Istatistik mekaniği - Statistical mechanics

Olarak fizik , istatistiksel mekanik uygulanır matematiksel çerçeve istatistiksel yöntemler ve olasılık teorisi mikroskopik birimlerinin büyük montajlar için. Herhangi bir doğa yasasını varsaymaz veya varsaymaz, ancak doğanın makroskopik davranışını bu tür toplulukların davranışlarından açıklar.

İstatistiksel mekanik , sıcaklık , basınç ve ısı kapasitesi gibi makroskopik fiziksel özellikleri ortalama değerler etrafında dalgalanan ve olasılık dağılımları ile karakterize edilen mikroskobik parametreler açısından açıklamakta başarılı olduğu bir alan olan klasik termodinamiğin geliştirilmesinden ortaya çıkmıştır. . Bu, istatistiksel termodinamik ve istatistiksel fizik alanlarını oluşturdu .

İstatistiksel mekanik alanının kuruluşu genellikle üç fizikçiye atfedilir:

Klasik termodinamik öncelikle termodinamik denge ile ilgilenirken , istatistiksel mekanik denge dışı istatistiksel mekanikte dengesizlikler tarafından yönlendirilen tersinmez süreçlerin hızını mikroskobik olarak modelleme konularına uygulanmıştır . Bu tür işlemlerin örnekleri arasında kimyasal reaksiyonlar ve parçacık ve ısı akışları yer alır. Salınım-kayıp teoremi birçok partikülden oluşan bir sistemde bir kararlı durum akım akışının basit denge dışı durumu tespit etmeye denge dışı istatistiksel mekanik uygulayarak elde edilen temel bir bilgidir.

İlkeler: mekanik ve topluluklar

Fizikte genellikle iki tür mekanik incelenir: klasik mekanik ve kuantum mekaniği . Her iki mekanik türü için de standart matematiksel yaklaşım iki kavramı dikkate almaktır:

Bu iki kavramı kullanarak, başka herhangi bir zamanda, geçmiş veya gelecek durum, prensipte hesaplanabilir. Bununla birlikte, insan ölçeğinde işlemler gerçekleştirirken her molekülün eşzamanlı konumlarını ve hızlarını mikroskobik düzeyde tam olarak bilmeyi gerekli (ve hatta teorik olarak mümkün) bulmadığımızdan, bu yasalar ve günlük yaşam deneyimleri arasında bir kopukluk vardır. örneğin, bir kimyasal reaksiyon gerçekleştirirken). İstatistiksel mekanik, mekanik yasaları ile eksik bilginin pratik deneyimi arasındaki bu kopukluğu, sistemin hangi durumda olduğuna dair bir miktar belirsizlik ekleyerek doldurur.

Sıradan mekanik yalnızca tek bir durumun davranışını dikkate alırken, istatistiksel mekanik , sistemin çeşitli durumlarda sanal, bağımsız kopyalarının geniş bir koleksiyonu olan istatistiksel topluluğu tanıtır . İstatistiksel topluluk, sistemin tüm olası durumları üzerinde bir olasılık dağılımıdır . Klasik istatistiksel mekanikte, topluluk, faz noktaları üzerinde bir olasılık dağılımıdır (sıradan mekanikteki tek faz noktasının aksine), genellikle kanonik koordinatlara sahip bir faz uzayında bir dağılım olarak temsil edilir . Kuantum istatistiksel mekaniğinde, topluluk, saf durumlar üzerindeki bir olasılık dağılımıdır ve bir yoğunluk matrisi olarak kompakt bir şekilde özetlenebilir .

Olasılıklar için olağan olduğu gibi, topluluk farklı şekillerde yorumlanabilir:

  • Tek bir sistemin içinde olabileceği çeşitli olası durumları temsil etmek için bir topluluk alınabilir ( epistemik olasılık , bir bilgi biçimi) veya
  • Topluluğun üyeleri, sonsuz sayıda deneme sınırında, benzer fakat kusurlu bir şekilde kontrol edilen bir şekilde ( ampirik olasılık ) hazırlanmış bağımsız sistemler üzerinde tekrarlanan deneylerdeki sistemlerin durumları olarak anlaşılabilir .

Bu iki anlam birçok amaç için eşdeğerdir ve bu makalede birbirinin yerine kullanılacaktır.

