Birliğin kökü - Root of unity

Karmaşık düzlemde birliğin 5. kökleri (mavi noktalar)

Gelen matematik bir birlik kökü , ara sıra olarak adlandırılan Moivre de sayısı, herhangi biridir karmaşık sayı verimleri 1 olduğu büyüdü bir pozitif tam sayı gücüne n . Birliğin kökleri matematiğin birçok dalında kullanılır ve özellikle sayı teorisi , grup karakterleri teorisi ve ayrık Fourier dönüşümünde önemlidir .

Birliğin kökleri herhangi bir alanda tanımlanabilir . Eğer karakteristik alanının sıfır, kökler da kompleks sayılardır cebirsel tamsayı . Pozitif özelliğe sahip alanlar için, kökler sonlu bir alana aittir ve tersine, sonlu bir alanın sıfır olmayan her öğesi bir birliğin köküdür. Herhangi bir cebirsel olarak kapalı alan tam olarak içeren , n , n zaman birlik inci kökleri hariç n- alanın (pozitif) bir katı olan karakteristik.

Genel tanım

Genel bir karmaşık sayının 2. ila 6. kökünün kutupsal biçimde geometrik gösterimi.  Birliğin n'inci kökü için, r  = 1 ve φ = 0 olarak ayarlayın. Asıl kök siyahtır.

Bir n- birlik inci kök , n pozitif bir tamsayıdır, bir sayıdır z tatmin denklem

Aksi belirtilmediği sürece, birlik kökleri olarak kabul edilebilir karmaşık sayılar (sayı 1 de dahil olmak üzere, ve sayı -1 eğer , n , ve bu durumda, bir sıfır sanal kısmı ile kompleks olan, hatta bir) n inci kökleri birlik

Bununla birlikte, birliğin köklerinin tanımlayıcı denklemi, herhangi bir alan (ve hatta herhangi bir halka üzerinde ) F anlamlıdır ve bu, F'deki birliğin köklerinin dikkate alınmasına izin verir . Hangi alandır F , birlik kökleri F ise, ya kompleks sayılardır karakteristik arasında F bir aittir, aksi halde, 0 veya sonlu alan . Tersine, sonlu bir alandaki sıfır olmayan her öğe, o alandaki birliğin köküdür. Daha fazla ayrıntı için Unity modulo n'nin Kökü ve Sonlu alan bölümüne bakın .

Birliğin n. kökünün olduğu söylenir İlkel bir değilsembazı küçük birlik kökü incimise olup,

Eğer n, a, asal sayı , her n 1 dışında birlik kökleri inci, ilkel.

Üstel ve trigonometrik fonksiyonlar bakımından, yukarıdaki formülde, ilkel n birlik inci kökleri olan olanlardır k ve n olarak aralarında asal .

Bu makalenin sonraki bölümleri, birliğin karmaşık köklerine uyacaktır. Sıfırdan farklı karakteristiğe sahip alanlarda birliğin köklerinin durumu için, bkz. Sonlu alan § Birliğin kökleri . Modüler tamsayıların halkalarındaki birliğin kökleri için , bkz . Birlik modulo n'nin kökü .

Temel özellikler

Her n, birlik th kök z , ilkel bir inci bir birlik kök aN olduğu en küçük pozitif tam sayı şekildedir, Z bir = 1 .

Bir herhangi bir tam sayı gücü n birlik inci kökü de olduğu N olarak, birlik inci kök

Bu aynı zamanda negatif üsler için de geçerlidir. Özel olarak, bir karşılıklı n birlik inci kök olan bir kompleks eşleniği , ve aynı zamanda bir olduğu , n birlik inci kök:

Eğer Z bir bir N inci birlik kökü ve birb (mod N ) daha sonra Z bir = z b . Aslında, kongrüansın tanımına göre , bazı k tam sayıları için a = b + kn , ve

Bu nedenle, güç verilen Z bir bir z , bir yer alır z bir = z r burada, 0 ≤ r < n kalan kısmı olan Öklid bölümü arasında bir ile n .

