Kac-Moody cebiri - Kac–Moody algebra

In matematik , bir Kac-Moody cebir (adını Victor Kac ve Robert Moody bağımsız ve eşzamanlı olarak 1968 yılında onları keşfetti) bir olduğunu Lie cebiri bir içinden jeneratörler ve ilişkiler tanımlanabilir genellikle sonsuz boyutlu, genelleştirilmiş Cartan matrisinin . Bu cebirler, sonlu boyutlu yarıbasit Lie cebirlerinin bir genellemesini oluşturur ve bir Lie cebirinin yapısıyla ilgili kök sistemi , indirgenemez temsiller ve bayrak manifoldlarına bağlantı gibi birçok özelliğin Kac-Moody ayarında doğal benzerleri vardır.

Afin Lie cebirleri olarak adlandırılan Kac-Moody cebirlerinin bir sınıfı, matematik ve teorik fizikte , özellikle iki boyutlu uyumlu alan teorisi ve tam olarak çözülebilir modeller teorisinde özel bir öneme sahiptir . Kac , afin Kac-Moody cebirlerinin temsil teorisine dayanan Macdonald kimlikleri olan belirli birleşimsel kimliklerin zarif bir kanıtını keşfetti . Howard Garland ve James Lepowsky , Rogers-Ramanujan kimliklerinin benzer bir şekilde türetilebileceğini gösterdiler.

Kac-Moody cebirlerinin tarihi

Tarafından ilk yapım Elie Cartan ve Wilhelm öldürme sonlu boyutlu basit Lie cebirlerin gelen Cartan tamsayı bağımlı tip oldu. 1966'da Jean-Pierre Serre , Claude Chevalley ve Harish-Chandra arasındaki bağıntıların, Nathan Jacobson'ın sadeleştirmeleriyle , Lie cebiri için tanımlayıcı bir sunum verdiğini gösterdi . Böylece, doğal olarak pozitif tanımlı olan Cartan tamsayıları matrisinden gelen verileri kullanarak, üreteçler ve ilişkiler açısından basit bir Lie cebri tanımlanabilir .

"Neredeyse aynı anda 1967'de, SSCB'de Victor Kac ve Kanada'da Robert Moody , Kac-Moody cebiri olacak olanı geliştirdiler. Kac ve Moody, Wilhelm Killing'in koşulları gevşetilirse, Cartan matrisiyle ilişkilendirmenin hala mümkün olduğunu fark ettiler. zorunlu olarak sonsuz boyutlu olacak bir Lie cebiri." – AJ Coleman

Robert Moody , 1967 tezinde, Cartan matrisi artık pozitif tanımlı olmayan Lie cebirlerini ele aldı . Bu hala bir Lie cebirine yol açtı, ancak şimdi sonsuz boyutlu olan bir cebir. Aynı anda, Z - derecelenmiş Lie cebiri Moskova'da okudu ediliyordu IL Kantor tanıtıldı ve sonunda Kac-Moody Cebirlerin olarak bilinen şeyin dahil cebiri Lie genel bir sınıfını okudu. Victor Kac ayrıca polinom büyümesiyle basit veya basite yakın Lie cebirleri üzerinde çalışıyordu. Sonsuz boyutlu Lie cebirlerinin zengin bir matematiksel teorisi gelişti. Pek çok başkasının çalışmalarını da içeren konunun bir açıklaması (Kaç 1990)'da verilmiştir. Ayrıca bakınız (Seligman 1987).

Tanım

Bir n × n genelleştirilmiş Cartan matrisi C = ( c _ij ) verildiğinde , C'nin Kac-Moody cebri , jeneratörler , , ve aşağıdakiler tarafından verilen ilişkiler tarafından tanımlanan Lie cebiridir : ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle e_{i}}$${\görüntüleme stili h_{i}}$${\displaystyle f_{i}\sol(i\in \{1,\ldots ,n\}\sağ)}$

