Dirichlet çekirdeği - Dirichlet kernel

Gelen matematiksel analiz , Dirichlet çekirdeği adını, Alman matematikçi Peter Gustav Lejeune Dirichlet , olarak tanımlanan fonksiyonların koleksiyon

${\displaystyle D_{n}(x)={\frac {1}{2\pi }}\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {1}{2 \pi }}\left(1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(kx)\sağ)={\frac {\sin \left(\left(n+1/2\sağ) )x\sağ)}{2\pi \sin(x/2)}},}$

burada n , negatif olmayan herhangi bir tam sayıdır . Çekirdek fonksiyonları period ile periyodiktir . ${\görüntüleme stili 2\pi }$

Dirac delta dağılımına yakınsamasını gösteren ilk birkaç Dirichlet çekirdeğinin grafiği .

Dirichlet çekirdeğinin önemi Fourier serileriyle olan ilişkisinden gelir . Evrişim ait D _{, n} ( x ) herhangi bir fonksiyon ile f dönemi 2 π olan N inci derece Fourier serisi yaklaşım f , yani elimizdeki

${\displaystyle (D_{n}*f)(x)=\int _{-\pi }^{\pi }f(y)D_{n}(xy)\,dy=\sum _{k=- n}^{n}{\hat {f}}(k)e^{ikx},}$

nerede

${\displaystyle {\widehat {f}}(k)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}\ ,dx}$

olan k Fourier katsayısı inci  f . Bu, Fourier serilerinin yakınsaklığını incelemek için Dirichlet çekirdeğinin özelliklerini incelemenin yeterli olduğu anlamına gelir.

İlk birkaç Dirichlet çekirdeğinin grafiği

Çekirdek fonksiyonunun L ¹ normu

Özellikle önemli olan bir gerçektir ki L ¹ normu D _N ilgili olarak sonsuza kadar uzayarak n → ∞. Biri bunu tahmin edebilir ${\görüntüleme stili [0,2\pi ]}$

${\displaystyle \|D_{n}\|_{L^{1}}=\Omega (\log n).\,}$

Pozitif olan en büyük sıfır komşuluğundaki katkıyı ve kalan kısım için Jensen eşitsizliğini tahmin etmek için bir Riemann toplamı argümanı kullanarak , şunu göstermek de mümkündür: ${\görüntüleme stili D_{n}}$

${\displaystyle \|D_{n}\|_{L^{1}}\geq 4\operatöradı {Si} (\pi )+{\frac {8}{\pi }}\log n.}$

Fourier serileri için birçok diverjans olgusunun arkasında bu tek biçimli integrallenebilirlik eksikliği yatmaktadır. Örneğin, tekdüze sınırlılık ilkesiyle birlikte, sürekli bir fonksiyonun Fourier serisinin oldukça dramatik bir şekilde noktasal yakınsayamayabileceğini göstermek için kullanılabilir . Daha fazla ayrıntı için Fourier serilerinin yakınsamasına bakın .

tarafından verilen ilk sonucun kesin bir kanıtı${\displaystyle \|D_{n}\|_{L^{1}[0,2\pi ]}=\Omega (\log n)}$

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\int _{0}^{2\pi }|D_{n}(x)|\,dx&\geq \int _{0}^{\pi }{\frac { |\sin[(2n+1)x]|}{x}}\,dx\\[5pt]&\geq \sum _{k=0}^{2n}\int _{k\pi }^{ (k+1)\pi }{\frac {|\sin(s)|}{s}}\,ds\\[5pt]&\geq \left|\sum _{k=0}^{2n} \int _{0}^{\pi }{\frac {\sin(s)}{(k+1)\pi }}\,ds\right|\\[5pt]&={\frac {2} {\pi }}H_{2n+1}\\[5pt]&\geq {\frac {2}{\pi }}\log(2n+1),\end{hizalı}}}$

Taylor serisi özdeşliğini kullandığımız yerde birinci mertebeden harmonik sayılar nerede ve nerede . ${\displaystyle 2/x\leq 1/|\sin(x/2)|}$${\görüntüleme stili H_{n}}$