Olasılık nasıl yorumlanırsa yorumlansın, topluluktaki her durum hareket denklemine göre zaman içinde gelişir. Böylece, topluluktaki sanal sistemler sürekli olarak bir durumdan çıkıp diğerine girdikçe, topluluğun kendisi (durumlar üzerindeki olasılık dağılımı) da gelişir. Topluluk evrimi, Liouville denklemi (klasik mekanik) veya von Neumann denklemi (kuantum mekaniği) ile verilir. Bu denklemler basit bir şekilde, mekanik hareket denkleminin toplulukta bulunan her sanal sisteme ayrı ayrı uygulanmasıyla türetilir ve sanal sistemin durumdan duruma geliştikçe zaman içinde korunma olasılığı vardır.

Özel bir topluluk sınıfı, zamanla gelişmeyen topluluklardır. Bu topluluklar, denge toplulukları olarak bilinir ve durumları, istatistiksel denge olarak bilinir . İstatistiksel denge, topluluktaki her bir durum için, topluluk, o durumda olma olasılığına eşit olasılıklara sahip tüm gelecekteki ve geçmiş durumlarını da içeriyorsa oluşur. İzole sistemlerin denge topluluklarının incelenmesi, istatistiksel termodinamiğin odak noktasıdır. Denge dışı istatistiksel mekanik, zamanla değişen toplulukların ve/veya izole edilmemiş sistem topluluklarının daha genel durumunu ele alır.

istatistiksel termodinamik

İstatistiksel termodinamiğin (denge istatistiksel mekaniği olarak da bilinir) birincil amacı, malzemelerin klasik termodinamiğini , oluşturan parçacıkların özellikleri ve aralarındaki etkileşimler açısından türetir . Başka bir deyişle, istatistiksel termodinamik, termodinamik dengedeki malzemelerin makroskopik özellikleri ile malzeme içinde meydana gelen mikroskobik davranışlar ve hareketler arasında bir bağlantı sağlar .

Gerçek istatistiksel mekanik dinamikleri içerirken, burada dikkat istatistiksel dengeye (kararlı hal) odaklanmıştır . İstatistiksel denge, parçacıkların hareket etmeyi durdurduğu ( mekanik denge ) değil, yalnızca topluluğun evrimleşmediği anlamına gelir.

temel varsayım

Bir yeterli bir izole sistemi ile, istatistiki bir denge için (ancak gerekli değildir) koşulu olasılık dağılımı sadece muhafaza özellikleri (toplam enerji, toplam tanecik numaraları, vs) bir fonksiyonu olmasıdır. Göz önünde bulundurulabilecek birçok farklı denge topluluğu vardır ve bunlardan yalnızca bazıları termodinamiğe karşılık gelir. Belirli bir sistem için topluluğun neden şu veya bu biçimde olması gerektiğini motive etmek için ek varsayımlar gereklidir.

Birçok ders kitabında bulunan ortak bir yaklaşım, eşit a priori olasılık varsayımını almaktır . Bu postulat şunu belirtir:

Tam olarak bilinen bir enerjiye ve tam olarak bilinen bir bileşime sahip yalıtılmış bir sistem için, sistem bu bilgiyle tutarlı herhangi bir mikro durumda eşit olasılıkla bulunabilir .

Eşit a priori olasılık varsayımı bu nedenle aşağıda açıklanan mikrokanonik topluluk için bir motivasyon sağlar . Eşit a priori olasılık varsayımı lehine çeşitli argümanlar vardır:

  • Ergodik hipotez : Ergodik bir sistem, "tüm erişilebilir" durumları keşfetmek için zamanla gelişen bir sistemdir: hepsi aynı enerji ve bileşime sahip olanlar. Ergodik bir sistemde, mikrokanonik topluluk, sabit enerjili olası tek denge topluluğudur. Çoğu sistem ergodik olmadığı için bu yaklaşımın uygulanabilirliği sınırlıdır.
  • Kayıtsızlık ilkesi : Daha fazla bilgi yokluğunda, her uyumlu duruma yalnızca eşit olasılıklar atayabiliriz.
  • Maksimum bilgi entropisi : Kayıtsızlık ilkesinin daha ayrıntılı bir versiyonu, doğru topluluğun bilinen bilgilerle uyumlu ve en büyük Gibbs entropisine ( bilgi entropisi ) sahip olan topluluk olduğunu belirtir .

