Klasik elektrodinamikte kullanılan Lagrangian
Darwin Lagrange (adını Charles Galton Darwin'in , torunu doğabilimci ) sırasına etkileşimi tarif vakum içinde iki yüklü parçacıklar arasındaki ve verilir
v
2
c
2
{\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}
L
=
L
f
+
L
int
,
{\ displaystyle L = L _ {\ text {f}} + L _ {\ text {int}},}
burada serbest parçacık Lagrange olan
L
f
=
1
2
m
1
v
1
2
+
1
8
c
2
m
1
v
1
4
+
1
2
m
2
v
2
2
+
1
8
c
2
m
2
v
2
4
,
{\ displaystyle L _ {\ text {f}} = {\ frac {1} {2}} m_ {1} v_ {1} ^ {2} + {\ frac {1} {8c ^ {2}}} m_ {1} v_ {1} ^ {4} + {\ frac {1} {2}} m_ {2} v_ {2} ^ {2} + {\ frac {1} {8c ^ {2}}} m_ {2} v_ {2} ^ {4},}
ve Lagrangian etkileşimi
L
int
=
L
C
+
L
D
,
{\ displaystyle L _ {\ text {int}} = L _ {\ text {C}} + L _ {\ text {D}},}
burada Coulomb etkileşimi olan
L
C
=
-
q
1
q
2
r
,
{\ displaystyle L _ {\ text {C}} = - {\ frac {q_ {1} q_ {2}} {r}},}
ve Darwin etkileşimi
L
D
=
q
1
q
2
r
1
2
c
2
v
1
⋅
[
1
+
r
^
r
^
]
⋅
v
2
.
{\ displaystyle L _ {\ text {D}} = {\ frac {q_ {1} q_ {2}} {r}} {\ frac {1} {2c ^ {2}}} \ mathbf {v} _ { 1} \ cdot \ left [\ mathbf {1} + \ mathbf {\ hat {r}} \ mathbf {\ hat {r}} \ right] \ cdot \ mathbf {v} _ {2}.}
Burada q, 1 ve q, 2 partiküllerin 1 ve 2, sırasıyla, ilgili ücretleri m, 1 ve m, 2 parçacıkların kütleleridir, h 1 ve V 2 parçacık hızları, C olan ışık hızı , r, bir iki parçacık arasında vektörü ve bir birim vektör yönünde r .
r
^
{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}}}
Serbest Lagrange olan Taylor genişleme ikinci derece iki parçacıkların özellikleri serbest Lagrange v . Darwin etkileşim terimi, bir parçacığın diğer parçacık tarafından üretilen manyetik alana tepki vermesinden kaynaklanmaktadır . V / c'deki daha yüksek dereceli terimler korunursa, alan serbestlik dereceleri hesaba katılmalıdır ve etkileşim artık parçacıklar arasında anlık olarak alınamaz. Bu durumda geciktirme etkileri hesaba katılmalıdır.
Vakumda türetme
Bir elektromanyetik alanla etkileşime giren q yüklü bir parçacık için göreli etkileşim Lagrangian
L
int
=
-
q
Φ
+
q
c
sen
⋅
Bir
,
{\ displaystyle L _ {\ text {int}} = - q \ Phi + {q \ over c} \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {A},}
burada u parçacığın göreli hızıdır. Sağdaki ilk terim Coulomb etkileşimini oluşturur. İkinci terim, Darwin etkileşimini oluşturur.
Vektör potansiyel olarak Coulomb göstergesi tarafından ( Gauss birimleri )
∇
2
Bir
-
1
c
2
∂
2
Bir
∂
t
2
=
-
4
π
c
J
t
{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} - {1 \ c ^ {2}} {\ kısmi ^ {2} \ mathbf {A} \ üzerinde \ kısmi t ^ {2}} = - { 4 \ pi \ over c} \ mathbf {J} _ {t}}
burada enine akım J t , ikinci bir parçacık tarafından üretilen solenoidal akımdır (bkz. Helmholtz ayrışması ). Diverjans çapraz akım sıfırdır.
İkinci parçacık tarafından üretilen akım
J
=
q
2
v
2
δ
(
r
-
r
2
)
,
{\ displaystyle \ mathbf {J} = q_ {2} \ mathbf {v} _ {2} \ delta \ sol (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {2} \ sağ),}
burada bir olan Fourier dönüşümü
J
(
k
)
≡
∫
d
3
r
tecrübe
(
-
ben
k
⋅
r
)
J
(
r
)
=
q
2
v
2
tecrübe
(
-
ben
k
⋅
r
2
)
.
