Jackson integrali - Jackson integral

Gelen q analog teori, Jackson tamamlayıcı dizi teorisi , özel fonksiyonlar için işlem ters ifade q-farklılaşması .

Jackson integrali, Frank Hilton Jackson tarafından tanıtıldı . Sayısal değerlendirme yöntemleri için bkz. Exton (1983) .

Tanım

Let f ( x ), gerçek değişken bir fonksiyonu x . İçin bir gerçek değişkenin, Jackson ayrılmaz f şu serisi genişleme ile tanımlanır:

${\displaystyle \int _{0}^{a}f(x)\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\,a\sum _{k=0}^{ \infty }q^{k}f(q^{k}a).}$

Bununla tutarlı olarak tanım ${\ Displaystyle a\to \infty }$

  ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{k}f(q^{k}).}$

Daha genel olarak, eğer g ( x ) başka bir fonksiyon ise ve D _q g onun q -türevini gösteriyorsa, resmi olarak yazabiliriz.

${\displaystyle \int f(x)\,D_{q}g\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\ infty }q^{k}f(q^{k}x)\,D_{q}g(q^{k}x)=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{ \infty }q^{k}f(q^{k}x){\tfrac {g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)}{(1-q)q ^{k}x}},}$ veya

${\displaystyle \int f(x)\,{\rm {d}}_{q}g(x)=\sum _{k=0}^{\infty }f(q^{k}x)\ cdot (g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x))}$

Riemann–Stieltjes integralinin bir q -analoğunun verilmesi .

q-karşıt türevi olarak Jackson integrali

Sıradan gibi İlkel a sürekli bir fonksiyon olarak temsil edilebilir Riemann integrali , Jackson yekpare benzersiz verir göstermek mümkündür q işlevleri (bakınız) belirli bir sınıf içinde -antiderivative.

teorem

Varsayalım ki halinde aralığı üzerinde bağlanmış olan bazı bir işleve sonra Jackson yekpare yakınsak üzerinde bir olan q ve -antiderivative Ayrıca, sürekli bir ile ve benzersiz bir İlkel olan fonksiyonlar bu sınıfta. ${\görüntüleme stili 0<q<1.}$${\displaystyle |f(x)x^{\alpha }|}$${\görüntüleme stili [0,A)}$${\displaystyle 0\leq \alpha <1,}$${\görüntüleme stili F(x)}$${\görüntüleme stili [0,A)}$${\görüntüleme stili f(x).}$${\görüntüleme stili F(x)}$${\görüntüleme stili x=0}$${\görüntüleme stili F(0)=0}$${\görüntüleme stili f(x)}$

Notlar

Referanslar

• Victor Kac, Pokman Cheung, Quantum Calculus , Universitext, Springer-Verlag, 2002. ISBN  0-387-95341-8
• Jackson FH (1904), "Γ(n) ve x _n fonksiyonlarının genelleştirilmesi ", Proc. R. Soc. 74 64-72.
• Jackson FH (1910), "q-belirli integraller üzerine", QJ Pure Appl. Matematik. 41 193-203.
• Exton, Harold (1983). Q-hipergeometrik fonksiyonlar ve uygulamaları . Chichester [Batı Sussex]: E. Horwood. ISBN'si 978-0470274538.

Bu matematiksel analiz lı makale bir taslaktır . Vikipedi'yi genişleterek yardımcı olabilirsiniz .

• v
• T
• e