Topolojik uzayların kategorisi - Category of topological spaces

Gelen matematik , topolojik alanlar kategorisinde , genellikle belirtilen en olduğu kategori olan nesneler olan topolojik alanlarda ve morfizimler olan sürekli dönüşümler . Bu bir kategoridir çünkü iki sürekli haritanın bileşimi yine süreklidir ve özdeşlik işlevi süreklidir. Çalışma En ve özelliklerinin topolojik boşluklar tekniklerini kullanarak Kategori teorisi olarak bilinen kategorik topoloji .

NB Bazı yazarlar , topolojik manifoldlu kategoriler veya nesneler olarak kompakt olarak oluşturulmuş boşluklar ve morfizmler olarak sürekli haritalar için Top adını kullanır .

somut bir kategori olarak

Birçok kategoride gibi, kategori Üst bir olan beton kategori onun nesnelerdir anlam kümeleri (yani yapısında) ek yapıyla ve morfizimler olan işlevler bu yapıyı koruyarak. Doğal bir unutkan işlev var

U  : Üst → Ayarla

için setlerinin kategorisinde yatan her topolojik uzay altında yatan seti ve her sürekli haritaya hangi atar işlevi .

Unutkan işlevci U'nun her ikisinde de sol eşlenik vardır.

D  : Ayarla → Üst

verilen bir kümeyi ayrık topoloji ve bir sağ ek ile donatan

I  : Ayarla → Üst

verilen bir kümeyi ayrık topoloji ile donatan . Bu functors her ikisi de, aslında, olan doğru tersleri için U (yani UD ve kullanıcı arayüzü eşit kimlik funktor ilgili Set ). Ayrık arasında ya da bölünmemiş boşluklar arasında bir fonksiyonu sürekli Dahası, bu functors her iki vermek tam katıştırmalarını arasında set içine En .

En da fiber tam olduğu anlamı bütün topolojileri kategorisi , belirli bir resim grubu X (denilen elyaf arasında U yukarıda X ) bir oluşturan komple kafes tarafından gerektirdiği zaman dahil . Bu fiberdeki en büyük eleman X üzerindeki ayrık topolojidir, en az eleman ayrık topolojidir.

Top , topolojik kategori denilen şeyin modelidir . Bu kategoriler, her yapılandırılmış kaynağın benzersiz bir başlangıç ​​artışına sahip olmasıyla karakterize edilir . Gelen En ilk kaldırma yerleştirilmesi ile elde edilir , ilk topoloji kaynağa. Topolojik kategorilerin Top ile birçok ortak özelliği vardır (lif bütünlüğü, ayrık ve ayrık işlevler ve benzersiz limit kaldırma gibi). ${\displaystyle (X\to UA_{i})_{I}}$ ${\displaystyle (A\to A_{i})_{I}}$

Limitler ve limitler

Kategori Üst hem tam ve cocomplete tüm küçük anlamına gelir sınırlar ve eş limitler var Top . Aslında, unutkan functor U  : Top → Set benzersiz bir şekilde hem limitleri hem de limitleri kaldırır ve onları korur. Bu nedenle, (ko) sınırlar En karşılık gelen (ko) sınırları topolojileri yerleştirerek verilmiştir Set .

Özellikle, K a, diyagram olarak En ve ( L , φ  : L → F ) arasında bir sınır olan UF de Set , karşılık gelen sınır F de En yerleştirilmesi ile elde edilir , ilk topoloji (ilgili L , cp  : L → F ). İkili olarak, içerisinde eş limitler En yerleştirilmesi ile elde edilir son topoloji karşılık gelen eş limitler ile Set .

Birçok farklı olarak cebirsel kategoriler, unutkan funktor U  : Üst → Seti oluşturmak veya tipik olmayan evrensel olacağından sınırlarını yansıtmamaktadır koniler de Top evrensel konileri kaplayan Set .