Let z ilkel olduğu N birlik inci kökü. Daha sonra güç z , z 2 , ...,  z , n -1 , z , n = z 0 = 1 olan n- birlik inci kökü ve her farklıdır. (Eğer z bir = z b burada 1 ≤ a < bn , o zaman z B - bir = 1 olduğunu ifade eder, z . İlkel olmaz) Bu ifade eder z , z 2 , ...,  z , n - 1 , z , n = z 0 = 1 tümü , n , bir yana, birlik kökleri inci n inci dereceden polinom en sahip n belirgin çözümler.

Yukarıdaki itibaren, eğer, bu aşağıdaki z , ilkel n sonra, birlik inci kök ancak ve ancak Eğer z sonra ilkel değil eder ancak aşağıdaki örnek ile gösterildiği gibi, tersi, yanlış olabilir. Eğer , n = 4 , bir temel olmayan N birlik inci köküdür z = -1 , ve bir sahiptir , ancak

Let z ilkel olduğu N birlik inci kökü. Bir güç W = Z k ve z , ilkel bir birlik inci kökü için

nerede olduğunu büyük ortak böleni ait n ve k . Bu, ka'nın aynı zamanda n'nin bir katı olan k'nin en küçük katı olduğu gerçeğinden kaynaklanır . Başka bir deyişle, ka olduğu en sık birden ait k ve n . Böylece

Böylece, k ve n, olan göreceli asal , z k ilkel da N birlik inci kök ve dolayısıyla orada φ ( n ) (burada φ olan totient ) ilkel belirgin n birlik inci kökleri. (Bu, n bir asal sayıysa, +1 dışındaki tüm köklerin ilkel olduğu anlamına gelir .)

Diğer bir deyişle, R '( n ) her bir kümesi , n birlik ve inci kökleri , P ( n ) ilk olanlar, setidir R ( n ) bir olduğu ayrık birliği içinde P ( N ) :

burada gösterim, d' nin 1 ve n dahil olmak üzere n'nin tüm bölenlerinden geçtiği anlamına gelir .

R( n )' nin kardinalitesi n ve P( n ) ' nin kardinalitesi φ ( n ) olduğundan , bu klasik formülü gösterir.

Grup özellikleri

Birliğin tüm köklerinin grubu

İki birlik kökünün çarpımı ve çarpımsal tersi de birliğin kökleridir. Aslında, eğer X m = 1 ve y , n = 1 , daha sonra ( x -1 ) m = 1 , ve ( xy ) k = 1 , k ise en sık birden ait m ve n .

Bu nedenle, birliğin kökleri çarpma altında bir değişmeli grup oluşturur . Bu grup torsiyon alt grup arasında çember grubu .

Grup n birlik inci kökleri

Ürün ve çarpımsal ters iki N birlik inci kökleri da N birlik inci kökleri. Bu nedenle, n, birlik formunun kökleri th grubu çarpma altında.

İlkel Verilen n birlik içinde inci kökü w , diğer n kökleri inci yetkileri şunlardır w . Grubu olduğu Bu demektir ki , n birlik inci kökleri a, siklik grup . Döngüsel grup teriminin, bu grubun çember grubunun bir alt grubu olması gerçeğinden kaynaklandığını belirtmekte fayda var .

İlkel Galois grubu , n birlik inci kökleri

Izin olmak saha uzantısı üzerinde oluşturulan rasyonel sayılar ilkel tarafından n birlik içinde inci kökü w . Her itibariyle n birlik inci kökünün bir güçtür w , tarla tümünü içeren n birlik kökleri inci ve bir olan Galois uzantısı arasında

Eğer k bir tam sayıdır, ω k bir ilkel n birlik eğer inci kök ve yalnızca k ve n olan aralarında asal . Bu durumda harita

uyarmaktadır bir otomorfizma ait her haritalar, n onun için birlik inci kökünü k inci gücü. Her otomorfizma bu şekilde elde edilir ve bu otomorfizmalar rasyoneller alanı üzerinde Galois grubunu oluşturur .

