Dışbükey düzgün çokgenlerle Öklid döşemeleri - Euclidean tilings by convex regular polygons
Bir düzenli fayans düzenli yüzün bir türü vardır. |
Bir yarı düzenli ya da muntazam döşeme birine sahip tepe noktası türü , ancak iki yüz ya da daha fazla türde. |
Bir k -uniform fayans sahiptir k köşe türlerini ve düzenli yüzlerin iki veya daha fazla tür. |
Bir sigara kenardan kenara döşeme farklı boyutlu normal yüzlere sahip olabilir. |
Dışbükey düzgün çokgenler ile Öklid düzlem döşemeleri antik çağlardan beri yaygın olarak kullanılmaktadır. İlk sistematik matematiksel işlem olduğunu ve Kepler onun içinde Harmonices Mundi ( Latince : Dünya Harmony , 1619).
Düzenli fayans
Takiben Grünbaum ve Shephard (Bölüm 1.3), bir döşeme olduğu söylenir normal halinde simetri grubu döşeme geçişli hareket ile bayrakları bir bayrak, bir karşılıklı gelen oluşan üçlü bir kiremit, bir tepe noktası bölgesinin kenar ve karo fayans. Bu, her bayrak çifti için birinci bayrağı ikinciye eşleyen bir simetri işlemi olduğu anlamına gelir. Bu olmak döşeme eşdeğerdir kenardan kenara döşeme ile uyumlu normal çokgenler. Bir tepe noktasında altı eşkenar üçgen , dört kare veya üç düzenli altıgen olmalı ve üç düzenli mozaik elde edilmelidir .
p6m, *632 | p4m, *442 | |
---|---|---|
3 6 (t=1, e=1) |
6 3 (t=1, e=1) |
4 4 (t=1, e=1) |
Arşimet, tek tip veya yarı düzenli döşemeler
Köşe geçişliliği , her köşe çifti için birinci köşeyi ikinciye eşleyen bir simetri işlemi olduğu anlamına gelir .
Bayrak geçişliliği gereksinimi köşe geçişliliklerinden birine gevşetilirse, döşemenin kenardan kenara olması koşulu korunurken , Arşimet , tekdüze veya demiregüler döşemeler olarak bilinen sekiz ek döşeme mümkündür . Not iki olduğu ayna görüntüsü (enantiyomerik ya da kiral 3) formları 4 , aşağıdaki tabloda gösterilmektedir sadece bir tanesi döşeme .6 (kalkık altıgen). Diğer tüm düzenli ve yarı düzenli döşemeler akiraldir.
p6m, *632 | |||||
---|---|---|---|---|---|
3.12 2 (t=2, e=2) t{6,3} |
3.4.6.4 (t=3, e=2) rr{3,6} |
4.6.12 (t=3, e=3) tr{3,6} |
(3.6) 2 (t=2, e=1) r{6,3} |
||
4,8 2 (t=2, e=2) t{4,4} |
3 2 .4.3.4 (t=2, e=2) s{4,4} |
3 3 .4 2 (t=2, e=3) {3,6}:e |
3 4 .6 (t=3, e=3) sr{3,6} |
Grünbaum ve Shephard, bu döşemelerin Arşimet olarak tanımlanmasını, yalnızca her bir köşe etrafındaki kiremitlerin düzenlenmesinin yerel özelliğine atıfta bulunarak ve köşe geçişinin küresel özelliğine atıfta bulunarak tek biçimli olarak tanımlamaktadır . Bunlar düzlemde aynı döşeme setini vermesine rağmen, diğer alanlarda üniform olmayan Arşimet döşemeleri vardır.
k -düzgün döşemeler
kenarlara göre, sarı üçgenler, kırmızı kareler (çokgenlere göre) |
4 izohedral konumlara göre, 3 gölgeli üçgen rengi (yörüngelere göre) |
Bu tür periyodik döşemeler, köşelerin, kenarların ve döşemelerin yörüngelerinin sayısına göre sınıflandırılabilir . k tane köşe yörüngesi varsa , döşeme k-tek biçimli veya k- isogonal olarak bilinir ; t karo yörüngeleri varsa , t -izohedral olarak; varsa , e kenarlara yörüngeleri, E -isotoxal.
k -Aynı köşe şekillerine sahip tek biçimli döşemeler, duvar kağıdı grup simetrisi ile daha fazla tanımlanabilir .