{\ displaystyle \ mathbf {J} \ sol (\ mathbf {k} \ sağ) \ equiv \ int d ^ {3} r \ exp \ sol (-i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} \ sağ ) \ mathbf {J} \ left (\ mathbf {r} \ right) = q_ {2} \ mathbf {v} _ {2} \ exp \ left (-i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} _ {2} \ sağ).}
Akımın enine bileşeni
J
t
(
k
)
=
q
2
[
1
-
k
^
k
^
]
⋅
v
2
tecrübe
(
-
ben
k
⋅
r
2
)
.
{\ displaystyle \ mathbf {J} _ {t} \ sol (\ mathbf {k} \ sağ) = q_ {2} \ sol [\ mathbf {1} - \ mathbf {\ hat {k}} \ mathbf {\ hat {k}} \ sağ] \ cdot \ mathbf {v} _ {2} \ exp \ left (-i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} _ {2} \ sağ).}
Kolayca doğrulanır
k
⋅
J
t
(
k
)
=
0
,
{\ displaystyle \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {J} _ {t} \ sol (\ mathbf {k} \ sağ) = 0,}
Enine akımın sapması sıfır ise bu doğru olmalıdır. Bunu görüyoruz
J
t
(
k
)
{\ displaystyle \ mathbf {J} _ {t} \ sol (\ mathbf {k} \ sağ)}
Fourier akımının k'ye dik olarak dönüştürülmüş bileşenidir .
Vektör potansiyeli denkleminden, vektör potansiyelinin Fourier dönüşümü şöyledir:
Bir
(
k
)
=
4
π
c
q
2
k
2
[
1
-
k
^
k
^
]
⋅
v
2
tecrübe
(
-
ben
k
⋅
r
2
)
{\ displaystyle \ mathbf {A} \ sol (\ mathbf {k} \ sağ) = {4 \ pi \ c} {q_ {2} \ üzerinde k ^ {2}} \ sol [\ mathbf {1} - \ mathbf {\ hat {k}} \ mathbf {\ hat {k}} \ right] \ cdot \ mathbf {v} _ {2} \ exp \ left (-i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r } _ {2} \ sağ)}
v / c'de yalnızca en düşük sipariş dönemini tuttuğumuz yerde.
Vektör potansiyelinin ters Fourier dönüşümü şöyledir:
Bir
(
r
)
=
∫
d
3
k
(
2
π
)
3
Bir
(
k
)
tecrübe
(
ben
k
⋅
r
1
)
=
q
2
2
c
1
r
[
1
+
r
^
r
^
]
⋅
v
2
{\ displaystyle \ mathbf {A} \ sol (\ mathbf {r} \ sağ) = \ int {d ^ {3} k \ solda \ (2 \ pi \ sağ) ^ {3}} \; \ mathbf { A} \ left (\ mathbf {k} \ right) \; {\ exp \ left (i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} _ {1} \ right)} = {q_ {2} \ over 2c} {1 \ over r} \ left [\ mathbf {1} + \ mathbf {\ hat {r}} \ mathbf {\ hat {r}} \ right] \ cdot \ mathbf {v} _ {2}}
nerede
r
=
r
1
-
r
2
{\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {2}}
( Kuantum alan teorisindeki ortak integrallere bakınız ).
Lagrangian'daki Darwin etkileşim terimi o zaman
L
D
=
q
1
q
2
r
1
2
c
2
v
1
⋅
[
1
+
r
^
r
^
]
⋅
v
2
{\ displaystyle L _ {\ rm {D}} = {q_ {1} q_ {2} \ over r} {1 \ over 2c ^ {2}} \ mathbf {v} _ {1} \ cdot \ left [\ mathbf {1} + \ mathbf {\ hat {r}} \ mathbf {\ hat {r}} \ right] \ cdot \ mathbf {v} _ {2}}
burada yine v / c'de yalnızca en düşük sipariş terimini tuttuk.
Lagrange hareket denklemleri
Hareket eşitliği parçacıklarının biri içindir
d
d
t
∂
∂
v
1
L
(
r
1
,
v
1
)
=
∇
1
L
(
r
1
,
v
1
)
{\ displaystyle {d \ over dt} {\ kısmi \ fazla \ kısmi \ mathbf {v} _ {1}} L \ sol (\ mathbf {r} _ {1}, \ mathbf {v} _ {1} \ sağ) = \ nabla _ {1} L \ left (\ mathbf {r} _ {1}, \ mathbf {v} _ {1} \ sağ)}
d
p
1
d
t
=
∇
1
L
(
r
1
,
v
1
)
{\ displaystyle {d \ mathbf {p} _ {1} \ over dt} = \ nabla _ {1} L \ left (\ mathbf {r} _ {1}, \ mathbf {v} _ {1} \ sağ )}
burada p 1 olduğu ivme parçacığın.