Üs alma kuralları, bu tür iki otomorfizmin bileşiminin, üslerin çarpılmasıyla elde edildiğini ima eder. Bunu takip eden harita

modulo n tamsayıları halkasının birimleri ile Galois grubunun birimleri arasında bir grup izomorfizmi tanımlar .

Bu, bu Galois grubunun değişmeli olduğunu gösterir ve böylece birliğin ilkel köklerinin kökler cinsinden ifade edilebileceğini ima eder.

trigonometrik ifade

Birliğin 3. kökleri
Arsa z 3 - 1 sıfır siyah renk ile temsil edildiği,. Yorumlama için Alan renklendirme bölümüne bakın .
Arsa z 5 1 - a sıfır siyah renk ile temsil edildiği,.

De moivre formülü tüm gerçek için geçerlidir, x ve tamsayılar n , ise

Ayar x = /nilkel verir n birlik inci kökü, bir alır

ancak

için k = 1, 2, ..., n - 1 . Diğer bir deyişle,

ilkel olduğu , n birlik inci kökü.

O Bu formül göstermektedir kompleks düzlemin n birlik kökleri th köşelerinde olan düzenli n taraflı çokgen içinde yazılı birim çember 1'den bir tepe (için araziler bakınız , n = 3 ve n = 5 ile sağda.) Bu geometrik gerçek, siklotomik alan ve siklotomik polinom gibi ifadelerdeki "siklotomik" terimini açıklar ; Yunanca " siklo " (daire) artı " tomos " (kesme, bölme) köklerinden gelmektedir .

Euler formülü

tüm gerçek için geçerli olan , x , için formül koymak için kullanılabilir n forma birlik kökleri inci

İlkel olduğu önceki bölümde tartışmayı takiben n- inci kök ve tek parça halinde isek/nen düşük terimlerle, yani k ve n aralarında asaldır.

Cebirsel ifade

N, birlik kökleri inci, tanımı gereği, polinom kökleri olan x , n - 1 , ve bu nedenle cebirsel sayılar . Bu polinom değil gibi indirgenemez (haricinde n = 1 ), ilk N birlik inci kökleri olarak adlandırılan alt derece indirgenemez polinom kökleri olan devirli polinom ve genellikle belirtilen cp n . Derecesi j n verilir totient , (diğer şeyler arasında) sayılarının ilkel sayısı n birlik inci kökleri. Kökleri cp n ilkel tam olarak N birlik inci kökleri.

Galois teorisi , siklotomik polinomların uygun şekilde radikaller cinsinden çözülebileceğini göstermek için kullanılabilir. (Tivial form , siklotomik polinomun kökleri olmayan 1 gibi ilkel olmayan kökleri içerdiği ve reel ve sanal kısımları ayrı ayrı vermediği için uygun değildir.) Bunun anlamı, her pozitif için, tam sayı , n , ilkel bu tür kök ekstraksiyon, eklemeler, çıkarma, çarpma ve bölümler (başka bir şey) tarafından tam sayılardan oluşturulan bir ifade vardır n birlik inci kökleri için değerler seçerek elde edilebilir değerler tam dizisidir kök çekimi ( k bir için olası değerleri k inci kök). (Daha fazla ayrıntı için aşağıdaki § Siklotomik alanlar bölümüne bakın.)

Gauss ilkel kanıtladı n birlik inci kökü ifade edilebilir sadece kullanılarak karekök ve mümkün olması halinde için eğer toplama, çıkarma, çarpma ve bölme pusula üretilmesi ve düz kenar normal n -gon . Bu, ancak ve ancak n , ikinin kuvveti veya iki kuvvetinin çarpımı ve hepsi farklı olan Fermat asal sayılarıysa geçerlidir .

