 yüzeyinin X'in her zaman sürekli bir eliptik eğri görüntüleri ailesi tarafından kapsandığını kullanır . (Bu eğriler tekil olan X sürece, X, eliptik bir K3 yüzeyi olması umulur.) Açık kalır daha güçlü bir soru her kompleks K3 yüzeyi bir dejenere olmayan holomorfik ilk kabul olup olmadığı haritanın türevi olduğu (burada "dejenere olmayan" anlamına gelir bir noktada bir izomorfizm). ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

dönem haritası

Bir tanımlama işareti bir kompleks analitik K3 yüzeyinin X gelen kafeslerin bir izomorfizm olmak K3 kafes . İşaretli karmaşık K3 yüzeylerinin uzayı N , 20 boyutlu Hausdorff olmayan karmaşık bir manifolddur. Karmaşık analitik K3 yüzeylerinin izomorfizm sınıfları kümesi, N'nin ortogonal grup tarafından bölümüdür , ancak bu bölüm geometrik olarak anlamlı bir modül uzayı değildir, çünkü eylemi düzgün süreksiz olmaktan uzaktır . (Örneğin, düzgün kuartik yüzeylerin uzayı boyut 19'a indirgenemez ve yine de 20 boyutlu N ailesindeki her karmaşık analitik K3 yüzeyi, düzgün kuartiklere izomorfik olan keyfi olarak küçük deformasyonlara sahiptir.) Aynı nedenden dolayı, en az 2 boyutlu kompakt kompleks tori'nin anlamlı bir modül uzayı. ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \Lambda =E_{8}(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}}$ ${\ Displaystyle O(\Lambda )}$${\ Displaystyle O(\Lambda )}$

Dönem haritalama onun için bir K3 yüzeyini gönderir Hodge yapısı . Dikkatli bir şekilde ifade edildiğinde, Torelli teoremi şunları tutar: Bir K3 yüzeyi, Hodge yapısı tarafından belirlenir. Periyot alanı, 20 boyutlu karmaşık manifold olarak tanımlanır.

${\displaystyle D=\{u\in P(\Lambda \otimes \mathbb {C} ):u^{2}=0,\,u\cdot {\overline {u}}>0\}.}$

Periyot eşlemesi , karmaşık çizgiye işaretli bir K3 yüzeyi X gönderir . Bu örtüktür ve yerel bir izomorfizmdir, ancak bir izomorfizm değildir (özellikle D , Hausdorff olduğu ve N olmadığı için). Ancak, K3 yüzeyleri için global Torelli teoremi , kümelerin bölüm haritasının ${\ Displaystyle N\'den D'ye}$${\displaystyle H^{0}(X,\Omega ^{2})\subset H^{2}(X,\mathbb {C} )\cong \Lambda \otimes \mathbb {C} }$

${\ Displaystyle N/O(\Lambda )\to D/O(\Lambda )}$

bijektiftir. İki kompleks analitik K3 yüzeylerinin aşağıdaki X ve Y, bir yoktur, ancak ve ancak izomorfik Hodge izometri gelen için , olduğu, kesişme şekli olan ve gönderir Değişmeli gruplara ait olan bir izomorfizm için . ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle H^{2}(Y,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle H^{0}(X,\Omega ^{2})\subset H^{2}(X,\mathbb {C} )}$${\displaystyle H^{0}(Y,\Omega ^{2})}$

Projektif K3 yüzeylerinin modül uzayları

Bir polarize K3 yüzey X, bir cins g bir araya getirerek bir yansıtmalı K3 yüzey olarak tanımlanır geniş hat demeti L , öyle ki L ve (değil 2 ya da daha fazla kez bir hat demeti olduğu) ilkel . Bu aynı zamanda 2 g -2 derecelik polarize K3 yüzeyi olarak da adlandırılır . ${\displaystyle c_{1}(L)^{2}=2g-2}$

Bu varsayımlar altında L , taban noktasından bağımsızdır . Karakteristik sıfır olarak, BERTINI teoremi düzgün bir eğri olduğunu ima Cı içinde lineer sistem | L |. Tüm bu eğrilerin g cinsi vardır, bu da ( X , L )'nin neden g cinsine sahip olduğunun söylendiğini açıklar .

