Küme kategorisi - Category of sets
Gelen matematiksel alanında kategorisi teorisi , kümeler kategorisinde olarak belirtilen, Set , bir kategori olan nesneler olan kümeler . Oklar veya morfizimler setleri arasında A ve B olan toplam fonksiyonlar ile ilgili A için B , ve Morfizmlerin bileşimdir fonksiyonların bir bileşim .
Diğer birçok kategori ( gruplar kategorisi, oklar olarak grup homomorfizmaları ile ) kümeler kategorisinin nesnelerine yapı ekler ve/veya okları belirli bir türdeki fonksiyonlarla sınırlandırır.
Küme kategorisinin özellikleri
Bir kategorinin aksiyomları, işlevlerin bileşimi birleştirici olduğundan ve her X kümesinin , işlev bileşimi için kimlik öğesi olarak işlev gören bir kimlik işlevi id X : X → X olduğundan, Küme tarafından karşılanır .
Epimorphisms içinde Set olan örten , haritalar monomorphisms olan injektif haritalar ve izomorfizmler olan bijective haritalar.
Boş grubu olarak hizmet ilk nesne olarak Set ile boş fonksiyonları Morfizm olarak. Her singleton , kaynak kümelerinin tüm öğelerini morfizmler olarak tek hedef öğeye eşleyen işlevlerle birlikte bir terminal nesnesidir . Bu nedenle Set içinde sıfır nesne yoktur .
Kategori Seti olduğunu tam ve eş komple . Ürün bu kategoride verilir kartezyen çarpım setleri. Heap verilir ayrık birleşimin : Verilen setler A i i bazı indeks set üzerinde aralıkları I , biz birlik olarak eşçarpımı inşa A i × { i } (ile kartezyen çarpım i sağlamak için hizmet veren tüm bileşenleri kalmak olduğunu ayrık).
Set , somut bir kategorinin prototipidir ; diğer kategoriler, "üzerine inşa edilmişlerse" somutturlar. İyi tanımlanmış bir şekilde ayarlayın .
Her iki elemanlı küme , Set içinde bir alt nesne sınıflandırıcı olarak hizmet eder . Bir dizi gücü nesne A onun tarafından verilen güç seti ve üstel nesne setlerinin A ve B tüm fonksiyonların kümesi tarafından verilen A için B . Bu nedenle küme bir topostur (ve özellikle Barr anlamında kartezyen kapalı ve kesindir ).
Set değil değişmeli , katkı ne de preadditive .
Boş olmayan her küme, Set içindeki bir injektif nesnedir . Her seti olan yansıtmalı nesne içinde Set (varsayarak seçme aksiyomu ).
Sonlu prezentabl nesneler içinde Set sonlu kümeleridir. Her seti olduğu için direk limiti onun sonlu alt kümelerinin, kategori Seti bir olduğunu yerel sonlu takdim kategori .
Eğer C keyfi bir kategoridir, kontravaryant fanktorlar gelen C için Set sıklıkla çalışmanın önemli hedefidir. Eğer bir bir amacı, C , o andan itibaren funktor C için Set gönderir X Hom C ( X , A ) (içinde Morfizmlerin grubu C den X için A ) bu tür bir functor bir örnektir. Eğer Cı- a, küçük kategorisi , den daha sonra tersine de fanktorlar (yani nesnelerin toplanması kümesi oluşturur) C için Set yeni bir kategori, bir formu, bir araya Morfizm gibi doğal dönüşümler, funktoru kategorisi kategorisi olarak bilinen presheaves ilgili C .