• ${\displaystyle \sol[h_{i},h_{j}\sağ]=0\ }$hepsi için ;${\displaystyle i,j\in \{1,\ldots ,n\}}$
• ${\displaystyle \sol[h_{i},e_{j}\sağ]=c_{ij}e_{j}}$;
• ${\displaystyle \sol[h_{i},f_{j}\sağ]=-c_{ij}f_{j}}$;
• ${\displaystyle \sol[e_{i},f_{j}\sağ]=\delta _{ij}h_{i}}$, Kronecker deltası nerede ;${\displaystyle \delta _{ij}}$
• Eğer (çok ) daha sonra ve burada, bir eşlenik gösterimi arasında .${\görüntüleme stili i\neq j}$${\displaystyle c_{ij}\leq 0}$${\displaystyle {\textrm {ad}}(e_{i})^{1-c_{ij}}(e_{j})=0}$${\displaystyle \operatöradı {ad} (f_{i})^{1-c_{ij}}(f_{j})=0}$${\displaystyle \operatöradı {ad} :{\mathfrak {g}}\to \operatöradı {End} ({\mathfrak {g}}),\operatöradı {ad} (x)(y)=[x,y] ,}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Bir gerçek (muhtemelen sonsuz boyutlu) Lie cebiri onun eğer aynı zamanda bir Kac-Moody cebir sayılır karmaşıklaştırma bir Kac-Moody cebir olduğunu.

genelleme

Belirli bir vektör uzayında kök seçimi ve dual uzayda verilen korootlar verilmiş bir Kac-Moody cebirinin değiştirilmiş bir formu da tanımlanabilir. Spesifik olarak, bize aşağıdaki verilerin verildiğini varsayalım:

1. Bir n- X , n genel Cartan matris Cı = ( C _ij ) ait seviye r .
2. 2 n  -  r boyutunun karmaşık sayıları üzerinde bir vektör uzayı .${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$
3. Bir dizi N lineer bağımsız elemanlar arasında ve bir dizi N lineer bağımsız elemanlar arasında çift boşluk olacak şekilde, . Analog olan basit kökleri yarı basit Lie cebir ve basit coroots için.${\displaystyle \alpha _{i}^{\vee}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\ Displaystyle \ alfa _ {i}}$ ${\görüntüleme stili {\mathfrak {h}}^{*}}$${\displaystyle \alpha _{i}\sol(\alpha _{j}^{\vee }\sağ)=c_{ji}}$${\ Displaystyle \ alfa _ {i}}$${\displaystyle \alpha _{i}^{\vee}}$

Sonra Lie cebir düşünebiliriz tarafından tanımlanan jeneratör ve ve unsurları ve ilişkiler ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle f_{i}\sol(i\in \{1,\ldots ,n\}\sağ)}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

• ${\displaystyle \sol[h,h'\sağ]=0\ }$için ;${\displaystyle h,h'\in {\mathfrak {h}}}$
• ${\displaystyle \sol[h,e_{i}\sağ]=\alpha _{i}(h)e_{i}}$, için ;${\displaystyle h\in {\mathfrak {h}}}$
• ${\displaystyle \sol[h,f_{i}\sağ]=-\alpha _{i}(h)f_{i}}$, için ;${\displaystyle h\in {\mathfrak {h}}}$
• ${\displaystyle \sol[e_{i},f_{j}\sağ]=\delta _{ij}\alpha _{i}^{\vee }}$, Kronecker deltası nerede ;${\displaystyle \delta _{ij}}$
• Eğer (çok ) daha sonra ve burada, bir eşlenik gösterimi arasında .${\görüntüleme stili i\neq j}$${\displaystyle c_{ij}\leq 0}$${\displaystyle {\textrm {ad}}(e_{i})^{1-c_{ij}}(e_{j})=0}$${\displaystyle \operatöradı {ad} (f_{i})^{1-c_{ij}}(f_{j})=0}$${\displaystyle \operatöradı {ad} :{\mathfrak {g}}\to \operatöradı {End} ({\mathfrak {g}}),\operatöradı {ad} (x)(y)=[x,y] ,}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Bir Kac-Moody cebirinin kök uzayı ayrışımı

${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$Kac-Moody cebiri için bir Cartan alt cebirinin analoğudur . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Eğer bir unsurdur , böylece ${\displaystyle x\neq 0}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \forall h\in {\mathfrak {h}},[h,x]=\lambda (h)x}$

bazıları için , o zaman bir denir kök vektörü ve bir olan kök ait . (Sıfır işlevi, geleneksel olarak bir kök olarak kabul edilmez.) Tüm köklerinin kümesi genellikle ve bazen ile gösterilir . Belirli bir kök için , tek belirtmektedir kök alanı arasında ; yani, ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}\ters eğik çizgi \{0\}}$${\görüntüleme stili x}$${\ Displaystyle \ lambda }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\görüntüleme stili\Delta }$${\görüntüleme stili R}$${\ Displaystyle \ lambda }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }}$${\ Displaystyle \ lambda }$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }=\{x\in {\mathfrak {g}}:\forall h\in {\mathfrak {h}},[h,x]=\lambda (h)x\}}$.