L kesitlerinin vektör uzayı g +1 boyutuna sahiptir ve dolayısıyla L , X'ten projektif uzaya bir morfizm verir . Çoğu durumda, bu morfizm bir gömmedir, böylece X , 2 g -2 derecelik bir yüzeye izomorfiktir . ${\displaystyle \mathbf {P} ^{g}}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{g}}$

Bir indirgenemez vardır kaba modülü alanı familyasının bir polarize kompleks K3 yüzeylerinin gr her biri için ; SO (2,19) grubu için bir Shimura çeşidinin bir Zariski açık alt kümesi olarak görülebilir . Her biri için g , a, yarı-yansıtmalı boyut 19. kompleks çeşitli Şigeru Mukai bu modülleri alanı olduğunu göstermiştir unirational halinde ya da . Buna karşılık, Valery Gritsenko Klaus Hulek ve Gregory Sankaran gösterdi taşımaktadır genel tip halinde veya . Bu alanla ilgili bir araştırma Voisin (2008) tarafından yapılmıştır . ${\görüntüleme stili {\matematiksel {F}}_{g}}$${\ Displaystyle g\geq 2}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {F}}_{g}}$${\ Displaystyle g\leq 13}$${\görüntüleme stili g=18,20}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {F}}_{g}}$${\ Displaystyle g\geq 63}$${\ Displaystyle g=47,51,55,58,59,61}$

Farklı 19 boyutlu modül uzayları karmaşık bir şekilde örtüşüyor. Gerçekten de, her bir keyfi dik boyutlu-1 alttürlere bir sayılabilir sonsuz grubu olduğu K3 tekabül olanlar K3 yüzeyler sonsuz sayıda farklı derece polarizasyonlara sahiptir Picard sayısı en az 2, sadece 2 yüzeyleri g -2. Böylece, diğer modül uzaylarının sonsuz sayıda buluştuğu söylenebilir . Bu kesin değildir, çünkü tüm modül boşluklarını içeren iyi niyetli bir boşluk yoktur . Bununla birlikte, bu fikrin somut bir versiyonu, herhangi iki karmaşık cebirsel K3 yüzeyinin, cebirsel K3 yüzeyleri aracılığıyla deformasyon eşdeğeri olduğu gerçeğidir. ${\görüntüleme stili {\matematiksel {F}}_{g}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {F}}_{g}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {F}}_{h}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {F}}_{g}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {F}}_{g}}$

Daha genel olarak, bir yarı-kutuplu bir cins K3 yüzeyi gr ilkel bir yansıtmalı K3 yüzeyini ifade NEF ve büyük hat demeti L olacak şekilde . Bu tür bir hat demeti yine bir morfizmalar verir , ama şimdi görüntü böylece, sonlu sayıda (-2) -curves sözleşme olabilir , Y ve X tekil halidir. (Bir yüzey üzerindeki A (−2)-eğrisi , −2 ile kendi kendine kesişen izomorfik bir eğri anlamına gelir .) g cinsinin yarı polarize K3 yüzeylerinin modül uzayı hala 19 boyutuna indirgenemez (önceki modül uzayını bir açık alt küme). Biçimsel olarak, bunu du Val tekillikleriyle K3 yüzeylerinin Y modül uzayı olarak görmek daha iyi sonuç verir . ${\displaystyle c_{1}(L)^{2}=2g-2}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{g}}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$

Geniş koni ve eğrilerin konisi

Cebirsel K3 yüzeylerinin dikkate değer bir özelliği, Picard kafesinin , geniş bölenlerin dışbükey konisi de dahil olmak üzere (Picard kafesinin otomorfizmalarına kadar) yüzeyin birçok geometrik özelliğini belirlemesidir . Geniş koni, Picard kafesi tarafından aşağıdaki gibi belirlenir. Hodge indeks teoremi ile gerçek vektör uzayı üzerindeki kesişim formunun imzası vardır . Pozitif kendi kendine kesişimli elemanlar kümesinin birbirine bağlı iki bileşene sahip olduğu sonucu çıkar . Çağrı olumlu koni üzerinde herhangi bol böleni içeren bileşen X . ${\displaystyle N^{1}(X):=\operatöradı {Resim} (X)\otimes \mathbb {R} }$${\görüntüleme stili (1,\rho -1)}$${\görüntüleme stili N^{1}(X)}$

Durum 1: ile Pic( X )'in u öğesi yok . O zaman geniş koni pozitif koniye eşittir. Bu nedenle standart yuvarlak konidir. ${\ Displaystyle u^{2}=-2}$

Durum 2: Aksi takdirde, Picard kafesinin kök kümesine izin verin . Dikey tümleyen köklerinin tüm olumlu koni geçmesi hiperdüzlem bir dizi oluşturur. O zaman geniş koni, pozitif konideki bu hiperdüzlemlerin tamamlayıcısının bağlı bir bileşenidir. Bu tür herhangi iki bileşen, kafes Pic( X )' in ortogonal grubu aracılığıyla izomorfiktir , çünkü bu, her bir kök hiperdüzlemi boyunca yansımayı içerir . Bu anlamda, Picard kafesi, izomorfizme kadar geniş koniyi belirler. ${\displaystyle \Delta =\{u\in \operatöradı {Resim} (X):u^{2}=-2\}}$

