Bohr-Van Leeuwen teoremi - Bohr–Van Leeuwen theorem

Bohr-Van Leeuwen teoremi zaman bildiren istatistiksel mekanik ve klasik mekanik sürekli olarak uygulanır, termik ortalama bir mıknatıslanma her zaman sıfırdır. Bu, katılardaki manyetizmayı yalnızca kuantum mekaniksel bir etki yapar ve klasik fiziğin paramanyetizma , diamanyetizma ve ferromanyetizma için açıklama yapamayacağı anlamına gelir . Klasik fiziğin triboelektrikliği açıklayamaması da Bohr-Van Leeuwen teoreminden kaynaklanmaktadır.

Tarih

Bugün Bohr-Van Leeuwen teoremi olarak bilinen şey , 1911'de Niels Bohr tarafından doktora tezinde keşfedildi ve daha sonra Hendrika Johanna van Leeuwen tarafından 1919'da doktora tezinde yeniden keşfedildi . 1932'de Van Vleck , Bohr'un ilk teoremini resmileştirdi ve genişletti. elektrik ve manyetik duyarlılıklar üzerine yazdığı bir kitapta.

Bu keşfin önemi, klasik fiziğin paramanyetizma , diamanyetizma ve ferromanyetizma gibi şeylere izin vermemesi ve dolayısıyla manyetik olayları açıklamak için kuantum fiziğine ihtiyaç duyulmasıdır. "Belki de tüm zamanların en deflasyonist yayını" olan bu sonuç, Bohr'un 1913'te yarı-klasik bir hidrojen atomu teorisi geliştirmesine katkıda bulunmuş olabilir .

Kanıt

Istatistik mekaniği
Termodinamik Kinetik teori
parçacık istatistikleri Spin-istatistik teoremi özdeş parçacıklar Maxwell-Boltzmann Bose-Einstein Fermi-Dirac paraistatistik Anyonik istatistikler Örgü istatistikleri
Termodinamik topluluklar NVE Mikrokanonik NVT Kanonik µVT Büyük kanonik NPH İzoentalpik-izobarik NPT İzotermal-izobarik
Modeller debye Einstein Şarkı söylerim saksılar
potansiyeller İçsel enerji entalpi Helmholtz serbest enerji Gibbs serbest enerjisi Büyük potansiyel / Landau serbest enerjisi
Bilim insanları Maxwell Boltzmann Gibbs Einstein Ehrenfest von Neumann Tolman debye fermi Bose
v T e

Sezgisel bir kanıt

Bohr-Van Leeuwen teoremi, dönemeyen yalıtılmış bir sistem için geçerlidir. Yalıtılmış sistemin harici olarak uygulanan bir manyetik alana tepki olarak dönmesine izin verilirse, bu teorem uygulanmaz. Ek olarak, belirli bir sıcaklık ve alanda yalnızca bir termal denge durumu varsa ve bir alan uygulandıktan sonra sistemin dengeye dönmesine izin verilirse, o zaman manyetizasyon olmayacaktır.

Sistem hareket, belirli bir halde olması ihtimali ile tahmin edilir Maxwell-Boltzmann istatistiği ile orantılı olması için , sistemin enerji, bir Boltzmann sabiti , ve bir mutlak sıcaklık . Bu enerji, kinetik enerji ( kütlesi ve hızı olan bir parçacık için ) ile potansiyel enerjinin toplamına eşittir . ${\displaystyle \exp(-U/k_{\text{B}}T)}$${\görüntüleme stili U}$${\displaystyle k_{\metin{B}}}$${\görüntüleme stili T}$${\displaystyle mv^{2}/2}$${\görüntüleme stili m}$${\görüntüleme stili v}$

Manyetik alan potansiyel enerjiye katkıda bulunmaz. Lorentz kuvveti ile bir partikül üzerinde bir ücret ve hız olan${\görüntüleme stili q}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \sağ),}$

burada bir elektrik alanı ve bir manyetik akım yoğunluğu . Oranı çalışmaları yapılır ve bağlı değildir . Bu nedenle, enerji manyetik alana bağlı değildir, dolayısıyla hareketlerin dağılımı da manyetik alana bağlı değildir. ${\displaystyle \mathbf {E} }$${\görüntüleme stili \mathbf {B} }$${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {v} =q\mathbf {E} \cdot \mathbf {v} }$${\görüntüleme stili \mathbf {B} }$

Sıfır alanında, sistem dönemediği için yüklü parçacıkların net hareketi olmayacaktır. Bu nedenle ortalama bir manyetik moment sıfır olacaktır. Hareketlerin dağılımı manyetik alana bağlı olmadığından, herhangi bir manyetik alanda termal dengedeki moment sıfır olarak kalır.

Daha resmi bir kanıt

İspatın karmaşıklığını azaltmak için elektronlu bir sistem kullanılacaktır. ${\görüntüleme stili N}$

Bu uygundur, çünkü bir katıdaki manyetizmanın çoğu elektronlar tarafından taşınır ve ispat kolaylıkla birden fazla yüklü parçacık tipine genelleştirilebilir.