Bunun tanımlayıcı ilişkilerinden kaynaklanmaktadır ve . Ayrıca, eğer ve sonra tarafından Jacobi kimliği . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle e_{i}\in {\mathfrak {g}}_{\alpha _{i}}}$${\displaystyle f_{i}\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha _{i}}}$${\displaystyle x_{1}\in {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}}}$${\displaystyle x_{2}\in {\mathfrak {g}}_{\lambda _{2}}}$${\displaystyle \left[x_{1},x_{2}\right]\in {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}$

Teorinin temel bir sonucu herhangi bir Kac-Moody cebir ayrılacak edilebilmesidir direkt toplamı arasında ve kökü alanlarda, yani ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\lambda \in \Delta }{\mathfrak {g}}_{\lambda }}$,

ve her kök olduğu şekilde yazılabilir tüm varlık tamsayılar aynı işareti . ${\ Displaystyle \ lambda }$${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{n}z_{i}\alpha _{i}}$${\displaystyle z_{i}}$

Kac-Moody cebirlerinin türleri

Bir Kac-Moody cebirinin özellikleri, genelleştirilmiş Cartan matrisi C'nin cebirsel özellikleri tarafından kontrol edilir . Kac-Moody cebirlerini sınıflandırmak için, ayrıştırılamaz bir C matrisi durumunu göz önünde bulundurmak yeterlidir , yani, I indisleri kümesinin boş olmayan I ₁ ve I alt kümelerinin ayrık bir birleşimine ayrıştırılmadığını varsaymak yeterlidir. ₂ bu şekilde Cı- _ij tüm = 0 i içinde I ₁ ve j, içinde bir ₂ . Genelleştirilmiş Cartan matrisinin herhangi bir ayrıştırması, karşılık gelen Kac-Moody cebirinin doğrudan toplam ayrıştırmasına yol açar:

${\displaystyle {\mathfrak {g}}(C)\simeq {\mathfrak {g}}\left(C_{1}\right)\oplus {\mathfrak {g}}\left(C_{2}\right) ),}$

burada sağ taraftaki iki Kac-Moody cebiri, I ₁ ve I ₂ indeks kümelerine karşılık gelen C'nin alt matrisleriyle ilişkilendirilir .

Tekabül cebir Kac-Moody önemli bir alt-sınıfı için symmetrizable Cartan matrisler genelleştirilmiş C olarak ayrışabilir, DS , D a, köşegen matris pozitif tamsayı girişlerle ve S a, simetrik bir matris . C'nin simetrik ve ayrıştırılamaz olduğu varsayımları altında, Kac-Moody cebirleri üç sınıfa ayrılır:

• Bir pozitif belirli matris G sonlu boyutlu sebebiyet verir , basit Lie cebir .
• Bir pozitif yarı kesin matris G sonsuz boyutlu Kac-Moody cebire yol açar afin türü ya da bir benzeşik Lie cebir .
• Bir belirsiz matris S bir Kac-Moody cebir yol açmaktadır belirsiz tip .
• C ve S'nin köşegen girişleri pozitif olduğundan, S negatif tanımlı veya negatif yarı tanımlı olamaz .

Sonlu ve afin tipteki simetrikleştirilebilen ayrıştırılamaz genelleştirilmiş Cartan matrisleri tamamen sınıflandırılmıştır. Dynkin diyagramlarına ve afin Dynkin diyagramlarına karşılık gelirler . Belirsiz tipteki Kac-Moody cebirleri hakkında çok az şey biliniyor, ancak bu Kac-Moody cebirlerine karşılık gelen gruplar Jacques Tits tarafından rastgele alanlar üzerinde oluşturuldu.

Belirsiz Çeşidi Kac-Moody Cebirlerin arasında, en iş üzerinde yoğunlaşmıştır , hiperbol tipinde matris için de S belirsiz olmakla birlikte, her biri uygun bir alt-grup için I , karşılık gelen submatrix kesin pozitif veya pozitif yarı kesin olduğunu. Hiperbolik Kac-Moody cebirleri en fazla 10. sıraya sahiptir ve tamamen sınıflandırılmıştır. Kademe 2'nin sonsuz sayıda ve 3 ile 10 arasında sıraların 238'i vardır .

Ayrıca bakınız

• Weyl–Kac karakter formülü
• Genelleştirilmiş Kac-Moody cebiri
• Entegre edilebilir modül

alıntılar

Referanslar

Dış bağlantılar

• SIGMA: Kac-Moody Cebirleri ve Uygulamaları Özel Sayısı