Eğer Z bir ilkel n birlik inci kökü, aynı için de geçerlidir 1 / z , ve iki kez gerçek bir parçası olduğunu z . Diğer bir deyişle, Φ , n a, karşılıklı polinom , polinom sahip r bir kök çıkarılabilir edilebilir cp n karşılıklı polinomlar standart manipülasyonu sureti ile, ve ilkel n köklerinden da anlaşılacağı birlik inci kökleri çözerek ikinci dereceden denklem olduğunu ilkel kök gerçek parçasıdır ve onun hayali parçasıdır

Polinom , kökleri tüm gerçek bir indirgenemez polinom olduğunu. Derecesi, ancak ve ancak n , farklı Fermat asallarının bir çarpımı (muhtemelen boş) ile iki kuvvetinin bir ürünüyse ve düzenli n- gon pusula ve cetvelle oluşturulabilirse, ikinin kuvvetidir. Aksi takdirde, radikallerde çözülebilir, ancak casus indirgeyicidir , yani köklerin radikaller cinsinden her ifadesi gerçek olmayan radikalleri içerir .

Düşük derecelerde açık ifadeler

  • İçin , n = 1 , devirli polinom Φ 1 ( x ) = x 1 - Bu nedenle, birlik ilkel ilk kök olmayan bir ilkel olduğu, 1 , n her birliğin inci kök , n 1 'den daha büyüktür.
  • Şöyle Φ 2 ( x ) = x + 1 , birlik ilkel ikinci (kare) köküdür -1, aynı zamanda temel olmayan bir olan n, hatta her birliğin inci kök , n > 2 . Önceki durumda, bu, birliğin gerçek köklerinin listesini tamamlar.
  • Olarak cp 3 ( x ) = x 2 + x + 1 , ilkel üçüncü (küp) birlik kökleri, bu kökleri olan ikinci dereceden bir polinom olan,
  • Olarak cp 4 ( x ) = x 2 + 1 , birlik iki ilkel dördüncü kökleri i ve - i .
  • Olarak cp 5 ( x ) = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 , birlik dört ilkel beşinci kökleri bu kökleri olan quartic polinom kökleri veren açık radikaller anlamında çözülebilir,
burada 1 ve -1 (iki oluşumdaki aynı değer) iki değeri alabilir.
  • Olarak cp 6 ( x ) = x 2 - x + 1 , iki ilkel küp köklerinin negatif (ve aynı zamanda karekök) olan birlik iki ilkel altıncı kökleri bulunmaktadır:
  • 7 bir Fermat asal olmadığı için, birliğin yedinci kökleri küp kök gerektiren ilk köklerdir . İkili karmaşık eşlenik olan 6 ilkel birlik yedinci kökü vardır . Kök ve eşleniğinin toplamı, gerçek kısmının iki katıdır. Bu üç toplam, kübik polinomun üç gerçek köküdür ve birliğin ilkel yedinci kökleri şunlardır:
burada r , yukarıdaki polinomun kökleri üzerinde çalışır. Her kübik polinom için olduğu gibi bu kökler de kare ve küp kökler cinsinden ifade edilebilir. Ancak, bu üç kökün tümü gerçek olduğundan, bu casus irreducibilis'tir ve bu tür herhangi bir ifade gerçek olmayan küp kökleri içerir.
  • Olarak cp 8 ( X ) = x 4 + 1 , birlik dört ilkel sekizinci kökleri ilkel dördüncü köklerinin kare kökleri, ± ı . Onlar böylece

periyodiklik

Eğer Z bir ilkel n birlik inci kökü, sonra güçlerin dizisini

… ,  z -1 ,  z 0 ,  z 1 , …

bir N -periyodik (nedeniyle z j  +  n = z jz , n = z j ⋅1 = z j tüm değerleri için , j ) ve n, güçlerin dizileri

s k : … ,  z k ⋅(−1) ,  z k ⋅0 ,  z k ⋅1 , …

için k = 1, ...,  n, tüm n -periyodik (nedeniyle z k ⋅ ( j  +  n ) = Z kj ). Ayrıca, bu dizilerin { s 1 , … ,  s n } kümesi , tüm n- periyodik dizilerin lineer uzayının temelidir . Bu, herhangi bir n -periyodik karmaşık sayı dizisinin

… ,  x -1  ,  x 0  ,  x 1 , …

bir şekilde ifade edilebilir lineer kombinasyonu ilkel yetkilerini n birlik kök inci:

bazı karmaşık sayılar X 1 , … ,  X n ve her j tamsayı için .