İlgili bir açıklamada Sándor Kovács nedeniyle, tek bir geniş bölen bilerek olmasıdır A Pic (içinde X ) bütün tespit eğrilerinin koni arasında X . Yani, X'in Picard numarasına sahip olduğunu varsayalım . Kökler kümesi boşsa, kapalı eğriler konisi pozitif koninin kapanışıdır. Aksi takdirde, yay kapalı konik tüm elemanlar tarafından yayılmış kapalı konveks koni ile . İlk durumda, X hiçbir (−2)-eğrisi içermez; ikinci durumda, eğrilerin kapalı konisi, tüm (−2)-eğrileri tarafından yayılan kapalı konveks konidir. (Eğer , başka bir olasılık varsa: eğriler konisi bir (−2)-eğrisi ve kendi kesişim noktası 0 olan bir eğri ile kapsanabilir.) Yani eğriler konisi ya standart yuvarlak konidir, ya da "keskin köşeler" (çünkü her (−2)-eğrisi , eğri konisinin yalıtılmış bir uç ışınını kapsar ). ${\displaystyle \rho \geq 3}$${\görüntüleme stili\Delta }$${\displaystyle u\in \Delta }$${\displaystyle A\cdot u>0}$${\görüntüleme stili \rho =2}$

otomorfizm grubu

K3 yüzeyleri, otomorfizm gruplarının sonsuz, ayrık ve oldukça belirsiz olabileceğinden, cebirsel çeşitler arasında biraz sıra dışıdır. Torelli teoremi bir sürümü tarafından Picard kompleks cebirsel K3 yüzeyinin kafes X otomorfizmalarını belirleyen X kadar commensurability . Yani, Weyl grubu W , kökler kümesindeki yansımalar tarafından üretilen ortogonal grup O'nun (Pic( X )) alt grubu olsun . Daha sonra W, a, normal bir alt-grup bir O (Resim ( X )) ve otomorfizmaları grubu X bölüm grubu ile commensurable olduğu O (Resim ( x )) / W . Hans Sterk'e bağlı olarak ilgili bir ifade, Aut( X )'in X'in nef konisi üzerinde rasyonel bir çokyüzlü temel alan ile etki ettiğidir . ${\görüntüleme stili\Delta }$

sicim dualitesi ile ilişkisi

K3 yüzeyleri sicim dualitesinde hemen hemen her yerde ortaya çıkar ve bunun anlaşılması için önemli bir araç sağlar. Bu yüzeylerdeki dizi sıkıştırmaları önemsiz değildir, ancak özelliklerinin çoğunu ayrıntılı olarak analiz etmek için yeterince basittir. Tip IIA dizisi, tip IIB dizisi, E ₈ ×E ₈ heterotik dizisi, Spin(32)/Z2 heterotik dizisi ve M-teorisi, bir K3 yüzeyinde sıkıştırma ile ilişkilidir. Örneğin, bir K3 yüzeyinde sıkıştırılmış Tip IIA dizisi, bir 4-torus üzerinde sıkıştırılmış heterotik diziye eşdeğerdir ( Aspinwall (1996) ). harvtxt hatası: hedef yok: CITEREFAspinwall1996 ( yardım )

Tarih

Quartic yüzeyler içinde çalışıldı Ernst Kummer , Arthur Cayley , Friedrich Schur ve diğer 19. yüzyıl geometri. Daha genel olarak, Federigo Enriques 1893'te çeşitli g sayıları için , önemsiz kanonik demet ve düzensizlik sıfır ile 2 g -2 derecelik yüzeyler olduğunu gözlemledi . 1909'da Enriques, bu tür yüzeylerin herkes için var olduğunu gösterdi ve Francesco Severi , bu tür yüzeylerin modül uzayının her g için 19 boyutuna sahip olduğunu gösterdi . ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{g}}$${\ Displaystyle g\geq 3}$

André Weil (1958) , K3 yüzeylerine isimlerini verdi (yukarıdaki alıntıya bakınız) ve sınıflandırmaları hakkında birkaç etkili varsayımda bulundu. Kunihiko Kodaira, temel teoriyi 1960 civarında tamamladı, özellikle cebirsel olmayan karmaşık analitik K3 yüzeylerinin ilk sistematik çalışmasını yaptı. Herhangi iki karmaşık analitik K3 yüzeyinin deformasyon eşdeğeri olduğunu ve dolayısıyla cebirsel K3 yüzeyleri için bile yeni olan difeomorfik olduğunu gösterdi. Daha sonraki önemli bir gelişme, Ilya Piatetski-Shapiro ve Igor Shafarevich (1971) tarafından karmaşık cebirsel K3 yüzeyleri için Torelli teoreminin ispatıydı , Daniel Burns ve Michael Rapoport (1975) tarafından karmaşık analitik K3 yüzeylerine genişletildi .

Ayrıca bakınız

• yüzey
• tate varsayımı
• Mathieu moonshine , K3 yüzeyleri ve Mathieu grubu M24 arasında gizemli bir ilişki .