İstatistiksel mekanik için başka temel varsayımlar da önerilmiştir.

Üç termodinamik topluluk

Sonlu bir hacim içinde sınırlandırılmış herhangi bir yalıtılmış sistem için tanımlanabilen basit bir forma sahip üç denge topluluğu vardır . Bunlar istatistiksel termodinamikte en sık tartışılan topluluklardır. Makroskopik limitte (aşağıda tanımlanmıştır) hepsi klasik termodinamiğe karşılık gelir.

mikrokanonik topluluk
kesin olarak verilen bir enerjiye ve sabit bir bileşime (kesin parçacık sayısı) sahip bir sistemi tanımlar. Mikrokanonik topluluk, o enerji ve bileşimle tutarlı olan her olası durumu eşit olasılıkla içerir.
kanonik topluluk
kesin bir sıcaklıktaki bir ısı banyosu ile termal dengede olan sabit bileşimli bir sistemi tanımlar . Kanonik topluluk, değişen enerji durumlarını, ancak aynı kompozisyonu içerir; topluluktaki farklı durumlara toplam enerjilerine bağlı olarak farklı olasılıklar verilir.
Büyük kanonik topluluk
termodinamik bir rezervuar ile termal ve kimyasal dengede olan sabit olmayan bileşime (belirsiz parçacık sayıları) sahip bir sistemi tanımlar. Rezervuar, hassas bir sıcaklığa ve çeşitli parçacık türleri için kesin kimyasal potansiyellere sahiptir . Büyük kanonik topluluk, değişen enerji durumlarını ve değişen sayıda parçacık içerir; topluluktaki farklı durumlara toplam enerjilerine ve toplam parçacık sayılarına bağlı olarak farklı olasılıklar verilir.

Çok sayıda parçacık içeren sistemler için ( termodinamik limit ), yukarıda listelenen toplulukların üçü de aynı davranışı verme eğilimindedir. O zaman hangi topluluğun kullanıldığı basitçe matematiksel bir uygunluk meselesidir. Toplulukların denkliği ile ilgili Gibbs teoremi , fonksiyonel analizden yapay zeka yöntemlerine ve büyük veri teknolojisine kadar bilimin birçok alanında uygulamaları olan ölçüm olgusunun yoğunlaşması teorisine dönüşmüştür .

Termodinamik toplulukları Önemli vakalar yok özdeş sonuçlar verir şunlardır:

  • Mikroskobik sistemler.
  • Faz geçişinde büyük sistemler.
  • Uzun menzilli etkileşimleri olan büyük sistemler.

Bu durumlarda, bu topluluklar arasında sadece dalgalanmaların boyutunda değil, aynı zamanda parçacıkların dağılımı gibi ortalama miktarlarda da gözlemlenebilir farklılıklar olduğundan, doğru termodinamik topluluk seçilmelidir. Doğru topluluk, sistemin hazırlanma ve karakterize edilme biçimine karşılık gelen, başka bir deyişle, o sistem hakkındaki bilgileri yansıtan topluluktur.

Termodinamik topluluklar
mikrokanonik kanonik büyük kanonik
Sabit değişkenler
mikroskobik özellikler
makroskopik fonksiyon

Hesaplama yöntemleri

Belirli bir sistem için bir topluluğun karakteristik durum fonksiyonu hesaplandıktan sonra, bu sistem 'çözülmüştür' (makroskopik gözlemlenebilirler karakteristik durum fonksiyonundan çıkarılabilir). Bir termodinamik topluluğun karakteristik durum fonksiyonunu hesaplamak, sistemin her olası durumunu göz önünde bulundurmayı içerdiğinden, basit bir görev değildir. Bazı varsayımsal sistemler tam olarak çözülmüş olsa da, en genel (ve gerçekçi) durum kesin bir çözüm için çok karmaşıktır. Gerçek topluluğa yaklaşmak ve ortalama miktarların hesaplanmasına izin vermek için çeşitli yaklaşımlar mevcuttur.

Bire bir aynı

Kesin çözümlere izin veren bazı durumlar vardır.