Delta işleviyle ilişkisi

Gerçek bir değişkenin fonksiyonu olmayan, daha ziyade "dağıtım" olarak da adlandırılan " genelleştirilmiş bir fonksiyon " olan periyodik Dirac delta fonksiyonunu alın ve 2 π ile çarpın . 2 π periyodunun fonksiyonlarında evrişim için kimlik elemanı elde ederiz . Başka bir deyişle, sahip olduğumuz

${\displaystyle f*(2\pi \delta )=f}$

2 π periyodunun her ƒ fonksiyonu için . Bu "fonksiyonun" Fourier serisi gösterimi

${\displaystyle 2\pi \delta (x)\sim \sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{ikx}=\left(1+2\sum _{k=1}^{ \infty }\cos(kx)\sağ).}$

Bu nedenle, bu dizinin sadece kısmi toplamlarının dizisi olan Dirichlet çekirdeği, yaklaşık bir özdeşlik olarak düşünülebilir . Soyut olarak konuşursak, pozitif unsurların yaklaşık bir özdeşliği değildir (dolayısıyla yukarıda bahsedilen başarısızlıklar).

Trigonometrik kimliğin kanıtı

trigonometrik kimlik

${\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}}}$

Bu makalenin başında görüntülenen aşağıdaki gibi kurulabilir. Sonlu toplamı o ilk hatırlama geometrik dizi olduğunu

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}.}$

Özellikle, sahip olduğumuz

${\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}r^{k}=r^{-n}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}} .}$

Hem payı hem de paydayı ile çarpın , ${\görüntüleme stili r^{-1/2}}$

${\displaystyle {\frac {r^{-n-1/2}}{r^{-1/2}}}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r} }={\frac {r^{-n-1/2}-r^{n+1/2}}{r^{-1/2}-r^{1/2}}}.}$

Durumda biz ${\görüntüleme stili r=e^{ix}}$

${\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {e^{-(n+1/2)ix}-e^{(n+1/2) ix}}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}}}={\frac {-2i\sin((n+1/2)x)}{-2i\sin(x/ 2)}}={\frac {\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}}}$

gereğince, gerektiği gibi.

Trigonometrik kimliğin alternatif kanıtı

Seri ile başlayın

${\displaystyle 2\pi f(x)=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(kx).}$

Her iki tarafı da trigonometrik özdeşliği kullanarak çarpın${\metin stili \sin(x/2)}$

${\displaystyle \cos(a)\sin(b)={\frac {\sin(a+b)-\sin(ab)}{2}}}$

toplamdaki terimleri azaltmak için.

${\displaystyle 2\pi \sin(x/2)f(x)=\sin(x/2)+\sum _{k=1}^{n}\sin((k+{\tfrac {1}{ 2}})x)-\sin((k-{\tfrac {1}{2}})x)}$

hangi teleskoplar sonuca kadar.

kimlik çeşidi

Toplam, yalnızca negatif olmayan tam sayıların üzerindeyse (bu, merkezlenmemiş ayrık bir Fourier dönüşümü hesaplanırken ortaya çıkabilir ), o zaman benzer teknikleri kullanarak aşağıdaki özdeşliği gösterebiliriz:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}e^{ikx}=e^{i(N-1)x/2}{\frac {\sin(N\,x/2) }{\sin(x/2)}}}$

Ayrıca bakınız

• fejér çekirdeği

Referanslar

• Andrew M. Bruckner, Judith B. Bruckner, Brian S. Thomson: Gerçek Analiz . ClassicalRealAnalysis.com 1996, ISBN  0-13-458886-X , S.620 ( vollständige Online-Version (Google Books) )
• Podkorytov, AN (1988), "Fourier toplamlarının Dirichlet çekirdeğinin bir çokgene göre asimptotik davranışı". Sovyet Matematik Dergisi , 42(2): 1640-1646. doi: 10.1007/BF01665052
• Levi, H. (1974), "Dirichlet çekirdeğinin geometrik bir yapısı". New York Bilimler Akademisi İşlemleri , 36: 640-643. doi: 10.1111/j.2164-0947.1974.tb03023.x
• "Dirichlet çekirdeği" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
• Dirichlet-Çekirdek at PlanetMath