Küme kategorisi için temeller
In Zermelo-Fraenkel küme kuramı bütün setleri koleksiyonu kümesi değildir; bu temel aksiyomundan çıkar . Biri uygun sınıflar olarak ayarlanmayan koleksiyonlara atıfta bulunur . Kümeler işlenirken, uygun sınıflar işlenmez; özellikle, bu uygun sınıfların bir koleksiyona (bir kümeye veya uygun bir sınıfa) ait olduğu yazılamaz. Bu bir problemdir çünkü bu, küme kategorisinin bu ortamda doğrudan resmileştirilemeyeceği anlamına gelir. Küme gibi , nesneleri bir küme oluşturan küçük kategorilerden ayırt etmek için, kümeleri uygun bir sınıf oluşturan kategoriler , büyük kategoriler olarak bilinir .
Sorunu çözmenin bir yolu, NBG küme teorisi gibi uygun sınıflara resmi statü veren bir sistemde çalışmaktır . Bu ortamda, kümelerden oluşturulan kategorilere küçük , uygun sınıflardan oluşturulanlara ( Set gibi ) büyük denir .
Başka bir çözüm, Grothendieck evrenlerinin varlığını varsaymaktır . Kabaca söylemek gerekirse, bir Grothendieck evreni, kendisi de bir ZF(C) modeli olan bir kümedir (örneğin, bir küme bir evrene aitse, öğeleri ve güç kümesi evrene ait olacaktır). Grothendieck evrenlerinin varlığı (boş küme ve tüm kalıtsal olarak sonlu kümelerin kümesi dışında ) olağan ZF aksiyomları tarafından ima edilmez; bu, kesinlikle erişilemeyen kardinallerin varlığına kabaca eşdeğer, ek, bağımsız bir aksiyomdur . Bu ekstra aksiyomu varsayarsak, Set'in nesneleri belirli bir evrenin öğeleriyle sınırlanabilir . (Model içinde "tüm kümelerin kümesi" yoktur, ancak yine de tüm iç kümelerin, yani U öğelerinin U sınıfı hakkında akıl yürütme yapılabilir .)
Bu şemanın bir varyasyonunda, kümeler sınıfı, Grothendieck evrenlerinin tüm kulesinin birleşimidir. (Bu zorunlu olarak uygun bir sınıftır , ancak her Grothendieck evreni bir kümedir çünkü o daha büyük bir Grothendieck evreninin bir öğesidir.) Bununla birlikte, doğrudan "tüm kümelerin kategorisi" ile çalışmaz. Bunun yerine, teoremler , nesneleri yeterince büyük bir Grothendieck evreninin U öğeleri olan Küme U kategorisi cinsinden ifade edilir ve daha sonra belirli U seçimine bağlı olmadığı gösterilir . Kategori teorisi için bir temel olarak , bu yaklaşım, Tarski-Grothendieck küme teorisi gibi birinin doğrudan uygun sınıflar hakkında akıl yürütemeyeceği bir sistemle uyumludur ; onun başlıca dezavantajı, bir teoremi bütün gerçek olabilmesidir Ayar U ancak arasında Set .
Çeşitli başka çözümler ve yukarıdakilerin varyasyonları önerilmiştir.
Aynı sorunlar , gruplar kategorisi veya topolojik uzaylar kategorisi gibi diğer somut kategorilerde de ortaya çıkar .
Ayrıca bakınız
Notlar
Referanslar
- Blass, A. Kategori teorisi ve küme teorisi arasındaki etkileşim . Çağdaş Matematik 30 (1984).
- Feferman, S. Kategori kuramının küme kuramsal temelleri. Springer Öğr. Notlar Matematik. 106 (1969): 201–247.
- Lawvere, FW Açıklamalı kümeler kategorisinin temel bir teorisi (uzun versiyon)
- Mac Lane, S. Kategori teorisi için bir temel olarak bir evren. Springer Öğr. Notlar Matematik. 106 (1969): 192-200.
- Mac Lane, Saunders (Eylül 1998). Çalışan Matematikçi için Kategoriler . Springer. ISBN'si 0-387-98403-8.( Matematikte Lisansüstü Metinler serisinde Cilt 5 )
- Pareigis, Bodo (1970), Kategoriler ve işlevler , Saf ve uygulamalı matematik, 39 , Academic Press , ISBN 978-0-12-545150-5