1 tek biçimli döşemeler, 2 veya daha fazla düzgün çokgen yüz tipine sahip 3 normal döşeme ve 8 yarı düzenli döşeme içerir. 20 adet 2 adet tek tip, 61 adet 3 adet tek tip, 151 adet 4 adet tek tip, 332 adet 5 adet tek tip ve 673 adet 6 adet tek tip fayans bulunmaktadır. Her biri, m -Arşimet döşemeleri olarak da adlandırılan farklı köşe figürlerinin m sayısına göre gruplandırılabilir .
Son olarak, eğer köşe türlerinin sayısı tekdüzelikle aynıysa ( aşağıda m = k ), o zaman döşemenin Krotenheerdt olduğu söylenir . Genel olarak, tekdüzelik, farklı köşe türlerinin zorunlu olarak farklı yörüngelere sahip olması, ancak bunun tersi olmaması nedeniyle, köşe türlerinin sayısından ( m ≥ k ) daha büyük veya ona eşittir . m = n = k ayarı yapıldığında, n = 1 için bu tür 11 döşeme vardır ; n = 2 için böyle 20 döşeme ; 39 n = 3 için bu tür döşemeler ; n = 4 için bu tür 33 döşeme ; n = 5 için bu tür 15 döşeme ; n = 6 için bu tür 10 döşeme ; ve n = 7 için böyle 7 döşeme .
m -Arşimet | |||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | ≥ 15 | Toplam | ||
k -üniforma | 1 | 11 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 11 |
2 | 0 | 20 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 20 | |
3 | 0 | 22 | 39 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 61 | |
4 | 0 | 33 | 85 | 33 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 151 | |
5 | 0 | 74 | 149 | 94 | 15 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 332 | |
6 | 0 | 100 | 284 | 187 | 92 | 10 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 673 | |
7 | 0 | ? | ? | ? | ? | ? | 7 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ? | |
8 | 0 | ? | ? | ? | ? | ? | 20 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ? | |
9 | 0 | ? | ? | ? | ? | ? | ? | 8 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ? | |
10 | 0 | ? | ? | ? | ? | ? | ? | 27 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ? | |
11 | 0 | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ? | |
12 | 0 | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ? | |
13 | 0 | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | 0 | 0 | 0 | ? | |
14 | 0 | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | 0 | 0 | ? | |
≥ 15 | 0 | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | 0 | ? | |
Toplam | 11 | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | 0 | ∞ |
Disseke düzenli çokgenler
Bazı k - tek biçimli döşemeler, döşeme çokgenlerinin iç kenarlarla simetrik olarak kesilmesiyle elde edilebilir, örneğin (doğrudan diseksiyon):
Altıgen |
Dodecagon (her birinin 2 yönü vardır) |
---|
Bazı k-üniform döşemeler, orijinal kenarlar boyunca yeni köşeleri olan düzenli çokgenleri keserek türetilebilir, örneğin (dolaylı diseksiyon):
Üçgen | Meydan | Altıgen |
---|
Son olarak, her tür köşe konfigürasyonunu görmek için Planigon'a bakın .
2-düzenli döşemeler
Öklid düzleminin yirmi (20) 2- düzenli döşemesi vardır . ( 2 izogonal döşeme veya demiregular döşeme olarak da adlandırılır ) Vertex tipleri her biri için listelenmiştir. İki döşeme aynı iki köşe tipini paylaşıyorsa, bunlara 1,2 indisleri verilir.
