Weierstrass fonksiyonları - Weierstrass functions

Gelen matematik , Weierstrass'ın fonksiyonları olan özel fonksiyonlar a kompleks bir değişken için yardımcı olan Weierstrass'ın eliptik fonksiyonu . Onlar Karl Weierstrass için adlandırılmıştır . Sigma, zeta ve fonksiyonlar arasındaki ilişki sinüs, kotanjant ve kare kosekant fonksiyonları arasındaki ilişkiye benzer: sinüsün logaritmik türevi kotanjanttır ve türevi negatif kare kosekanttır. ${\görüntüleme stili \wp }$

Weierstrass sigma işlevi

Arsa sigma fonksiyonu kullanılarak Alan renklendirme .

Weierstrass'ın Sigma fonksiyonu , iki boyutlu bir ilişkili kafes ürünü olarak tanımlanır ${\displaystyle \Lambda \altküme \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\operatöradı {\sigma } {(z;\Lambda )}&=z\prod _{w\in \Lambda ^{*}}\left(1-{\frac {z }{w}}\right)e^{z/w+{\frac {1}{2}}(z/w)^{2}}\\&=z\prod _{\begin{smallmatrix}m, n=-\infty \\\{m,n\}\neq 0\end{smallmatrix}}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{m\omega _{1}+n\ omega _{2}}}\right)e^{z/(m\omega _{1}+n\omega _{2})+{\frac {1}{2}}(z/(m\omega) _{1}+n\omega _{2}))^{2}}\end{hizalı}}}$

burada ifade eder veya temel bir periyot çiftidir . ${\ Displaystyle \ Lambda ^{*}}$${\displaystyle \Lambda -\{0\}}$${\displaystyle \{\omega _{1},\omega _{2}\}}$

Weierstrass çarpanlara ayırma teoreminin sinüs fonksiyonuyla da ilgili olduğu dikkatli bir şekilde manipüle edilmesiyle, potansiyel olarak daha yönetilebilir başka bir sonsuz ürün tanımı,

${\displaystyle \operatöradı {\sigma } {(z;\Lambda )}={\frac {\omega _{i}}{\pi }}e^{\eta _{i}z^{2}/\ omega _{i}}\sin {\sol({\frac {\pi z}{\omega _{i}}}\sağ)}\prod _{n=1}^{\infty }\sol(1 -{\frac {\sin ^{2}{\left({\tfrac {\pi z}{\omega _{i}}}\sağ)}}{\sin ^{2}{\left({\ tfrac {n\pi \omega _{j}}{\omega _{i}}}\sağ)}}}\sağ)}$

gösterimi kullandığımız ve kullandığımız herhangi biri için (aşağıdaki zeta işlevine bakın). ${\displaystyle \{i,j\}\in \{1,2,3\}}$${\görüntüleme stili i\neq j}$${\displaystyle \eta _{i}=\zeta (\omega _{i}/2;\Lambda )}$

Weierstrass zeta fonksiyonu

Arsa zeta fonksiyonu kullanılarak Alan boyama

Weierstrass'ın zeta fonksiyonu toplamı ile tanımlanır

${\displaystyle \operatöradı {\zeta } {(z;\Lambda )}={\frac {\sigma '(z;\Lambda )}{\sigma (z;\Lambda )}}={\frac {1} {z}}+\sum _{w\in \Lambda ^{*}}\left({\frac {1}{zw}}+{\frac {1}{w}}+{\frac {z} {w^{2}}}\sağ).}$

Weierstrass zeta fonksiyonu, sigma fonksiyonunun logaritmik türevidir . Zeta işlevi şu şekilde yeniden yazılabilir:

${\displaystyle \operatöradı {\zeta } {(z;\Lambda )}={\frac {1}{z}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_ {2k+2}(\Lambda )z^{2k+1}}$

nerede olduğunu Eisenstein serileri ağırlığı 2'nin k  + 2. ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2k+2}}$

Zeta fonksiyonunun türevi , Weierstrass eliptik fonksiyonu nerede${\görüntüleme stili -\wp (z)}$${\görüntüleme stili \wp (z)}$

Weierstrass zeta fonksiyonu , sayılar teorisindeki Riemann zeta fonksiyonu ile karıştırılmamalıdır .

Weierstrass eta işlevi

Weierstrass'ın eta fonksiyonu olarak tanımlanır

${\displaystyle \eta (w;\Lambda )=\zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda ),{\mbox{ for any }}z\in \mathbb {C} }$ve kafesteki herhangi bir w${\ Displaystyle \ Lambda }$

Bu iyi tanımlanmıştır, yani sadece kafes vektörüne w bağlıdır . Weierstrass eta işlevi, Dedekind eta işlevi veya Dirichlet eta işlevi ile karıştırılmamalıdır . ${\displaystyle \zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda )}$

Weierstrass ℘-fonksiyonu

Arasında Konu p-fonksiyonu kullanılarak Alan boyama

Weierstrass'ın p fonksiyonlu zeta fonksiyonu ile ilgilidir

${\displaystyle \operatöradı {\wp } {(z;\Lambda )}=-\operatöradı {\zeta '} {(z;\Lambda )},{\mbox{ for any }}z\in \mathbb {C } }$

Weierstrass ℘ fonksiyonu, her kafes noktasında bir çift kutuplu ve başka kutbu olmayan N=2 mertebesinde çift eliptik bir fonksiyondur.

dejenere vaka

Bir periyodun gerçek olduğu, ki bunu ölçeklendirebileceğimiz ve diğerinin limitine alındığı, böylece fonksiyonların sadece tek periyodik olduğu durumu düşünün . Karşılık gelen değişmezler diskriminanttır . O zaman ve böylece yukarıdaki sonsuz ürün tanımından aşağıdaki eşitlik elde edilir: ${\displaystyle \omega _{1}=2\pi }$${\displaystyle \omega _{2}\rightarrow i\infty}$${\displaystyle \{g_{2},g_{3}\}=\left\{{\tfrac {1}{12}},{\tfrac {1}{216}}\sağ\}}$${\görüntüleme stili \Delta =0}$${\displaystyle \eta _{1}={\tfrac {\pi }{12}}}$

${\displaystyle \operatöradı {\sigma } {(z;\Lambda )}=2e^{z^{2}/24}\sin {\left({\tfrac {z}{2}}\sağ)}}$

Diğer çift-periyodik kafesler üzerindeki diğer sinüs benzeri fonksiyonlar için bir genelleme şu şekildedir:

${\displaystyle f(z)={\frac {\pi }{\omega _{1}}}e^{-(4\eta _{1}/\omega _{1})z^{2}} \operatöradı {\sigma } {(2z;\Lambda )}}$

Bu makale , Creative Commons Atıf/Benzer Paylaşım Lisansı altında lisanslanan PlanetMath üzerindeki Weierstrass sigma işlevinden materyal içermektedir .