Sınırları ve eş limitler örnekleri En içerir:

• Boş grubu (bir topolojik alan olarak kabul edilir) olan ilk amacı, bir Top ; herhangi bir singleton topolojik uzay bir terminal nesnesidir . Bu nedenle Top içinde sıfır nesne yoktur .
• Ürün içinde En verilir ürün topoloji üzerinde Kartezyen ürün . Ortak ürün , topolojik uzayların ayrık birleşimi tarafından verilir .
• Ekolayzer Morfizm bir çift yerleştirilerek verilir alt uzay topolojisi grubu-teorik ekolayzer. İkili olarak, coequalizer yerleştirerek verilen bölüm topolojisi grubu-teorik coequalizer ile.
• Doğrudan limitler ve ters limitler , sırasıyla nihai topoloji ve ilk topoloji ile set-teorik limitlerdir .
• Birleşim yerleri bir örnektir pushouts içinde Top .

Diğer özellikler

• Monomorphisms içinde Top vardır injektif , sürekli dönüşümler epimorphisms olan örten sürekli dönüşümler ve izomorfizmler olan homeomorfizmler .
• Eksteremum monomorphisms (izomorfik kadar) olan alt uzay tespitlerinin. Aslında, En Üstte tüm aşırı monomorfizmler, düzenli olmanın daha güçlü özelliğini tatmin eder .
• Ekstrem epimorfizmler (esas olarak) bölüm haritalarıdır . Her ekstrem epimorfizm düzenlidir.
• Bölünmüş monomorfizmler (esas olarak) çevre uzaylarına geri çekilmelerin eklenmesidir .
• Bölünmüş epimorfizmler (izomorfizme kadar) bir uzayın geri çekilmelerinden birinin üzerine sürekli örtülü haritalarıdır.
• Top içinde sıfır morfizm yoktur ve özellikle kategori ön toplamlı değildir .
• Top , tüm uzaylar için üstel nesnelere sahip olmadığı için kartezyen kapalı değildir (ve dolayısıyla topos da değildir ) . Bu özellik istendiğinde, genellikle kompakt olarak oluşturulmuş Hausdorff uzayları CGHaus'un tam alt kategorisiyle sınırlandırılır . Ancak Top , kendisi (aynı zamanda üstel) yakınsama uzayları kategorisinin bir alt kategorisi olan psödotopolojilerin üstel kategorisinde yer alır .

Diğer kategorilerle ilişkiler

• Sivri uçlu topolojik uzayların kategorisi Top _• Top üzerinde bir coslice kategorisidir .
• Homotopy kategorisi Htop nesneleri ve topolojik yerleri bulunmaktadır Homotopy denklik sınıfları Morfizm sürekli haritaları. Bu bir bölüm kategorisi arasında Top . Aynı şekilde sivri homotopi kategorisi hTop _{• da oluşturulabilir} .
• En önemli kategori içeren Haus ait Haussdorf alanlarda bir şekilde tam alt kategorisi . Bu alt kategoride katma yapısı daha epimorphisms izin verir: aslında, bu alt kategorideki epimorphisms ile tam bu morfizimler olan yoğun görüntüleri kendi içinde codomains , epimorphisms olması gerekmez böylece örten .
• Üst tam alt kategori içeriyor CGHaus ait kompakt oluşturulan Haussdorf alanlarda bir olmanın önemli özelliği vardır, Kartezyen kapalı kategorisini hala ilgi tipik alanların tümünü içeren ederken. Bu, CGHaus'u Top yerine sıklıkla kullanılan özellikle uygun bir topolojik uzay kategorisi yapar .
• Yukarıda somut kategori bölümünde açıklandığı gibi, Set'in unutkan işlevcisi , hem sol hem de sağ bir eke sahiptir.
• Loc yerelleri kategorisine , açık kümelerin yerel ayarına bir topolojik uzay gönderen bir işlev vardır . Bu functor, her yerel ayarı kendi topolojik nokta uzayına gönderen bir sağ eke sahiptir. Bu ekleme, ölçülü mekânlar kategorisi ile mekânsal mekânlar arasındaki bir denkliği sınırlandırır .
• Homotopi hipotez ilgilidir Top ile ∞Grpd , kategorisinde ∞-grupoidler . Varsayım, ∞-grupoidlerin, modulo zayıf homotopi denkliği olan topolojik uzaylara eşdeğer olduğunu belirtir .

Ayrıca bakınız

• Grup kategorisi
• Metrik uzayların kategorisi
• Küme kategorisi
• Taban noktalı topolojik uzayların kategorisi
• Topolojik vektör uzayları  kategorisi – topolojik kategori

alıntılar

Referanslar