Serbest parçacık
İki parçacık arasındaki etkileşimleri ihmal eden serbest bir parçacık için hareket denklemi
d
d
t
[
(
1
+
1
2
v
1
2
c
2
)
m
1
v
1
]
=
0
{\ displaystyle {d \ over dt} \ sol [\ left (1+ {1 \ over 2} {v_ {1} ^ {2} \ over c ^ {2}} \ right) m_ {1} \ mathbf { v} _ {1} \ sağ] = 0}
p
1
=
(
1
+
1
2
v
1
2
c
2
)
m
1
v
1
{\ displaystyle \ mathbf {p} _ {1} = \ left (1+ {1 \ over 2} {v_ {1} ^ {2} \ over c ^ {2}} \ right) m_ {1} \ mathbf {v} _ {1}}
Etkileşen parçacıklar
Etkileşen parçacıklar için hareket denklemi olur
d
d
t
[
(
1
+
1
2
v
1
2
c
2
)
m
1
v
1
+
q
1
c
Bir
(
r
1
)
]
=
-
∇
q
1
q
2
r
+
∇
[
q
1
q
2
r
1
2
c
2
v
1
⋅
[
1
+
r
^
r
^
]
⋅
v
2
]
{\ displaystyle {d \ over dt} \ sol [\ left (1+ {1 \ over 2} {v_ {1} ^ {2} \ over c ^ {2}} \ right) m_ {1} \ mathbf { v} _ {1} + {q_ {1} \ over c} \ mathbf {A} \ left (\ mathbf {r} _ {1} \ right) \ sağ] = - \ nabla {q_ {1} q_ { 2} \ over r} + \ nabla \ left [{q_ {1} q_ {2} \ over r} {1 \ over 2c ^ {2}} \ mathbf {v} _ {1} \ cdot \ left [\ mathbf {1} + \ mathbf {\ hat {r}} \ mathbf {\ hat {r}} \ right] \ cdot \ mathbf {v} _ {2} \ sağ]}
d
p
1
d
t
=
q
1
q
2
r
2
r
^
+
q
1
q
2
r
2
1
2
c
2
{
v
1
(
r
^
⋅
v
2
)
+
v
2
(
r
^
⋅
v
1
)
-
r
^
[
v
1
⋅
(
1
+
3
r
^
r
^
)
⋅
v
2
]
}
{\ displaystyle {d \ mathbf {p} _ {1} \ over dt} = {q_ {1} q_ {2} \ over r ^ {2}} {\ hat {\ mathbf {r}}} + {q_ {1} q_ {2} \ over r ^ {2}} {1 \ over 2c ^ {2}} \ left \ {\ mathbf {v} _ {1} \ left ({{\ hat {\ mathbf {r }}} \ cdot \ mathbf {v} _ {2}} \ right) + \ mathbf {v} _ {2} \ left ({{\ hat {\ mathbf {r}}} \ cdot \ mathbf {v} _ {1}} \ sağ) - {\ hat {\ mathbf {r}}} \ left [\ mathbf {v} _ {1} \ cdot \ left (\ mathbf {1} +3 {\ hat {\ mathbf {r}}} {\ hat {\ mathbf {r}}} \ sağ) \ cdot \ mathbf {v} _ {2} \ sağ] \ doğru \}}
p
1
=
(
1
+
1
2
v
1
2
c
2
)
m
1
v
1
+
q
1
c
Bir
(
r
1
)
{\ displaystyle \ mathbf {p} _ {1} = \ left (1+ {1 \ over 2} {v_ {1} ^ {2} \ over c ^ {2}} \ right) m_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + {q_ {1} \ over c} \ mathbf {A} \ left (\ mathbf {r} _ {1} \ right)}
Bir
(
r
1
)
=
q
2
2
c
1
r
[
1
+
r
^
r
^
]
⋅
v
2
{\ displaystyle \ mathbf {A} \ sol (\ mathbf {r} _ {1} \ sağ) = {q_ {2} \ 2c'den fazla} {1 \ r'den fazla} \ sol [\ mathbf {1} + \ mathbf {\ hat {r}} \ mathbf {\ hat {r}} \ sağ] \ cdot \ mathbf {v} _ {2}}
r
=
r
1
-
r
2
{\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {2}}
Vakumda iki parçacık için Hamiltoniyen
Bir boşlukta iki parçacık için Darwin Hamiltonian , bir Legendre dönüşümü ile Lagrangian ile ilişkilidir.
H
=
p
1
⋅
v
1
+
p
2
⋅
v
2
-
L
.