Bu bir Fourier analizi şeklidir . Eğer j bir (ayrık) zaman değişkendir, daha sonra k a, frekans ve X, k, bir kompleks genlik .

İlkel için seçme n birlik inci kökü

x j'nin cos ve sin'in lineer bir birleşimi olarak ifade edilmesini sağlar :

Bu ayrık bir Fourier dönüşümüdür .

toplama

Let olarak SR ( n ) her toplamı n birlik, ilkel veya inci kökleri. Sonra

Bu, Vieta'nın formüllerinin doğrudan bir sonucudur . Aslında, n- birlik inci kökleri polinom kökleri olmak X , n - 1 , bunların toplamı derecesi katsayısı n 1 - , ya 1 ya da 0 olup göre olan , n = 1 ya da , n > 1 .

Alternatif olarak, n = 1 için kanıtlanacak hiçbir şey yoktur. İçin n > 1 bir kök vardır z ≠ 1 . Grubu yana S tüm n birlik inci kökleri bir gruptur, Z S = S , yani toplam tatmin z olarak SR ( n ) = SR ( n ) nereden, SR ( n ) = 0 .

Let SP ( n ) her ilkel toplamı N birlik inci kökleri. Sonra

burada μ ( n ) olan Möbiüs fonksiyonu .

Bölüm olarak Temel özellikleri , bu ise gösterilmiştir R ( n ) her bir set olup , n birlik ve inci kökleri , P ( n ) ilk olanlar, setidir R ( n ) bir ayrık birleşimi olan P ( n ) :

Bu şu anlama gelir:

Başvuru Möbiüs ters formül verir

Bu formülde d < n ise SR(n/NS) = 0 ve d = n için : SR(n/NS) = 1 . Bu nedenle, SP( n ) = μ ( n ) .

Bu özel bir durumdur c n (1) arasında Ramanujan toplamı c N ( ler ) toplamı olarak tanımlanır, s ilkel inci güçleri N birlik inci kökleri:

ortogonallik

Toplama formülünden bir ortogonallik ilişkisi izlenir : j = 1, … ,  n ve j′ = 1, … ,  n için

burada δ olan Kronecker'in ö ve Z bir ilkel n birlik inci kökü.

N,  X  , n matris U olan ( j ,  k ) inci giriştir

ayrık bir Fourier dönüşümünü tanımlar . Gauss eliminasyonu kullanılarak ters dönüşümün hesaplanması , O ( n 3 ) işlemlerini gerektirir . Ancak, bu dikgenlik izler u olan üniter . Yani,

ve dolayısıyla U'nun tersi karmaşık eşleniktir. (Bu gerçek ilk olarak Gauss tarafından trigonometrik enterpolasyon problemini çözerken not edildi ). U veya tersinin belirli bir vektöre doğrudan uygulanması, O ( n 2 ) işlemlerini gerektirir . Fourier dönüşümü hızlı algoritma için daha başka işlemleri sayısını azaltır O ( n  log  n ) .

Siklotomik polinomlar

polinomun sıfırları

tam edilir N çokluk 1. birlik inci kökleri, her bir n, inci devirli polinom da sıfır tam olduğu gerçeği ile tanımlanır ilkel n sayıda 1 her biri, birlik inci kökleri.

burada z 1 ,  z 2 ,  z 3 , ..., z φ ( n ) ilkel n birlik inci kökleri ve φ ( n ) olan totient . Polinom Φ n ( z ) tamsayı katsayılarına sahiptir ve rasyonel sayılar üzerinde indirgenemez bir polinomdur (yani, rasyonel katsayılı iki pozitif dereceli polinomun ürünü olarak yazılamaz). Genel iddiadan daha kolay olan asal n durumu , Eisenstein'ın kriterini polinoma uygulayarak takip eder.

ve binom teoremi yoluyla genişleme.

