Benacerraf'ın kimlik sorunu - Benacerraf's identification problem
In matematik felsefesi , Benacerraf kimlik sorunu bir olan felsefi argüman tarafından geliştirilen Paul Benacerraf karşı set-teorik Platonizm ve "Sayılar Could Not Be Ne" başlıklı bir makalede 1965 yılında yayınladı. Tarihsel olarak, çalışma matematiksel yapısalcılığın gelişimini motive etmede önemli bir katalizör haline geldi .
Kimlik sorunu temel bir problem olduğunu savunuyor azaltarak doğal sayılar için saf setleri . Bir vardır yana sonsuz saf setleri ile doğal sayılar tanımlamanın yolları sayısını, belirli bir set-teorik yöntem "gerçek" küçültülmesi olarak belirlenebilir. Benacerraf, böylesi bir indirgeme seçimi yapmaya yönelik herhangi bir girişimin, anında, yani seçilenle özdeş olmayan diğer temel olarak eşdeğer küme kuramlarıyla ilişkili olarak, bir meta-düzey, küme-kuramsal yanlışlığın ortaya çıkmasıyla sonuçlandığını söylüyor . Tanımlama problemi, bunun, matematiksel nesnelerin gerçek, soyut bir varoluşa sahip olduğunu savunan Platonizm için temel bir problem yarattığını savunur. Benacerraf'ın Platonik küme teorisine yönelik ikilemi , Platoncuların doğal sayıların saf kümelere "gerçek" indirgenmesini tanımlama girişiminin , bu soyut matematiksel nesnelerin içsel özelliklerini açığa çıkarmasının imkansız olduğunu savunuyor . Sonuç olarak, tanımlama problemi nihayetinde küme teorisinin doğal sayılarla ilişkisinin ontolojik olarak Platonik bir doğaya sahip olamayacağını savunur .
Tarihsel motivasyonlar
Benacerraf'ın kimlik probleminin gelişimi için tarihsel motivasyon, temel bir ontoloji probleminden kaynaklanmaktadır. Orta çağlardan beri filozoflar, matematiğin ontolojisinin soyut nesneler içerip içermediğini tartışmışlardır . Matematik felsefesinde, soyut bir nesne geleneksel olarak şu özelliklere sahip bir varlık olarak tanımlanır: (1) zihinden bağımsız var olan; (2) deneysel dünyadan bağımsızdır; ve (3) ebedi, değiştirilemez özelliklere sahiptir. Geleneksel matematiksel Platonizm, bazı matematiksel öğeler kümesinin - doğal sayılar , gerçek sayılar , fonksiyonlar , ilişkiler , sistemler - bu tür soyut nesneler olduğunu savunur. Tersine, matematiksel nominalizm , matematik ontolojisinde bu tür soyut nesnelerin varlığını reddeder.
19. yüzyılın sonlarında ve 20. yüzyılın başlarında, bir dizi Platonizm karşıtı program popülerlik kazandı. Bunlar sezgisellik , biçimcilik ve öngörücülüğü içeriyordu . Bununla birlikte, 20. yüzyılın ortalarına gelindiğinde, bu Platonizm karşıtı teorilerin bir takım kendi sorunları vardı. Bu daha sonra Platonizme olan ilginin yeniden canlanmasına neden oldu. Tanımlama probleminin motivasyonları bu tarihsel bağlamda gelişti.
Açıklama
Tanımlama problemi, doğal sayıların temel olarak eşdeğer, küme teorik modellerinin bazılarını kanıtlayarak başlar. Benacerraf, bu tür iki küme teorik yöntemi ele alır:
- Küme-teorik yöntem I ( Zermelo sıra sayılarını kullanarak )
- 0 = ∅
- 1 = {0} = {∅}
- 2 = {1} = {{∅}}
- 3 = {2} = {{{∅}}}
- ...
- Küme-teorik yöntem II ( von Neumann sıra sayılarını kullanarak )
- 0 = ∅
- 1 = {0} = {∅}
- 2 = {0, 1} = {∅, {∅}}
- 3 = {0, 1, 2} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
- ...
Benacerraf'ın gösterdiği gibi, hem yöntem I hem de II, doğal sayıları kümelere indirgiyor. Benacerraf, ikilemi bir soru olarak formüle ediyor: Bu küme-teorik yöntemlerden hangisi, doğal sayıların gerçek ontolojik doğasını aydınlatan gerçek özdeşlik önermelerini benzersiz bir şekilde sağlıyor? Doğal sayıları tanımlamak ve daha sonra matematiksel bir sistem oluşturmak için gerçek aritmetik ifadeler üretmek için I veya II yöntemlerinden herhangi biri kullanılabilir. İlişkilerinde, bu tür matematiksel sistemlerin elemanları yapılarında izomorfiktir . Ancak sorun, bu izomorfik yapılar meta düzeyinde birbirleriyle ilişkilendirildiğinde ortaya çıkar. Sistem I'deki tanımlar ve aritmetik ifadeler, sistem II'deki tanımlar ve aritmetik ifadelerle aynı değildir. Örneğin, ∅ bir {{∅}} öğesi olmadığı sürece, iki sistem 0 ∈ 2 olup olmama yanıtlarında farklılık gösterir. Dolayısıyla, kimliğin geçişkenliğinin başarısız olması açısından, gerçek kimlik ifadeleri arayışı da benzer şekilde başarısız olur. Doğal sayıları kümelere indirgemeye çalışarak, bu, farklı matematiksel sistemlerin izomorfik yapıları arasında küme-teorik bir yanlışlığa neden olur. Tanımlama sorununun özü budur.
Benacerraf'a göre, bu tanımlama probleminin felsefi sonuçları, Platonik yaklaşımların ontolojik testte başarısız olmasına neden olur. Argüman, Platonizmin sayıları kümelere indirgemesinin ve soyut nesnelerin varlığını ortaya çıkarmasının imkansızlığını göstermek için kullanılır.
Ayrıca bakınız
Referanslar
Kaynakça
- Benacerraf Paul (1973) "Mathematical Truth", Benacerraf & Putnam Philosophy of Mathematics: Selected Readings, Cambridge: Cambridge University Press, 2. baskı. 1983, s. 403–420.
- Hale, Bob (1987) Abstract Objects . Oxford: Basil Blackwell. ISBN 0631145931