p6m, *632 | p4m, *442 | |||||
---|---|---|---|---|---|---|
[3 6 ; 3 2 .4.3.4] (t=3, e=3) |
[3.4.6.4; 3 2 .4.3.4] (t=4, e=4) |
[3.4.6.4; 3 3 .4 2 ] (t=4, e=4) |
[3.4.6.4; 3.4 2 .6] (t=5, e=5) |
[4.6.12; 3.4.6.4] (t=4, e=4) |
[3 6 ; 3 2 .4.12] (t=4, e=4) |
[3.12.12; 3.4.3.12] (t=3, e=3) |
p6m, *632 | s6, 632 | s6, 632 | cm, 2*22 | pm, *2222 | cm, 2*22 | pm, *2222 |
[3 6 ; 3 2 .6 2 ] (t=2, e=3) |
[3 6 ; 3 4 .6] 1 (t=3, e=3) |
[3 6 ; 3 4 .6] 2 (t=5, e=7) |
[3 2 .6 2 ; 3 4 .6] (t=2, e=4) |
[3.6.3.6; 3 2 .6 2 ] (t=2, e=3) |
[3.4 2 .6; 3.6.3.6] 2 (t=3, e=4) |
[3.4 2 .6; 3.6.3.6] 1 (t=4, e=4) |
p4g, 4*2 | sayfa, 22× | cm, 2*22 | cm, 2*22 | pm, *2222 | cm, 2*22 | |
[3 3 .4 2 ; 3 2 .4.3.4] 1 (t=4, e=5) |
[3 3 .4 2 ; 3 2 .4.3.4] 2 (t=3, e=6) |
[4 4 ; 3 3 .4 2 ] 1 (t=2, e=4) |
[4 4 ; 3 3 .4 2 ] 2 (t=3, e=5) |
[3 6 ; 3 3 .4 2 ] 1 (t=3, e=4) |
[3 6 ; 3 3 .4 2 ] 2 (t=4, e=5) |
Daha yüksek k-üniform döşemeler
k -tek tip döşemeler 6'ya kadar numaralandırılmıştır. Öklid düzleminin 673 adet 6-tek tip döşemesi vardır. Brian Galebach'ın araştırması, Krotenheerdt'in 6 farklı köşe tipine sahip 10 adet 6-üniform döşeme listesini yeniden üretti ve bunların 92 tanesini 5 köşe tipiyle, 187 tanesini 4 köşe tipiyle, 284 tanesini 3 köşe tipiyle ve 100 tanesini 2 köşe tipiyle buldu. köşe türleri.
Fraktalize k-üniform döşemeler
Eski k-üniform döşemelerden yeni k-üniform döşemeler üretmenin birçok yolu vardır. Örneğin, 2-üniforma [3.12.12; 3.4.3.12] döşeme, kare bir kafese sahiptir, 4(3-1)-düzgün [343.12; (3.12 2 )3] döşeme, kare şeklinde bir kafese ve 5(3-1-1)-düzgün [334.12; 343.12; (3.12.12)3] döşeme, uzatılmış üçgen bir kafese sahiptir. Bu yüksek dereceli tek tip döşemeler aynı kafesleri kullanır ancak daha fazla karmaşıklığa sahiptir. Tez döşemeleri için fraktalizasyon temeli aşağıdaki gibidir:
Üçgen | Meydan | Altıgen | Dissected Onikigen |
|
---|---|---|---|---|
şekil | ||||
Fraktalizme |
Kenar uzunlukları bir faktör kadar genişler .
Bu, benzer şekilde, karşılık gelen genleşme ile, temel olarak kesik trihegzagonal döşeme ile yapılabilir .
Üçgen | Meydan | Altıgen | Dissected Onikigen |
|
---|---|---|---|---|
şekil | ||||
Fraktalizme |
Fraktalizme Örnekleri
Kesik Altıgen Fayans | Kesik Üçgen Fayans | |
---|---|---|
Fraktalizme |
Uçtan uca olmayan döşemeler
Dışbükey düzenli çokgenler, uçtan uca olmayan düzlem döşemeler de oluşturabilir. Bu tür döşemeler, bitişik eşdoğrusal kenarlara sahip düzensiz çokgenler olarak uçtan uca düşünülebilir.