  • Çok küçük mikroskobik sistemler için, topluluklar, sistemin tüm olası durumları üzerinden basitçe numaralandırılarak (kuantum mekaniğinde tam köşegenleştirme veya klasik mekanikte tüm faz uzayında integral kullanılarak) doğrudan hesaplanabilir.
  • Bazı büyük sistemler birçok ayrılabilir mikroskobik sistemden oluşur ve alt sistemlerin her biri bağımsız olarak analiz edilebilir. Özellikle, etkileşmeyen parçacıkların idealize gazları, Maxwell–Boltzmann istatistiklerinin , Fermi–Dirac istatistiklerinin ve Bose–Einstein istatistiklerinin tam olarak türetilmesine izin veren bu özelliğe sahiptir .
  • Etkileşimli birkaç büyük sistem çözüldü. İnce matematiksel tekniklerin kullanılmasıyla, birkaç oyuncak modeli için kesin çözümler bulundu . Bazı örnekler, Bethe ansatz , sıfır alanında kare kafes Ising modeli , sert altıgen modeli içerir .

Monte Carlo

Bilgisayarlar için özellikle uygun olan yaklaşık bir yaklaşım , sistemin olası durumlarından yalnızca birkaçını rastgele seçilen durumlarla (adil bir ağırlıkla) inceleyen Monte Carlo yöntemidir . Bu durumlar sistemin tüm durumlarının temsili bir örneğini oluşturduğu sürece, yaklaşık karakteristik fonksiyon elde edilir. Gittikçe daha fazla rastgele örnek dahil edildiğinden, hatalar keyfi olarak düşük bir seviyeye düşürülür.

Başka

  • Nadirleştirilmiş ideal olmayan gazlar için, küme genişlemesi gibi yaklaşımlar , zayıf etkileşimlerin etkisini dahil etmek için pertürbasyon teorisini kullanır ve bu da viral bir genişlemeye yol açar .
  • Yoğun akışkanlar için başka bir yaklaşık yaklaşım, azaltılmış dağıtım fonksiyonlarına, özellikle radyal dağılım fonksiyonuna dayanmaktadır .
  • Moleküler dinamik bilgisayar simülasyonları, ergodik sistemlerde mikrokanonik topluluk ortalamalarını hesaplamak için kullanılabilir . Stokastik bir ısı banyosuna bir bağlantının dahil edilmesiyle, kurallı ve büyük kurallı koşulları da modelleyebilirler.
  • Denge dışı istatistiksel mekanik sonuçları içeren karma yöntemler (aşağıya bakınız) faydalı olabilir.

Denge dışı istatistiksel mekanik

Birçok fiziksel olay, denge dışı yarı termodinamik süreçleri içerir, örneğin:

Tüm bu süreçler zaman içinde karakteristik oranlarda gerçekleşir. Bu oranlar mühendislikte önemlidir. Denge dışı istatistiksel mekanik alanı, bu denge dışı süreçleri mikroskobik düzeyde anlamakla ilgilenir. (İstatistiksel termodinamik, yalnızca dış dengesizlikler giderildikten ve topluluk tekrar dengeye oturduktan sonra nihai sonucu hesaplamak için kullanılabilir.)

Prensipte, denge dışı istatistiksel mekanik matematiksel olarak kesin olabilir: yalıtılmış bir sistem için topluluklar, Liouville denklemi veya kuantum eşdeğeri von Neumann denklemi gibi deterministik denklemlere göre zaman içinde gelişir . Bu denklemler, mekanik hareket denklemlerinin topluluktaki her duruma bağımsız olarak uygulanmasının sonucudur. Ne yazık ki, bu toplu evrim denklemleri, temeldeki mekanik hareketin karmaşıklığının çoğunu devralır ve bu nedenle kesin çözümler elde etmek çok zordur. Ayrıca, topluluk evrim denklemleri tamamen tersine çevrilebilir ve bilgiyi yok etmez (topluluğun Gibbs entropisi korunur). Tersinir olmayan süreçlerin modellenmesinde ilerleme kaydetmek için olasılık ve tersinir mekaniğin yanı sıra ek faktörleri de dikkate almak gerekir.

Bu nedenle, denge dışı mekanikler, bu ek varsayımların geçerlilik aralığı keşfedilmeye devam ettiği için aktif bir teorik araştırma alanıdır. Aşağıdaki alt bölümlerde birkaç yaklaşım açıklanmıştır.

stokastik yöntemler

Denge dışı istatistiksel mekaniğe bir yaklaşım, stokastik (rastgele) davranışı sisteme dahil etmektir. Stokastik davranış, toplulukta bulunan bilgileri yok eder. Bu teknik olarak doğru olmasa da ( kara delikleri içeren varsayımsal durumların yanı sıra , bir sistem kendi başına bilgi kaybına neden olamaz), ilgilenilen bilginin zaman içinde sistem içinde ince korelasyonlara veya bunlar arasındaki korelasyonlara dönüştürüldüğünü yansıtmak için rastgelelik eklenir. sistem ve çevre. Bu korelasyonlar , ilgilenilen değişkenler üzerinde kaotik veya psödo-rastgele etkiler olarak görünür . Bu korelasyonları uygun rastgelelik ile değiştirerek hesaplamalar çok daha kolay hale getirilebilir.

  • Boltzmann taşıma denklemi : Kinetik teori çalışmalarında, "istatistiksel mekanik" terimi ortaya çıkmadan önce bile, stokastik mekaniğin erken bir biçimi ortaya çıktı. James Clerk Maxwell , moleküler çarpışmaların bir gaz içinde görünüşte kaotik harekete yol açacağını göstermişti. Ludwig Boltzmann daha sonra, bu moleküler kaosu tam bir rastgeleleştirme olarak kabul ederek, bir gazdaki parçacıkların hareketlerinin, bir gazıhızla bir denge durumuna geri döndürecek basit bir Boltzmann taşıma denklemini izleyeceğini gösterdi(bkz. H-teoremi ).

    Boltzmann taşıma denklemi ve ilgili yaklaşımlar, aşırı basitlikleri nedeniyle denge dışı istatistiksel mekanikte önemli araçlardır. Bu yaklaşımlar, "ilginç" bilgilerin hemen (sadece bir çarpışmadan sonra) ince korelasyonlarla karıştırıldığı sistemlerde iyi çalışır, bu da onları esasen nadir gazlarla sınırlar. Boltzmann taşıma denkleminin, elektronların gerçekten de nadir bir gaza benzer olduğu hafif katkılı yarı iletkenlerde ( transistörlerde ) elektron taşınması simülasyonlarında çok faydalı olduğu bulunmuştur .

    Temayla ilgili bir kuantum tekniği, rastgele faz yaklaşımıdır .
  • BBGKY hiyerarşisi : Sıvılarda ve yoğun gazlarda, bir çarpışmadan sonra parçacıklar arasındaki korelasyonları hemen atmak geçerli değildir. BBGKY hiyerarşi (Bogoliubov-Born-Yeşil-Kirkwood-Yvon hiyerarşi) birkaç çarpışmadan sonra korelasyon dahil etmek, seyreltik gaz halinde ötesine uzanan ayrıca Boltzmann tipi denklemlerinin elde edilmesinde ama için bir yöntem sunar.
  • Keldysh formalizmi (diğer adıyla NEGF—denge dışı Yeşil fonksiyonlar): Stokastik dinamikleri dahil etmek için bir kuantum yaklaşımı Keldysh formalizminde bulunur. Bu yaklaşım genellikle elektronik kuantum taşıma hesaplamalarında kullanılır.
  • Stokastik Liouville denklemi .

Dengeye yakın yöntemler

Denge dışı istatistiksel mekanik modellerin bir başka önemli sınıfı, dengeden çok az rahatsız olan sistemlerle ilgilidir. Çok küçük pertürbasyonlarla, tepki lineer tepki teorisinde analiz edilebilir . Dalgalanma-dağılma teoremi tarafından biçimselleştirildiği üzere dikkate değer bir sonuç, bir sistemin dengeye yakın olduğu durumdaki tepkisinin, tam olarak sistem toplam dengedeyken meydana gelen dalgalanmalarla ilişkili olmasıdır. Esasen, dengeden biraz uzakta olan bir sistem -ister dış güçler ister dalgalanmalar olsun- dengeye doğru aynı şekilde gevşer, çünkü sistem farkı söyleyemez veya dengeden nasıl uzaklaştığını "bilemez".

Bu, denge istatistiksel mekaniğinden sonuçlar çıkararak omik iletkenlik ve termal iletkenlik gibi sayıların elde edilmesi için dolaylı bir yol sağlar . Denge istatistiksel mekaniği matematiksel olarak iyi tanımlandığından ve (bazı durumlarda) hesaplamalar için daha uygun olduğundan, dalgalanma-dağılım bağlantısı dengeye yakın istatistiksel mekanikte hesaplamalar için uygun bir kısayol olabilir.

Bu bağlantıyı kurmak için kullanılan teorik araçlardan birkaçı şunları içerir:

Hibrit yöntemler

Gelişmiş bir yaklaşım, stokastik yöntemler ve doğrusal tepki teorisinin bir kombinasyonunu kullanır. Örnek olarak, bir elektronik sistemin iletkenliğindeki kuantum tutarlılık etkilerini ( zayıf lokalizasyon , iletkenlik dalgalanmaları ) hesaplamak için bir yaklaşım, çeşitli elektronlar arasındaki etkileşimlerle stokastik defazenin dahil edilmesiyle, Green-Kubo ilişkilerinin kullanılmasıdır. Keldysh yöntemi.

Termodinamik dışındaki uygulamalar

Topluluk biçimciliği, bir sistemin durumu hakkında bilgide belirsizlik olan genel mekanik sistemleri analiz etmek için de kullanılabilir. Topluluklar ayrıca şu alanlarda da kullanılır:

Tarih

1738'de İsviçreli fizikçi ve matematikçi Daniel Bernoulli , gazların kinetik teorisinin temelini oluşturan Hydrodynamica'yı yayınladı . Bernoulli bu çalışmasında, gazların her yöne hareket eden çok sayıda molekülden oluştuğu, bir yüzey üzerindeki etkilerinin hissettiğimiz gaz basıncına neden olduğu ve ısı olarak deneyimlediğimiz şeyin sadece hareketlerinin kinetik enerjisi.

1859'da, Rudolf Clausius tarafından moleküllerin difüzyonu üzerine bir makaleyi okuduktan sonra , İskoç fizikçi James Clerk Maxwell , belirli bir aralıkta belirli bir hıza sahip moleküllerin oranını veren Maxwell moleküler hız dağılımını formüle etti . Bu fizikteki ilk istatistik yasasıydı. Maxwell ayrıca moleküler çarpışmaların sıcaklıkların eşitlenmesini ve dolayısıyla dengeye doğru bir eğilimi gerektirdiğine dair ilk mekanik argümanı verdi. Beş yıl sonra, 1864'te Viyana'da genç bir öğrenci olan Ludwig Boltzmann , Maxwell'in makalesine rastladı ve hayatının çoğunu konuyu daha da geliştirmekle geçirdi.

İstatistiksel mekanik 1870'lerde Boltzmann'ın çalışmalarıyla başlatıldı ve bunların çoğu toplu olarak 1896 Lectures on Gas Theory adlı kitabında yayınlandı . Boltzmann'ın termodinamiğin istatistiksel yorumu, H-teoremi , taşınım teorisi , termal denge , gazların hal denklemi ve benzer konulardaki orijinal makaleleri , Viyana Akademisi ve diğer toplumların kitaplarında yaklaşık 2.000 sayfa kaplar. Boltzmann bir denge istatistiksel topluluğu kavramını tanıttı ve ayrıca ilk kez H- teoremi ile denge dışı istatistiksel mekaniği araştırdı .

"İstatistiksel mekanik" terimi , 1884'te Amerikalı matematiksel fizikçi J. Willard Gibbs tarafından icat edildi . "Olasılık mekanik" bugün daha uygun bir terim gibi görünebilir, ancak "istatistiksel mekanik" sağlam bir şekilde yerleşmiştir. Ölümünden kısa bir süre önce, Gibbs , istatistiksel mekaniği, tüm mekanik sistemleri (makroskopik veya mikroskobik, gazlı veya gazsız) ele almak için tamamen genel bir yaklaşım olarak resmileştiren bir kitap olan 1902 İstatistiksel Mekanikte Temel İlkeler'de yayınladı . Gibbs'in yöntemleri başlangıçta klasik mekanik çerçevesinde türetildi , ancak o kadar geneldi ki, daha sonraki kuantum mekaniğine kolayca adapte oldukları ve bu güne kadar istatistiksel mekaniğin temelini oluşturdukları bulundu.

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

Dış bağlantılar