Helmholtz ayrışması - Helmholtz decomposition

Olarak fizik ve matematik , alanında vektör hesabı , Helmholtz teoremi olarak da bilinen, vektör hesaplama temel teoremi , herhangi bir yeterli olduğunu bildiren düzgün hızla bozulması, vektör alanı bir toplamı olarak çözülebilir üç boyutta potansiyel olmayan ( kıvrılma - serbest) vektör alanı ve bir solenoidal ( diverjanssız ) vektör alanı; bu, Helmholtz ayrışması veya Helmholtz temsili olarak bilinir . Adını Hermann von Helmholtz'dan almıştır .

Dönel olmayan bir vektör alanı bir skaler potansiyele ve bir solenoidal vektör alanı bir vektör potansiyeline sahip olduğundan, Helmholtz ayrıştırması, bir vektör alanının (uygun düzgünlük ve bozunma koşullarını sağlayan) formun toplamı olarak ayrıştırılabileceğini belirtir , burada bir skaler alan "skaler potansiyel" olarak adlandırılır ve A , vektör potansiyeli olarak adlandırılan bir vektör alanıdır.

Teoremin ifadesi

Izin bir vektör alanı sınırlı bir etki alanında olması ikinci türevi sürekli, ve izin domain çevreler yüzey olacak . Daha sonra kıvrılmayan bir bileşene ve sapmasız bir bileşene ayrıştırılabilir:

nerede

ve ile ilgili olarak nabla operatörüdür , değil .

Eğer ve bu nedenle sınırsızsa ve as ' den daha hızlı kaybolursa , o zaman kişi

türetme

Alandaki ve sınırdaki alanlardaki curl, , ve diverjansı bildiğimiz bir vektör fonksiyonumuz olduğunu varsayalım . Formda delta fonksiyonunu kullanarak fonksiyonun yazılması

Laplace operatörü nerede , elimizde

burada Laplacian vektörünün tanımını kullandık :

by ve son satıra göre farklılaşma/entegrasyon , fonksiyon argümanlarının doğrusallığı:

Daha sonra vektörel kimlikleri kullanarak

alırız

Sayesinde sapma teoremi denklemi şu şekilde yazılabilir

dış yüzey normal .

tanımlama

sonunda elde ettik

bir Laplace Green fonksiyonları ve daha genel bir ortamda uygun Green'in fonksiyon ile ikame edilmiş - örneğin, iki boyutta, ile değiştirilmelidir . Daha yüksek boyutlu genelleme için aşağıdaki Hodge ayrıştırma tartışmasına bakın .

Fourier dönüşümünden başka bir türetme

Burada belirtilen teoremde, sınırlı bir alanda tanımlı değilse , ' den daha hızlı bozunacağı koşulunu getirdiğimize dikkat edin . Bu nedenle, Fourier Transform olarak gösterilmektedir, , mevcut olduğu garanti edilir. Sözleşmeyi uyguluyoruz

Bir skaler alanın Fourier dönüşümü bir skaler alandır ve bir vektör alanının Fourier dönüşümü aynı boyutta bir vektör alanıdır.

Şimdi aşağıdaki skaler ve vektör alanlarını göz önünde bulundurun:

Buradan

Öngörülen sapma ve kıvrılma olan alanlar

"Helmholtz teoremi" terimi ayrıca aşağıdakilere de atıfta bulunabilir. Let Bir olmak solenoidal vektör alanı ve d bir skalar alan R 3 pürüzsüz yeterli ve daha hızlı yittikleri 1 / r 2 sonsuzda. O zaman öyle bir vektör alanı F vardır ki

ek olarak vektör alanı F r → ∞ olarak kaybolursa , o zaman F benzersizdir.

Başka bir deyişle, bir vektör alanı hem belirli bir diverjans hem de belirli bir kıvrılma ile oluşturulabilir ve eğer sonsuzda kaybolursa, diverjansı ve kıvrımı ile benzersiz bir şekilde belirtilir. Bu teorem elektrostatikte büyük önem taşır , çünkü statik durumdaki elektrik ve manyetik alanlar için Maxwell denklemleri tam olarak bu tiptedir. Kanıt, yukarıda verileni genelleyen bir yapıdır:

nerede Newton potansiyel operatörünü temsil eder . ( ∇ × F gibi bir vektör alanı üzerinde hareket ederken , her bir bileşen üzerinde hareket etmesi tanımlanır.)

diferansiyel formlar

Hodge ayrışma yakından ilgili vektör alanları genelleme Helmholtz ayrışma ile ilgilidir R 3 için farklı biçimlerde bir ilgili Riemann manifoldu M . Hodge çoğu formülasyonları gerektirmektedir ayrışma M olmak kompakt . Bu doğru değildir yana R 3 , Hodge ayrışma teoremi kesinlikle Helmholtz teoremin bir genelleme değildir. Bununla birlikte, Hodge ayrışmasının olağan formülasyonundaki kompaktlık kısıtlaması, Helmholtz teoreminin uygun bir genelleştirmesini vererek, ilgili diferansiyel formlar üzerinde sonsuzda uygun bozunma varsayımları ile değiştirilebilir.

Zayıf formülasyon

Helmholtz ayrıştırması, düzenlilik varsayımlarını (güçlü türevlerin varlığına duyulan ihtiyaç) azaltarak da genelleştirilebilir. Diyelim ki Ω sınırlı, basit bağlantılı bir Lipschitz alanıdır . Her kare ile integrallenebilen vektör alanı u ∈ ( L 2 (Ω)) 3 bir ortogonal ayrıştırmaya sahiptir:

burada φ , dağılım anlamında tanımlanan kısmi türevleri kare integrallenebilir olan Ω üzerindeki kare integrallenebilir fonksiyonların Sobolev uzayında H 1 (Ω) ve AH (curl, Ω) , kareden oluşan vektör alanlarının Sobolev uzayı kare integrallenebilir kıvrımlı integrallenebilir vektör alanları.

Biraz daha düzgün bir vektör alanı uH (kıvrım, Ω) için , benzer bir ayrıştırma geçerlidir:

burada φH 1 (Ω), v ∈ ( H 1 (Ω)) d .

Boyuna ve enine alanlar

Fizikte sıklıkla kullanılan bir terminoloji, bir vektör alanının kıvrımsız bileşenini uzunlamasına bileşen olarak ve sapmasız bileşeni enine bileşen olarak belirtir . Bu terminoloji aşağıdaki yapıdan gelir: Vektör alanının üç boyutlu Fourier dönüşümünü hesaplayın . Daha sonra bu alanı, her k noktasında , biri uzunlamasına, yani k'ye paralel , diğeri ise enine yönü gösteren, yani k'ye dik olan iki bileşene ayırın . Şimdiye kadar, elimizde

Şimdi bu bileşenlerin her birine bir ters Fourier dönüşümü uyguluyoruz. Fourier dönüşümlerinin özelliklerini kullanarak şunları elde ederiz:

beri ve ,

alabiliriz

yani bu gerçekten Helmholtz ayrışmasıdır.

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

Genel referanslar

  • George B. Arfken ve Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists , 4. baskı, Academic Press: San Diego (1995) s. 92–93
  • George B. Arfken ve Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists – International Edition , 6. baskı, Academic Press: San Diego (2005) s. 95–101
  • Rutherford Aris , Vektörler, tensörler ve akışkanlar mekaniğinin temel denklemleri , Prentice-Hall (1962), OCLC  299650765 , s. 70–72

Zayıf formülasyon için referanslar

  • Amrouche, C.; Bernardi, C .; Dauge, M.; Girault, V. (1998). "Üç boyutlu pürüzsüz olmayan alanlarda vektör potansiyelleri". Uygulamalı Bilimlerde Matematiksel Yöntemler . 21 : 823-864. Bibcode : 1998MMAS...21..823A . doi : 10.1002/(sici)1099-1476(199806)21:9<823::aid-mma976>3.0.co;2-b .
  • R. Dautray ve J.-L. Aslanlar. Spektral Teori ve Uygulamalar, Matematiksel Analiz ve Bilim ve Teknoloji için Sayısal Yöntemlerin 3. cildi. Springer-Verlag, 1990.
  • V. Girault ve PA Raviart. Navier-Stokes Denklemleri için Sonlu Eleman Yöntemleri: Teori ve Algoritmalar. Hesaplamalı Matematikte Springer Serisi. Springer-Verlag, 1986.

Dış bağlantılar