Notlar

Referanslar

• Aspinwall, Paul (1997), "K3 yüzeyleri ve dizi ikiliği", Alanlar, diziler ve ikilik (Boulder, CO, 1996) , World Scientific, s. 421–540, arXiv : hep-th/9611137 , MR  1479699
• Barth, Kurt P. ; Hulek, Klaus ; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004) [1984], Kompakt kompleks yüzeyler , Springer , doi : 10.1007/978-3-642-57739-0 , ISBN 978-3-540-00832-3, MR  2030225
• Beauville, Arnaud (1983), "Yüzeyler K3", Bourbaki semineri, Cilt. 1982/83 Exp 609 , Astérisque, 105 , Paris: Société Mathématique de France , s. 217–229, MR  0728990
• Beauville, A .; Bourguignon, J.-P. ; Demazure, M. (1985), Géométrie des yüzeyler K3: module et perriodes, Séminaire Palaiseau , Astérisque, 126 , Paris: Société Mathématique de France , MR  0785216
• Brown, Gavin (2007), "Polarize K3 yüzeylerinin bir veritabanı" , Experimental Mathematics , 16 (1): 7–20, doi : 10.1080/10586458.2007.10128983 , MR  2312974 , S2CID  24693572
• Burns, Daniel; Rapoport, Michael (1975), "Kählerian K-3 yüzeyleri için Torelli probleminde" , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 8 (2): 235–273, doi : 10.24033/asens.1287 , MR  0447635
• Enriques, Federigo (1893), "Richerche di geometria sulle superficie cebiri" , Memorie Accademia di Torino , 2, 44 : 171–232, JFM  25.1212.02
• Enriques, Federigo (1909), "Le superficie di genere uno" , Rendiconti Accademia di Bologna , 13 : 25–28, JFM  40.0685.01
• Gritsenko, VA; Hulek, Klaus ; Sankaran, GK (2007), "K3 yüzeylerinin modüllerinin Kodaira boyutu", Inventiones Mathematicae , 169 (3): 519–567, arXiv : math/0607339 , Bibcode : 2007InMat.169..519G , doi : 10.1007/ s00222-007-0054-1 , MR  2336040 , S2CID  14877568
• Huybrechts, Daniel (2016), Lectures on K3 yüzeyler (PDF) , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 158 , Cambridge University Press, ISBN 978-1107153042, MR  3586372
• Kamenova, Ljudmila; Lu, Steven; Verbitsky, Misha (2014), "Hiperkähler manifoldları üzerinde Kobayashi pseudometric", Journal of the London Mathematical Society , 90 (2): 436–450, arXiv : 1308.5667 , doi : 10.1112/jlms/jdu038 , MR  3263959 , S2CID  28495199
• Mukai, Shigeru (2006), "Onüç cinsinin Polarize K3 yüzeyleri", Moduli uzayları ve aritmetik geometri , Adv. Damızlık. Pure Math., 45 , Tokyo: Matematik. Soc. Japonya, s. 315–326, MR  2310254
• Pjateckiĭ-Šapiro, II ; Šafarevič, IR (1971), "K3 tipi cebirsel yüzeyler için Torelli teoremi", Mathematics of the SSCB – Izvestia , 5 (3): 547–588, Bibcode : 1971IzMat...5..547P , doi : 10.1070/IM1971v005n7503ABEH00 , MR  0284440
• Rudakov, AN (2001) [1994], "K3 yüzeyi" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press
• Scorpan, Alexandru (2005), 4-manifoldların vahşi dünyası , Amerikan Matematik Derneği , ISBN 978-0-8218-3749-8, MR  2136212
• Severi, Francesco (1909), "Le superficie algebriche con curva canonica d'ordine zero" (PDF) , Atti del Istituto Veneto , 68 : 249–260, JFM  40.0683.03
• Voisin, Claire (2008), "Géométrie des espaces de modüller de courbes et de yüzeyler K3 (d'après Gritsenko-Hulek-Sankaran, Farkas-Popa, Mukai, Verra, ve diğerleri)" (PDF) , Astérisque , Séminaire Bourbaki . 2006/2007. Uzm 981 (317): 467-490, ISBN 978-2-85629-253-2, MR  2487743
• Weil, André (1958), "AF 18(603)-57 sözleşmesine ilişkin nihai rapor", Bilimsel çalışmalar. Toplanan makaleler , II , Berlin, New York: Springer-Verlag , s. 390–395, 545–547, ISBN 978-0-387-90330-9, MR  0537935

Dış bağlantılar

• K3 yüzeylerinin bir kataloğu için Dereceli Halka Veritabanı ana sayfası
• Magma bilgisayar cebir sistemi için K3 veritabanı
• K3 yüzeylerinin geometrisi , dersler David Morrison (1988).