Her n, birlik inci kök, ilkel d , tam olarak bir pozitif birliğin inci kök bölen d arasında n . Bu, şu anlama gelir:

Bu formül , polinom z n − 1'in indirgenemez çarpanlara ayrılmasını temsil eder .

Formüle Möbius inversiyonu uygulamak

burada μ olan Möbiüs işlevi . Yani ilk birkaç siklotomik polinom

Φ 1 ( z ) = z − 1
Φ 2 ( z ) = ( z 2 − 1)⋅( z − 1) −1 = z + 1
Φ 3 ( z ) = ( z 3 − 1)⋅( z − 1) −1 = z 2 + z + 1
Φ 4 ( z ) = ( z 4 − 1)⋅( z 2 − 1) −1 = z 2 + 1
Φ 5 ( z ) = ( z 5 − 1)⋅( z − 1) −1 = z 4 + z 3 + z 2 + z + 1
Φ 6 ( z ) = ( z 6 − 1)⋅( z 3 − 1) −1 ⋅( z 2 − 1) −1 ⋅( z − 1) = z 2z + 1
Φ 7 ( z ) = ( z 7 − 1)⋅( z − 1) −1 = z 6 + z 5 + z 4 + z 3 + z 2 + z + 1
Φ 8 ( z ) = ( z 8 − 1)⋅( z 4 − 1) −1 = z 4 + 1

Eğer p bir olduğunu asal sayı , sonra hepsi p 1 hariç birlik kökleri inci ilkel p kökleri inci ve elimizdeki

z yerine herhangi bir pozitif tamsayı ≥ 2 koyduğumuzda , bu toplam bir taban z tekrar birimi olur . Bu nedenle, bir yeniden birimin asal olması için gerekli (ama yeterli olmayan) koşul, uzunluğunun asal olmasıdır.

Not ilk görünüşünün aksine, bu değil tüm devirli polinomların tüm katsayıları 0, 1, ya da -1. İlk istisna Φ 105'tir . Bu katsayılar davranış üzerinde çok değil bağlıdır çünkü, bir örnek almak için bu uzun süren bir sürpriz değil n birçok tek asal faktör nasıl göründüğünü olarak n . Daha kesin bir ifadeyle, bu gösterilebilir ki, eğer , n (örneğin 1 veya 2 tek ana faktörler vardır , n = 150 ), daha sonra n- inci devirli polinomun sadece katsayıları 0, 1 ya da vardır -1. Böylece, 0, 1 veya -1 dışında bir katsayısı olabilecek ilk akla gelebilecek n , en küçük üç tek asal sayının bir çarpımıdır ve bu 3⋅5⋅7 = 105'tir . Bu tek başına 105. polinomun başka bir katsayıya sahip olduğunu kanıtlamaz, ancak çalışma şansı olan ilk polinom olduğunu gösterir (ve sonra katsayıların hesaplanması bunu gösterir). Schur'un bir teoremi, katsayıları keyfi olarak mutlak değerde büyük olan siklotomik polinomlar olduğunu söyler. Özellikle, burada tek asal olan, ve t , daha sonra tek bir 1 - t bir katsayı olarak meydana n inci devirli polinom.

Siklotomik polinomların tamsayı değerlerinde alabileceği değerler hakkında birçok kısıtlama bilinmektedir. Örneğin, p asal ise, o zaman d  ∣ Φ p ( d ) eğer ve sadece d ≡ 1 (mod p ) .

Siklotomik polinomlar, birliğin köklerinin kendileri radikal olduğundan, radikallerde çözülebilir . Ayrıca, daha fazla bilgi radikali ifade orada ana kadar n adet radikallerin değerleri seçerek elde edilen ekspresyon her değer (örneğin, kare kök işaretleri) ilkel olduğu konusunda ek özelliği ile birlik inci kökleri N birlik inci kökü. Bu, Gauss tarafından 1797'de zaten gösterilmişti. Bu tür ifadeleri hesaplamak için etkili algoritmalar mevcuttur.

döngüsel gruplar

N, bir çarpma altında birlik formunun kökleri inci siklik gruba ait için , n , ve aslında bu grupların sonlu alt tüm ihtiva çarpımsal grup karmaşık sayı alanının. Bir jeneratör , bu siklik grup, ilkel n birlik inci kökü.