Her elektronun negatif bir yükü ve kütlesi vardır . ${\görüntüleme stili e}$${\displaystyle m_{\metin{e}}}$

Konumu ve hızı ise , bir akım ve bir manyetik moment üretir.${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {j} =e\mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {\mu } ={\frac {1}{2c}}\mathbf {r} \times \mathbf {j} ={\frac {e}{2c}}\mathbf {r} \times \mathbf {v} .}$

Yukarıdaki denklem, manyetik momentin hız koordinatlarının lineer bir fonksiyonu olduğunu gösterir, bu nedenle belirli bir yöndeki toplam manyetik moment, formun lineer bir fonksiyonu olmalıdır.

${\displaystyle \mu =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {a} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r}}}_{i},}$

burada nokta bir zaman türevini temsil eder ve konum koordinatlarına bağlı vektör katsayılarıdır . ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$${\displaystyle \{\mathbf {r} _{i},i=1\ldots N\}}$

Maxwell-Boltzmann istatistikleri n'inci partikül momentumu olduğu olasılığını sağlar ve koordinat olarak${\displaystyle \mathbf {p} _{n}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{n}}$

${\displaystyle dP\propto \exp {\sol[-{\frac {{\mathcal {H}}(\mathbf {p} _{1},\ldots ,\mathbf {p} _{N};\mathbf) {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})}{k_{\text{B}}T}}\right]}d\mathbf {p} _{1},\ ldots ,d\mathbf {p} _{N}d\mathbf {r} _{1},\ldots ,d\mathbf {r} _{N},}$

Hamiltoniyen nerede , sistemin toplam enerjisi. ${\görüntüleme stili {\matematiksel {H}}}$

Bu genelleştirilmiş koordinatların herhangi bir fonksiyonunun termal ortalaması daha sonra${\displaystyle f(\mathbf {p} _{1},\ldots ,\mathbf {p} _{N};\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N} )}$

${\displaystyle \langle f\rangle ={\frac {\int fdP}{\int dP}}.}$

Manyetik alan varlığında,

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2m_{\text{e}}}}\sum _{i=1}^{N}\left(\mathbf {p} _{ i}-{\frac {e}{c}}\mathbf {A} _{i}\sağ)^{2}+e\phi (\mathbf {q} ),}$

nerede olduğu manyetik vektör potansiyeli ve bir elektrik skaler potansiyeli . Her parçacık için momentum ve konumun bileşenleri Hamilton mekaniğinin denklemleriyle ilişkilidir :${\displaystyle \mathbf {A} _ {i}}$${\displaystyle \phi (\mathbf {q} )}$${\displaystyle \mathbf {p} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}{\dot {\mathbf {p} }}_{i}&=-\partial {\mathcal {H}}/\partial \mathbf {r} _{i}\\ {\dot {\mathbf {r}}}_{i}&=\partial {\mathcal {H}}/\partial \mathbf {p} _{i}.\end{hizalı}}}$

Öyleyse,

${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}_{i}\propto \mathbf {p} _{i}-{\frac {e}{c}}\mathbf {A} _{i}, }$

yani an , momentumun lineer bir fonksiyonudur . ${\görüntüleme stili \mu }$${\displaystyle \mathbf {p} _{i}}$

Termal olarak ortalama moment,

${\displaystyle \langle \mu \rangle ={\frac {\int \mu dP}{\int dP}},}$

formun integralleriyle orantılı terimlerin toplamıdır

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }(\mathbf {p} _{i}-{\frac {e}{c}}\mathbf {A} _{i})dP,}$

nerede moment koordinatlarından birini temsil eder. ${\görüntüleme stili p}$

İntegrant, 'nin tuhaf bir işlevidir , bu nedenle yok olur. ${\görüntüleme stili p}$

Bu nedenle, . ${\displaystyle \langle \mu \rangle =0}$

Uygulamalar

Bohr-Van Leeuwen teoremi, plazma fiziği de dahil olmak üzere birçok uygulamada yararlıdır : "Bütün bu referanslar, Bohr-Van Leeuwen teoremi hakkındaki tartışmalarını, ağı iptal eden akımları sağlamak için mükemmel şekilde yansıtan duvarların gerekli olduğu Niels Bohr'un fiziksel modeline dayandırır. Plazma elemanının iç kısmından katkı sağlar ve plazma elemanı için sıfır net diamanyetizma ile sonuçlanır."

Tamamen klasik bir doğaya sahip diamanyetizma, plazmalarda meydana gelir, ancak plazma yoğunluğundaki bir gradyan gibi termal dengesizliğin bir sonucudur. Elektromekanik ve elektrik mühendisliği de Bohr-Van Leeuwen teoreminden pratik fayda görüyor.

Ayrıca bakınız

• Plazma (fizik) makalelerinin listesi

Referanslar

Dış bağlantılar

• 20. yüzyılın başları: Görelilik ve kuantum mekaniği sonunda anlayış getiriyor