Her bir aile, bitişik karoların kenarları arasındaki örtüşmeyi veya farklı karoların kenar uzunlukları arasındaki oranı belirleyen gerçek değerli bir parametreye sahip yedi izogonal aile vardır. Ailelerden ikisi, ya ilerici ya da zikzak konumları olan kaydırılmış karelerden üretilir. Grünbaum ve Shephard, Coxeter'in uçtan uca düzenli çokgenler gerektiren tek biçimlilik tanımıyla çelişmesine rağmen bu döşemeleri tek biçimli olarak adlandırır . Bu tür izogonal döşemeler aslında topolojik olarak farklı geometrik oranlarda tek tip döşemelerle aynıdır.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
---|---|---|---|---|---|---|
Yatay uzaklıklara sahip kareler |
Yatay uzaklıklara sahip üçgen satırları |
kareler tarafından bir döşeme |
Her üçgeni üç altıgen çevreler |
Her altıgeni altı üçgen çevreler. |
Üç boyutlu üçgenler |
|
cmm (2*22) | p2 (2222) | cmm (2*22) | p4m (*442) | s6 (632) | s3 (333) | |
altıgen döşeme | Kare döşeme | Kesilmiş kare döşeme | Kesik altıgen döşeme | altıgen döşeme | Üçgen döşeme |
Ayrıca bakınız
Referanslar
- Grünbaum, Branko; Shephard, Geoffrey C. (1977). "Normal çokgenlerle döşemeler". Matematik. Mag . 50 (5): 227–247. doi : 10.2307/2689529 . JSTOR 2689529 .
- Grünbaum, Branko; Shephard, GC (1978). "Düzlemdeki doksan bir tür izogonal döşeme" . Trans. Ben. Matematik. Soc . 252 : 335–353. doi : 10.1090/S0002-9947-1978-0496813-3 . MR 0496813 .
- Debroey, İ.; Landuyt, F. (1981). "Eşi geçişli uçtan uca döşemeler". Geometriae Dedicata . 11 (1): 47-60. doi : 10.1007/BF00183189 . S2CID 122636363 .
- Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1987). Fayanslar ve Desenler . WH Freeman ve Şirketi. ISBN'si 0-7167-1193-1.
- Ren, Ding; Reay, John R. (1987). "Arşimet düzlemsel döşemelerinde sınır karakteristiği ve Pick teoremi" . J. Combinat. Teori A . 44 (1): 110–119. doi : 10.1016/0097-3165(87)90063-X .
- Chavey, D. (1989). "Düzenli Çokgenlere Göre Fayanslar - II: Fayanslar Kataloğu" . Uygulamalı Bilgisayar ve Matematik . 17 : 147–165. doi : 10.1016/0898-1221(89)90156-9 .
- Order in Space: Bir tasarım kaynak kitabı, Keith Critchlow, 1970 ISBN 978-0-670-52830-1
- Sommerville, Duncan MacLaren Young (1958). n Boyutlu Geometriye Giriş . Dover Yayınları. Bölüm X: Düzenli Politoplar
- Prea, P. (1997). "Arşimet Fayanslarında mesafe dizileri ve süzülme eşikleri" . Mathl. Bilgisayar. Modelleme . 26 (8–10): 317–320. doi : 10.1016/S0895-7177(97)00216-1 .
- Kovic, Jurij (2011). "Platonik ve Arşimet katılarının simetri tipi grafikleri" . Matematik. komün . 16 (2): 491–507.
- Pellicer, Daniel; Williams, Gordon (2012). "Arşimet Fayanslarının Minimal Örtüleri, Bölüm 1" . Elektronik Kombinatorik Dergisi . 19 (3): #P6. doi : 10.37236/2512 .
- Dale Seymour ve Jill Britton , Mozaiklere Giriş , 1989, ISBN 978-0866514613 , s. 50–57
Dış bağlantılar
Öklid ve genel döşeme bağlantıları:
- n-düzgün döşemeler , Brian Galebach
- Hollandalı Steve. "Üniforma Döşemeler" . Arşivlenmiş orijinal 2006-09-09 tarihinde . 2006-09-09 alındı .
- Mitchell, K. "Yarı-Düzenli Fayanslar" . 2006-09-09 alındı .
- Weisstein, Eric W. "Mozaikleme" . Matematik Dünyası .
- Weisstein, Eric W. "Yarı düzenli mozaikleme" . Matematik Dünyası .
- Weisstein, Eric W. "Demiregular mozaikleme" . Matematik Dünyası .