{\ displaystyle H = \ mathbf {p} _ {1} \ cdot \ mathbf {v} _ {1} + \ mathbf {p} _ {2} \ cdot \ mathbf {v} _ {2} -L.}
Hamiltonian olur
H
(
r
1
,
p
1
,
r
2
,
p
2
)
=
(
1
-
1
4
p
1
2
m
1
2
c
2
)
p
1
2
2
m
1
+
(
1
-
1
4
p
2
2
m
2
2
c
2
)
p
2
2
2
m
2
+
q
1
q
2
r
-
q
1
q
2
r
1
2
m
1
m
2
c
2
p
1
⋅
[
1
+
r
^
r
^
]
⋅
p
2
.
{\ displaystyle H \ sol (\ mathbf {r} _ {1}, \ mathbf {p} _ {1}, \ mathbf {r} _ {2}, \ mathbf {p} _ {2} \ sağ) = \ left (1- {1 \ over 4} {p_ {1} ^ {2} \ over m_ {1} ^ {2} c ^ {2}} \ right) {p_ {1} ^ {2} \ over 2m_ {1}} \; + \; \ left (1- {1 \ over 4} {p_ {2} ^ {2} \ over m_ {2} ^ {2} c ^ {2}} \ right) { p_ {2} ^ {2} \ over 2m_ {2}} \; + \; {q_ {1} q_ {2} \ over r} \; - \; {q_ {1} q_ {2} \ over r } {1 \ 2 milyondan fazla_ {1} m_ {2} c ^ {2}} \ mathbf {p} _ {1} \ cdot \ left [\ mathbf {1} + \ mathbf {\ hat {r}} \ mathbf {\ hat {r}} \ sağ] \ cdot \ mathbf {p} _ {2}.}
Hamilton hareket denklemleri
Hamilton hareket denklemleri
v
1
=
∂
H
∂
p
1
{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1} = {\ kısmi H \ üzeri \ kısmi \ mathbf {p} _ {1}}}
ve
d
p
1
d
t
=
-
∇
1
H
{\ displaystyle {d \ mathbf {p} _ {1} \ over dt} = - \ nabla _ {1} H}
hangi verim
v
1
=
(
1
-
1
2
p
1
2
m
1
2
c
2
)
p
1
m
1
-
q
1
q
2
2
m
1
m
2
c
2
1
r
[
1
+
r
^
r
^
]
⋅
p
2
{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1} = \ left (1- {1 \ over 2} {p_ {1} ^ {2} \ over m_ {1} ^ {2} c ^ {2}} \ sağ) {\ mathbf {p} _ {1} \ over m_ {1}} - {q_ {1} q_ {2} \ over 2m_ {1} m_ {2} c ^ {2}} {1 \ over r } \ left [\ mathbf {1} + \ mathbf {\ hat {r}} \ mathbf {\ hat {r}} \ right] \ cdot \ mathbf {p} _ {2}}
ve
d
p
1
d
t
=
q
1
q
2
r
2
r
^
+
q
1
q
2
r
2
1
2
m
1
m
2
c
2
{
p
1
(
r
^
⋅
p
2
)
+
p
2
(
r
^
⋅
p
1
)
-
r
^
[
p
1
⋅
(
1
+
3
r
^
r
^
)
⋅
p
2
]
}
{\ displaystyle {d \ mathbf {p} _ {1} \ over dt} = {q_ {1} q_ {2} \ over r ^ {2}} {\ hat {\ mathbf {r}}} \; + \; {q_ {1} q_ {2} \ r ^ {2}} üzerinde {1 \ 2m_ {1} m_ {2} c ^ {2}} \ left \ {\ mathbf {p} _ {1} \ left ({{\ hat {\ mathbf {r}}} \ cdot \ mathbf {p} _ {2}} \ right) + \ mathbf {p} _ {2} \ left ({{\ hat {\ mathbf {r}}} \ cdot \ mathbf {p} _ {1}} \ right) - {\ hat {\ mathbf {r}}} \ left [\ mathbf {p} _ {1} \ cdot \ left (\ mathbf {1} +3 {\ hat {\ mathbf {r}}} {\ hat {\ mathbf {r}}} \ right) \ cdot \ mathbf {p} _ {2} \ right] \ sağ \}}
Breit denklemi Wheeler-Feynman soğurucu teorisi ve daha iyisi kuantum elektrodinamiği tarafından daha iyi doğrulanacak olsa da , kuantum mekaniği Breit denkleminin Darwin Lagrangian'ı, Darwin Hamiltonian'ı klasik başlangıç noktası olarak kullandığına dikkat edin .
Ayrıca bakınız
Referanslar
<img src="https://en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">