N, birlik formunun kökleri indirgenemez inci temsil düzeninin herhangi bir siklik grubu , n . Ortogonallik ilişkisi, karakter grubu içinde açıklandığı gibi grup-teorik ilkelerinden de kaynaklanmaktadır .

Birliğin kökleri, herhangi bir döngüsel matrisin özvektörlerinin girdileri olarak görünür , yani döngüsel kaymalar altında değişmez olan matrisler, Bloch teoreminin bir varyantı olarak grup temsili teorisinden de çıkan bir gerçektir . Özellikle, döngüsel bir Hermit matrisi düşünülürse (örneğin, periyodik sınırları olan ayrıklaştırılmış tek boyutlu bir Laplacian ), ortogonallik özelliği hemen Hermit matrislerinin özvektörlerinin olağan ortogonalliğinden gelir.

siklotomik alanlar

İlkel bitişik olarak , n için birlik inci kökü , bir elde N inci devirli alan Bu alan tüm içeren N birlik inci kökleri ve bir bölme alanı arasında n inci devirli polinom fazla alan uzatma derecesi cp sahiptir ( n ) ve galois grup , halkanın çarpımsal birimleri grubuna doğal olarak izomorfiktir

Galois grubu değişmeli olduğundan, bu bir değişmeli uzantıdır . Siklotomik alanın her alt alanı, rasyonellerin değişmeli bir uzantısıdır. Her izler n birlik inci kök terimiyle ifade edilebilir k çeşitli ile -roots k aşmayan cp (n) . Bu durumlarda Galois kuramı açısından açıkça dışarı yazılabilir Gauss dönemleri : Bu teori Disquisitiones Arithmeticae ait Gauss Galois yıllar önce yayımlandı.

Tersine, rasyonellerin her değişmeli uzantısı, bir siklotomik alanın böyle bir alt alanıdır - bu, Weber'in ispatı tamamladığı gerekçesiyle genellikle Kronecker-Weber teoremi olarak adlandırılan bir Kronecker teoreminin içeriğidir .

İkinci dereceden tam sayılarla ilişkisi

Olarak kompleks düzlemde , kırmızı noktalar birlik beşinci kökleri ve siyah noktalar, bir birlik beşinci kökü ve karmaşık eşlenik toplamıdır.
Olarak kompleks düzlemde , iki kare köşeleri birlik sekizinci köklerdir

İçin n = 1, 2 , her iki birliği kökleri 1 ve -1 olan tamsayılardır .

Üç n değeri için, birliğin kökleri ikinci dereceden tam sayılardır :

Diğer dört değerleri için n , birlik ilkel kök kuadratik tamsayı olmadığında, fakat ile birlik bir kök toplamı kompleks eşleniği (bir n- birlik inci kökü) bir ikinci dereceden bir tamsayıdır.

İçin n = 5, 10 , (bir tatmin birlik olmayan gerçek kökleri hiçbiri quartic denklemi ) bir kuadratik tamsayı biridir, bununla birlikte z + z = 2  : Yeniden z kompleks eşleniği ile her bir kökün (aynı zamanda bir 5 kök birlik) Z halkasının bir elemanıdır [1 + 5/2] ( D = 5 ). İki çift reel olmayan 5. birlik kökü için bu toplamlar ters altın oran ve eksi altın orandır.

İçin n = 8 , birlik herhangi kök z + z , ya 0 eşittir ± 2 veya ± 2 ( D = 2 ).

İçin , n = 12 , birlik bir kök, z + z ± ya 0, 1, ± 2 veya ± eşittir 3 ( D = 3 ).

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar