Bispinor - Bispinor

Olarak fizik ve spesifik olarak kuantum alan teorisi , bir bispinor , bazı açıklamak için kullanılan matematiksel bir yapı olan temel parçacıkların bir niteliği de dahil olmak üzere, kuark ve elektronlar . Özel göreliliğin gereklilikleriyle tutarlı olacak şekilde özel olarak yapılmış bir spinorun özel bir düzenlemesidir . Bispinorlar , Minkowski uzay-zamanının simetrilerini tanımlayan Lorentz grubunun etkisi altında belirli bir "spinorial" biçimde dönüşürler . Dirac denkleminin göreli spin-½ dalga fonksiyonu çözümlerinde ortaya çıkarlar .

Bispinörler, iki basit bileşenli spinörden, Weyl spinor'dan yapıldıkları için bu adla anılırlar . İki bileşenli spinorun her biri , Lorentz grubunun iki farklı kompleks-eşlenik spin-1/2 temsili altında farklı şekilde dönüşür . Bu eşleştirme, temsil edilen parçacığın bir kütleye sahip olmasına , bir yük taşımasına ve yük akışını bir akım olarak temsil etmesine ve belki de en önemlisi açısal momentum taşımasına izin verdiği için temel öneme sahiptir . Daha kesin olarak, kütle Lorentz grubunun bir Casimir değişmezidir (enerjinin bir öz durumu), vektör kombinasyonu ise momentum ve akımı taşır , Lorentz grubunun etkisi altında kovaryanttır . Açısal momentum, spin alanı için uygun şekilde oluşturulmuş Poynting vektörü tarafından taşınır .

Bir bispinor, bir Dirac spinor ile aşağı yukarı "aynı şeydir" . Burada kullanılan kural, Dirac spinor hakkındaki makalenin , gama matrisleri için Dirac kuralını kullanarak Dirac denklemine düzlem-dalga çözümleri sunmasıdır . Yani Dirac spinoru, Dirac konvansiyonunda bir bispinordur. Buna karşılık, aşağıdaki makale öncelikle Weyl veya kiral temsile odaklanır, Dirac denklemine daha az odaklanır ve Lorentz grubunun geometrisi de dahil olmak üzere geometrik yapıya daha fazla odaklanır . Bu nedenle, aşağıda söylenenlerin çoğu Majorana denklemine uygulanabilir .

Tanım

Bispinorlar , Lorentz grubunun 4 boyutlu karmaşık vektör uzayı (½,0)⊕(0,½) temsilinin elemanlarıdır .

In Weyl bazında , bir bispinor

${\displaystyle \psi =\left({\başlangıç{dizi}{c}\psi _{\rm {L}}\\\psi _{\rm {R}}\end{dizi}}\sağ)}$

iki (iki bileşenli) Weyl spinorundan oluşur ve buna karşılık olarak grubun ( ½, 0) ve (0, ½) temsilleri altında dönüşüm yapar ( parite dönüşümleri olmayan Lorentz grubu ). Parite dönüşümü altında Weyl spinörleri birbirine dönüşür. ${\displaystyle \psi _{\rm {L}}}$${\displaystyle \psi _{\rm {R}}}$${\displaystyle \mathbf {SO} (1,3)}$

İçin Weyl ile bispinor yekpare bir dönüştürme ile bağlanır bispinor Dirac Dirac olarak ,

${\displaystyle \psi \rightarrow {1 \over {\sqrt {2}}}\left[{\begin{array}{cc}1&1\\-1&1\end{dizi}}\right]\psi ={1 \over {\sqrt {2}}}\left({\begin{array}{c}\psi _{\rm {R}}+\psi _{\rm {L}}\\\psi _{\ rm {R}}-\psi _{\rm {L}}\end{dizi}}\sağ).}$

Dirac temeli literatürde en yaygın kullanılanıdır.

Bispinorların Lorentz dönüşümleri için ifadeler

Bispinor alanı kurala göre dönüşür ${\görüntüleme stili \psi (x)}$

${\displaystyle \psi ^{a}(x)\to {\psi ^{\prime }}^{a}\left(x^{\prime }\right)=S[\Lambda ]_{b}^ {a}\psi ^{b}\left(\Lambda ^{-1}x^{\prime }\sağ)=S[\Lambda ]_{b}^{a}\psi ^{b}(x )}$

burada a, Lorentz dönüşümü . Burada fiziksel noktaların koordinatları 'ye göre dönüştürülür , oysa bir matris, Lorentz grubunun spinor gösteriminin (spin 1/2 için ) bir öğesidir . ${\ Displaystyle \ Lambda }$${\displaystyle x^{\prime }=\Lambda x}$${\görüntüleme stili S}$

Weyl bazında, bir destek ve bir döndürme için açık dönüşüm matrisleri aşağıdaki gibidir: ${\displaystyle \Lambda _{\rm {boost}}}$${\displaystyle \Lambda _{\rm {rot}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S[\Lambda _{\rm {boost}}]&=\left({\begin{array}{cc}e^{+\chi \cdot \sigma /2}&0 \\0&e^{-\chi \cdot \sigma /2}\end{dizi}}\sağ)\\S[\Lambda _{\rm {rot}}]&=\left({\başlangıç{dizi} {cc}e^{+i\phi \cdot \sigma /2}&0\\0&e^{+i\phi \cdot \sigma /2}\end{dizi}}\sağ)\end{hizalanmış}}}$

İşte boost parametresi ve eksen etrafındaki dönüşü temsil eder . Hangi Pauli matrisleri . Üstel, üstel haritadır , bu durumda matris üstel fonksiyon için olağan güç serisine yerleştirilerek tanımlanan matris üsteldir . ${\görüntüleme stili \chi }$${\görüntüleme stili\phi ^{i}}$${\görüntüleme stili x^{i}}$${\görüntüleme stili \sigma _{i}}$

Özellikler

Bir iki-doğrusal bir şekilde bispinors arasında (Lorentz grubu altında) nesneler, beş indirgenemez indirgenebilir:

1. skaler ,  ;${\ Displaystyle {\bar {\psi }}\psi }$
2. sözde skaler ,  ;${\displaystyle {\bar {\psi }}\gamma ^{5}\psi }$
3. vektör ,  ;${\displaystyle {\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }$
4. sözde vektör ,  ;${\displaystyle {\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}\psi }$
5. antisimetrik tensör , ,${\displaystyle {\bar {\psi }}\sol(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\sağ)\psi }$

Nerede ve Hangi gama matrisleri . Bu beş miktar, Fierz kimlikleriyle birbiriyle ilişkilidir . Değerleri , bispinorun sadece bir olduğu farklı tipteki spinorların Lounesto spinor alan sınıflandırmasında kullanılır ; diğerleri bayrak direğidir (bunun Majorana spinor'u özel bir durumdur), flag-dipole ve Weyl spinor'dur . Bayrak direği, bayrak-dipolü ve Weyl spinörlerinin tümü boş kütleye ve psödoskalar alanlara sahiptir; bayrak direği ayrıca boş bir yalancı vektör alanına sahiptir, oysa Weyl spinörleri boş bir antisimetrik tensöre (sıfır "açısal momentum alanı") sahiptir. ${\displaystyle {\bar {\psi }}\equiv \psi ^{\hançer }\gamma ^{0}}$${\displaystyle \sol\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{5}\sağ\}}$

Göreceli spin-½ alanı için uygun bir Lagrange bunlardan oluşturulabilir ve şu şekilde verilir:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={i \over 2}\left({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -\partial _{\ mu }{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \sağ)-m{\bar {\psi }}\psi \;.}$

Dirac denklemi kullanarak bu Lagrange'ına türetilebilir Euler-Lagrange denklemi .

Bir bispinor temsilinin türetilmesi

Tanıtım

Bu taslak, bir tür bispinoru Lorentz grubunun (½,0) ⊕ (0,½) temsilinin belirli bir temsil uzayının elemanları olarak tanımlar . Bu temsil uzayı, Spinors makalesinde açıklandığı gibi Minkowski uzay-zamanı üzerinde Clifford cebirinde yer alan (½,0) ⊕ (0,½) temsil uzayıyla ilişkilidir, ancak onunla aynı değildir . Lorentz grubunun Temsil teorisinde olduğu gibi dil ve terminoloji kullanılmaktadır . Clifford cebirlerinin sunum için gerekli olan tek özelliği, aşağıda D1'de verilen tanımlayıcı özelliktir . so (3;1)' in temel elemanları M ^μν olarak etiketlenir .

Yalan cebir bir temsili böylece (1; 3), Lorentz grubunun O (3: 1) uzay-zaman, kompleks Clifford cebir (bir vektör alanı olarak) esas olarak seçilecektir matrisler arasında ortaya çıkar. Bu 4×4 matrisler daha sonra üstelleştirilir ve SO (3;1) ⁺ temsili elde edilir . Bu temsil, bir ( 1/2,0) ⊕ (0,1/2) temsili, basitçe C ⁴ olarak alınacak ve elemanları bispinor olacak olan keyfi bir 4 boyutlu karmaşık vektör uzayı üzerinde hareket edecektir.

Referans olarak, so (3;1)' in komütasyon ilişkileri şöyledir:

${\displaystyle \sol[M^{\mu \nu },M^{\rho \sigma }\sağ]=i\left(\eta ^{\sigma \mu }M^{\rho \nu }+\ eta ^{\nu \sigma }M^{\mu \rho }-\eta ^{\rho \mu }M^{\sigma \nu }-\eta ^{\nu \rho }M^{\mu \ sigma }\sağ)}$

( M1 )

uzay-zaman metriği ile η = diag(−1,1,1,1) .

gama matrisleri

Let y ^u dört 4 boyutlu gama matrislerinin anlamında olabildikleri bir dizi burada adlandırılan Dirac matrisleri . Dirac matrisleri tatmin edicidir

${\displaystyle \sol\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\sağ\}=2\eta ^{\mu \nu }I_{4},}$

( D1 )

burada }, { olan anticommutator , I ₄ a, 4 x 4 birim matris ve r | ^μν imza (-, -, - +) metrik uzay-zaman olduğu. Bu, bir Clifford cebirinin üretici kümesi için tanımlayıcı koşuldur . Clifford cebirinin diğer temel elemanları σ ^μν şu şekilde verilir:

${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }=-{\frac {i}{4}}\sol[\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }\ gama ^{\mu }\sağ].}$

( C1 )

σ ^μν matrislerinden sadece altı tanesi lineer olarak bağımsızdır. σ ^μν = − σ ^νμ olduğundan, bu doğrudan tanımlarından ^{kaynaklanmaktadır} . Bunlar alt uzay hareket V _{, y} , y ^u , açıklık pasif anlamda göre,

${\displaystyle \sol[\sigma ^{\mu \nu },\gamma ^{\rho }\sağ]=-i\gamma ^{\mu }\eta ^{\nu \rho }+i\gamma ^ {\nu }\eta ^{\mu \rho }.}$

( C2 )

Olarak (C2) , ikinci eşitlik özelliği aşağıdaki (D1), Clifford cebir.

so(3;1)'in C ℓ ₄ (C)'de Lie cebiri gömme

Şimdi bir işlem tanımlar , böylece (3: 1) ile σ ^μν ve doğrusal alt uzay V _σ ⊂ Cı ℓ ₄ ( C ) de içinde yayılan Cı ℓ ₄ ( C ) ≈ M ^n- _Cı- , verilen

${\displaystyle \pi \sol(M^{\mu \nu }\sağ)\sol(\sigma ^{\rho \sigma }\sağ)=\sol[\sigma ^{\mu \nu },\sigma ^{\rho \sigma }\sağ]=i\left(\eta ^{\sigma \mu }\sigma ^{\rho \nu }+\eta ^{\sigma \nu }\sigma ^{\rho \ mu }-\eta ^{\mu \rho }\sigma ^{\nu \sigma }-\eta ^{\nu \rho }\sigma ^{\mu \sigma }\sağ),}$.

( C4 )

En son eşitlik (C4) izler, (C2) ve özellik (D1), gama matrislerinin, Şekil olduğu σ ^μν bir temsilini oluşturmaktadır , böylece , (3: 1) yana değiştirme ilişkisi içinde (C4) tam olarak öyle olanlar (3;1) . Aksiyonu tt (M ^μν ) ya altı boyutlu matrisler gibi düşünülebilir Σ ^μν baz vektörler çarpılması σ ^μν uzay beri M _n ( C ) tarafından gerilen σ ^μν altı boyutlu ya da düşünülebilir olan σ ^ρσ üzerinde komütasyon ile eylem olarak . Aşağıda, π(M ^μν ) = σ ^μν

, Y ^u ve σ ^μν temeli elemanlarının her ikisi de (ayrık) alt kümeleridir Cı ℓ ₄ ( Cı dört boyutlu Dirac matrisleri ile oluşturulur), , y ^u dört uzay-zaman boyutta. so (3;1)' in Lie cebri böylece C ℓ ₄ ( C ) içine π tarafından σ ^μν tarafından yayılan C ℓ ₄ ( C )' nin gerçek alt uzayı olarak ^gömülür . Clifford cebirinin γ ^μ ve σ ^μν dışındaki kalan temel öğelerinin tam açıklaması için lütfen Dirac cebiri makalesine bakın .

Bispinörler tanıtıldı

Şimdi herhangi bir 4 boyutlu karmaşık vektör uzayını U tanıtın, burada γ ^μ matris çarpımı ile etki eder. Burada U = C ^{4 iyi iş} görecektir. Let Λ = E ^{co _μν M μν} bir Lorentz dönüşümü olabilir ve tanımlamak Lorentz grubunun işlem u olmak

${\displaystyle u\rightarrow S(\Lambda )u=e^{i\pi (\omega _{\mu\nu }M^{\mu\nu })}u;\quad u^{\alpha }\ sağ ok [e^{\omega _{\mu \nu }\sigma ^{\mu \nu }}]^{\alpha }{}_{\beta }u^{\beta }.}$

Yana σ ^μν göre (C4) bir temsilini oluşturmaktadır , böylece , (3: 1) , indüklenen ilk

${\displaystyle S:SO(3;1)^{+}\rightarrow \mathrm {GL} (U);\quad \Lambda \rightarrow e^{i\pi (X)};\dört e^{iX} =\Lambda ,\quad X=\omega _{\mu \nu }M^{\mu \nu }\in {\mathfrak {so}}(3;1)}$

( C5 )

genel teoriye göre , SO(3;1) ^{+ '} nın bir temsili veya yansıtmalı bir temsilidir . Projektif bir temsil olduğu ortaya çıkacaktır. Elemanları U tarafından belirli bir dönüştürme kuralına sahip olduğunda, S , olarak adlandırılır bispinors ya da sadece spinörleri .

Dirac matrislerinin seçimi

Spin temsilini S elde etmek için bir dizi Dirac matrisi γ ^μ seçmek kalır . Böyle bir seçim için uygun ultrarelativistic sınırı vardır

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ^{0}&=-i{\biggl (}{\begin{matrix}0&I\\I&0\\\end{matrix}}{\biggr )},\\ \gamma ^{i}&=-i{\biggl (}{\begin{matrix}0&\sigma _{i}\\-\sigma _{i}&0\\\end{matrix}}{\biggr ) },\quad i=1,2,3\\\end{hizalı}}.}$

( E1 )

nerede σ _i olan Pauli matrisleri . Clifford cebir üreteçlerinin bu temsilinde, σ ^μν olur

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{i0}&={\frac {i}{2}}{\biggl (}{\begin{matrix}\sigma _{i}&0\\0&-\ sigma _{i}\\\end{matrix}}{\biggr )},\\\sigma ^{ij}&={\frac {1}{2}}\epsilon _{ijk}{\biggl (} {\begin{matrix}\sigma _{k}&0\\0&\sigma _{k}\\\end{matrix}}{\biggr )}\\\end{hizalı}}.}$

( E23 )

Matrislerin tümü blok köşegen olduğundan, bu temsil açıkça indirgenemez değildir . Fakat Pauli matrislerinin indirgenemezliği ile temsil daha fazla indirgenemez. 4 boyutlu olduğu için tek olasılık (1/2,0)⊕(0,1/2) temsili, yani bir bispinor temsili. Şimdi, SO(3;1) ^{+ 'nın} bir temsilini elde etmek için Lie cebiri temsilinin üs alma tarifini kullanarak ,

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}S\sol(\Lambda _{B}\sağ)&=e^{i\pi (\chi \cdot \mathbf {K} )}={\biggl (}{\ start{matrix}e^{-{\frac {1}{2}}\chi \cdot \sigma }&0\\0&e^{{\frac {1}{2}}\chi \cdot \sigma }\\ \end{matrix}}{\biggr )},\\S\left(\Lambda _{R}\right)&=e^{i\pi (\phi \cdot \mathbf {J} )}={\ biggl (}{\begin{matrix}e^{{\frac {i}{2}}\phi \cdot \sigma }&0\\0&e^{{\frac {i}{2}}\phi \cdot \ sigma }\\\end{matrix}}{\biggr )}\\\end{hizalı}},}$

( E3 )

projektif 2 değerli bir temsil elde edilir. Burada φ , 0 ≤ φ ^ben ≤ 2π olan bir döndürme parametreleri vektörüdür ve χ , bir boost parametreleri vektörüdür . Burada kullanılan konvansiyonlar ile biri yazabilir

${\displaystyle \psi ={\başlangıç{pmatrix}\psi _{R}\\\psi _{L}\end{pmatrix}},}$

( E4 )

bispinor alanı için. Burada, üst bileşen bir sağ Weyl spinor'a karşılık gelir . Bu biçimciliğe uzay paritesinin ters çevrilmesini dahil etmek için , bir

${\displaystyle \beta =i\gamma ^{0}={\biggl (}{\begin{matrix}0&I\\I&0\\\end{matrix}}{\biggr )},}$

( E5 )

P = diag(1,−1,−1,−1) için temsilci olarak . Uzay parite inversiyonu dahil edildiğinde temsilin indirgenemez olduğu görülmektedir.

Bir örnek

Let X = 2 πM ¹² böylece X çevresinde bir dönüş oluşturan z lik bir açı ile -Axis 2 tt . O zaman Λ = e ^iX = I ∈ SO(3;1) ⁺ ama e ^{iπ ( X )} = − I ∈ GL( U ) . Burada I , kimlik öğesini ifade etmektedir. Eğer X, = 0 , bunun yerine daha sonra yine seçilir Λ = E ^iX = I ∈ SO (3: 1) ⁺ , ama şimdi E ^{iπ ( x )} = I ∈ GL ( U ) .

Bu, bir spin temsilinin çift değerli doğasını gösterir. SO(3;1) ⁺ içindeki özdeşlik, onu temsil edecek Lie cebir elemanının seçimine bağlı olarak − I ∈ GL( U ) veya I ∈ GL( U ) ile eşlenir . Birinci durumda, bir açısı bir dönme speküle edilebilir 2n eksi kendisine bir bispinor dönecek ve bir gerektirir 4 π kendisine bir bispinor geri döndürmek için dönme. Gerçekte olan şey, SO(3;1) ⁺ içindeki kimliğin talihsiz bir X seçimiyle GL( U ) içindeki − I ile eşlenmesidir .

Tüm g ∈ SO(3;1) ⁺ için X'i sürekli olarak seçmek imkansızdır, böylece S sürekli bir temsil olur. Bir tanımladığını varsayalım S , bir döngü boyunca (3; 1) bu şekilde, X'in ( t ) = 2 πtM ¹² , 0 ≤ t ≤ 1 . Bu, SO(3;1) içindeki kapalı bir döngüdür , yani üstel eşleme altında z ekseni etrafında 0 ile 2 π arasında değişen dönüşler , ancak GL( U )' da sadece "yarım"" bir döngüdür ve − ile biter I. Ayrıca, I ∈ SO(3;1) değeri belirsizdir, çünkü t = 0 ve t = 2 π , I ∈ SO(3;1) için farklı değerler verir .

Dirac cebiri

Temsil S bispinors bir temsilini neden olacaktır (1; 3) SO ⁺ ile sonu ( U ) , lineer operatörlerin dizi U . Bu uzay, Clifford cebirinin kendisine tekabül eder, böylece U üzerindeki tüm lineer operatörler ikincisinin elemanlarıdır. Bu temsil ve indirgenemez SO(3;1) ⁺ temsillerinin doğrudan toplamı olarak nasıl ayrıştığı , Dirac cebiri ile ilgili makalede açıklanmıştır . Sonuçlardan biri, çift doğrusal formların U × U üzerinde ayrıştırılmasıdır . Bu ayrıştırma, Lorentz skalerlerini elde etmek için herhangi bir bispinor alanının bir Lagrange'daki diğer alanlarla nasıl eşleştirileceğini gösterir .

Bispinörler ve Dirac cebiri

Dirac matrisleri dört adet 4 x 4 kümesidir matrisler oluşturan Dirac cebir ve iç içe için kullanılan eğirme ile yön yerel referans çerçevesi (yerel uzay-zaman çerçevesi koordinat), hem de tanımlamak için ücret ( Cı-simetrisi ) , parite ve zaman ters çevirme operatörleri .

Sözleşmeler

Fizik literatüründe yaygın olarak kullanılan birkaç imza ve temsil seçeneği vardır . Dirac matrisleri tipik olarak 0'dan 3'e kadar olduğu gibi yazılır . Bu gösterimde 0, zamana ve 1'den 3'e kadar x, y ve z'ye karşılık gelir. ${\displaystyle \scriptstyle \gama ^{\mu }}$${\displaystyle \scriptstyle \mu }$

+ − − − işareti bazen batı sahili metriği olarak adlandırılırken − + + + doğu sahili metriğidir. Şu anda + − − − imzası daha yaygın olarak kullanılmaktadır ve örneğimizde bu imza kullanılacaktır. Bir örnekten diğerine geçmek için hepsini ile çarpın . ${\displaystyle \scriptstyle \gama ^{\mu }}$${\görüntüleme stili \komut dosyası stili ben}$

İmzayı seçtikten sonra, 4×4 matrislerde bir temsil oluşturmanın birçok yolu vardır ve çoğu ortak kullanımdadır. Bu örneği olabildiğince genel hale getirmek için son adıma kadar bir temsil belirtmeyeceğiz. O zaman "kiral" veya Weyl temsilini değiştireceğiz .

Belirli bir dönüş yönü ve şarjı ile Dirac spinorunun yapımı

İlk önce elektronumuz veya pozitronumuz için bir dönüş yönü seçiyoruz . Yukarıda tartışılan Pauli cebiri örneğinde olduğu gibi, dönüş yönü 3 boyutta (a, b, c) bir birim vektör tarafından tanımlanır . Peskin & Schroeder'in kuralına göre, (a, b, c) yönündeki döndürme için döndürme operatörü, (a, b, c)'nin vektör ile nokta çarpımı olarak tanımlanır.

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(i\gamma ^{2}\gamma ^{3},\;\;i\gamma ^{3}\gamma ^{1},\;\;i\ gamma ^{1}\gamma ^{2}\right)&=-\left(\gamma ^{1},\;\gamma ^{2},\;\gamma ^{3}\right)i\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\\\sigma _{(a,b,c)}&=ia\gamma ^{2}\gamma ^{3}+ib\gamma ^ {3}\gamma ^{1}+ic\gamma ^{1}\gamma ^{2}\end{hizalı}}}$

Not Yukarıdaki bu olduğunu birlik kökü bir yapabilirsiniz, bu kareler Sonuç 1'e vardır, projeksiyon operatörü , (a, b yönlendirilmiş spinlidir Dirac cebir alt cebir out proje olduğunu ondan c) yön:

${\displaystyle P_{(a,b,c)}={\frac {1}{2}}\left(1+\sigma _{(a,b,c)}\sağ)}$

Şimdi bir yük, +1 (pozitron) veya -1 (elektron) seçmeliyiz. Peskin & Schroeder'in konvansiyonlarını takiben, şarj operatörü 'dir , yani elektron durumları bu operatöre göre -1 özdeğeri alırken pozitron durumları +1 özdeğeri alacaktır. ${\displaystyle \scriptstyle Q\,=\,-\gamma ^{0}}$

Bunun da birliğin karekökü olduğuna dikkat edin. Ayrıca, ile gidip gelir . Dirac cebiri için tam bir değişme operatörleri seti oluştururlar . Örneğimize devam ederek, (a, b, c) yönünde spinli bir elektronun temsilini arıyoruz. Torna = şarj için bir çıkıntı operatör içine -1, elimizdeki ${\displaystyle \scriptstyle Q}$${\displaystyle \scriptstyle Q}$${\displaystyle \scriptstyle \sigma _{(a,b,c)}}$${\displaystyle \scriptstyle Q}$

${\displaystyle P_{-Q}={\frac {1}{2}}\left(1-Q\right)={\frac {1}{2}}\left(1+\gamma ^{0} \sağ)}$

Bu nedenle, aradığımız spinor için izdüşüm operatörü, bulduğumuz iki izdüşüm operatörünün çarpımıdır:

${\displaystyle P_{(a,b,c)}\;P_{-Q}}$

Yukarıdaki izdüşüm operatörü, herhangi bir spinöre uygulandığında, spinörün aradığımız elektron durumuna karşılık gelen kısmını verecektir. Böylece, bileşenlerinden birinde 1 ve diğerlerinde 0 değerine sahip bir spinor'a uygulayabiliriz, bu da matrisin bir sütununu verir. Örneğe devam ederek, (a, b, c) = (0, 0, 1) koyduk ve

${\displaystyle P_{(0,0,1)}={\frac {1}{2}}\left(1+i\gamma _{1}\gamma _{2}\right)}$

ve böylece istediğimiz projeksiyon operatörümüz

${\displaystyle P={\frac {1}{2}}\left(1+i\gamma ^{1}\gamma ^{2}\right)\cdot {\frac {1}{2}}\left (1+\gamma ^{0}\sağ)={\frac {1}{4}}\left(1+\gamma ^{0}+i\gamma ^{1}\gamma ^{2}+i \gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\sağ)}$

Weyl gösteriminde kullanılan 4×4 gama matrisleri şunlardır:

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\gamma _{0}&={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\\\gamma _{k}&={\başlangıç{bmatrix}0& \sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{bmatrix}}\end{hizalı}}}$

k = 1, 2, 3 için ve normal 2×2 Pauli matrisleri nerede ? Bunları P yerine koymak ${\görüntüleme stili \sigma ^{i}}$

${\displaystyle P={\frac {1}{4}}{\begin{bmatrix}1+\sigma ^{3}&1+\sigma ^{3}\\1+\sigma ^{3}&1+\sigma ^ {3}\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&0&1&0\\0&0&0\\1&0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$

Cevabımız, yukarıdaki matrisin sıfır olmayan herhangi bir sütunudur. İkiye bölme sadece bir normalleştirmedir. Birinci ve üçüncü sütunlar aynı sonucu verir:

${\displaystyle \left|e^{-},\,+{\frac {1}{2}}\right\rangle ={\begin{bmatrix}1\\0\\1\\0\end{bmatrix }}}$

Daha genel olarak, spini (a, b, c) yönünde yönlendirilmiş elektronlar ve pozitronlar için izdüşüm operatörü

${\displaystyle {\frac {1}{4}}{\begin{bmatrix}1+c&a-ib&\pm (1+c)&\pm (a-ib)\\a+ib&1-c&\pm (a +ib)&\pm (1-c)\\\pm (1+c)&\pm (a-ib)&1+c&a-ib\\\pm (a+ib)&\pm (1-c) &a+ib&1-c\end{bmatris}}}$

burada üst işaretler elektron için ve alt işaretler pozitron içindir. Karşılık gelen spinor, sıfır olmayan herhangi bir sütun olarak alınabilir. Yana farklı sütunlar aynı spinor katlarıdır. Elde edilen spinorun Dirac bazında temsili bispinor maddesinde verilen kural kullanılarak elde edilebilir. ${\displaystyle \scriptstyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\,=\,1}$

Ayrıca bakınız

• Dirac spinör
• Spin (3,1) , çift kapak arasında (3,1) SO bir yan eğirme grubu
• Rarita-Schwinger denklemi

Notlar

Referanslar

• Caban, Pawel; Rembieliński, Jakub (5 Temmuz 2005). "Lorentz kovaryant azaltılmış dönüş yoğunluğu matrisi ve Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm korelasyonları". Fiziksel İnceleme A . 72 (1): 012103. arXiv : quant-ph/0507056v1 . Bibcode : 2005PhRvA..72a2103C . doi : 10.1103/physreva.72.012103 . S2CID  119105796 .
• Weinberg, S (2002), Alanların Kuantum Teorisi, cilt I , ISBN 0-521-5001-7.