Vektör projeksiyonu - Vector projection

Vektör çıkıntı için bir vektör ve a (veya üzerine), sıfır olmayan bir vektör b bazen belirtilir, (aynı zamanda vektör bileşeni ya da vektör çözünürlüğü arasında bir yönünde , b ), bir dik çıkıntı arasında bir bir üzerine düz bir çizgi paralel b . Aşağıdaki şekilde tanımlanan, b'ye paralel bir vektördür : ${\ displaystyle \ operatorname {proj} _ {\ mathbf {b}} \ mathbf {a}}$

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {1} = a_ {1} \ mathbf {\ hat {b}} \,}$

burada adı verilen bir skaler olduğu skalar çıkıntı arasında bir üzerine b ve b olan birim vektör yönünde b . ${\ displaystyle a_ {1}}$

Sırayla, skaler projeksiyon şu şekilde tanımlanır:

${\ displaystyle a_ {1} = \ sol \ | \ mathbf {a} \ sağ \ | \ cos \ theta = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {\ hat {b}} \,}$

Operatör burada ⋅ doymuş, nokta ürün , ‖ bir ‖ olan uzunluk ve bir ve θ olan açısı arasındaki bir ve b .

Sonunda veren:

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {1} = \ sol (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {\ hat {b}} \ sağ) \ mathbf {\ hat {b}} = {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}} {\ frac {\ mathbf {b}} {\ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}} = {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ left \ | \ mathbf {b} \ right \ | ^ {2}}} {\ mathbf {b}} = {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {b}}} {\ mathbf {b}} ~.}$

Skaler izdüşüm, vektör izdüşümünün uzunluğuna eşittir, eğer izdüşümün yönü b yönünün tersi ise bir eksi işareti ile . Bir vektör bileşeni veya vektör kararlı bir dik b , bazen de denilen vektör reddi arasında bir mesafede b (A ile belirtilmiştir ), ortogonal projeksiyonu bir üzerine düzlemi (genel olarak veya hiper dik) b . Her iki çıkıntı , bir ₁ ve ret , bir ₂ , bir vektörün bir vektör, ve bunların toplamı eşittir bir reddi ile verildiğini ifade eder ki: ${\ displaystyle \ operatorname {oproj} _ {\ mathbf {b}} \ mathbf {a}}$${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {2} = \ mathbf {a} - \ mathbf {a} _ {1}.}$

Gösterim

Tipik olarak, bir vektör projeksiyonu kalın yazı tipiyle (ör., A ₁ ) ve karşılık gelen skaler projeksiyon normal yazı tipiyle (ör. A ₁ ) gösterilir. Bazı durumlarda, özellikle el yazısında, vektör projeksiyonu ayrıca harfin üstünde veya altında bir aksan kullanılarak belirtilir (örn. Veya a ₁ ). Vektör çıkıntısı bir ilgili b ve karşılık gelen reddetme bazen ile gösterilir , bir _{∥ b} ve bir _{⊥ b} sırasıyla. ${\ displaystyle {\ vec {a}} _ {1}}$

Açıya dayalı tanımlar θ

Skaler projeksiyon

A on b'nin skaler izdüşümü şuna eşit skalerdir:

${\ displaystyle a_ {1} = \ sol \ | \ mathbf {a} \ sağ \ | \ cos \ theta,}$

burada θ arasındaki açı bir ve b .

Karşılık gelen vektör projeksiyonunu hesaplamak için ölçek faktörü olarak bir skaler projeksiyon kullanılabilir .

Vektör projeksiyonu

Vektör çıkıntısı bir ilgili b , büyüklüğü skaler çıkıntısı olan bir vektördür bir ilgili b ile aynı yönde b . Yani şu şekilde tanımlanır:

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {1} = a_ {1} \ mathbf {\ hat {b}} = (\ sol \ | \ mathbf {a} \ sağ \ | \ cos \ theta) \ mathbf {\ şapka {b}}}$

burada yukarıda tanımlandığı gibi karşılık gelen skalar çıkıntı, ve bir birim vektör ile aynı yönde b : ${\ displaystyle a_ {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {b}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {b}} = {\ frac {\ mathbf {b}} {\ left \ | \ mathbf {b} \ sağ \ |}} \,}$

Vektör reddi

Tanım olarak, a on b'nin vektör reddi şöyledir:

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {2} = \ mathbf {a} - \ mathbf {a} _ {1}}$

Bu nedenle,

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {2} = \ mathbf {a} - \ sol (\ sol \ | \ mathbf {a} \ sağ \ | \ cos \ theta \ sağ) \ mathbf {\ şapka {b} }}$

A ve b cinsinden tanımlar

Ne zaman θ bilinmemektedir, kosinüs İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin açısından hesaplanabilir bir ve b aşağıdaki özelliğiyle, nokta ürünü bir ⋅ b

${\ displaystyle {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ sol \ | \ mathbf {a} \ sağ \ | \ sol \ | \ mathbf {b} \ sağ \ |}} = \ cos \ theta}$

Skaler projeksiyon

Nokta çarpımın yukarıda bahsedilen özelliği ile skaler projeksiyonun tanımı şöyle olur:

${\ displaystyle a_ {1} = \ sol \ | \ mathbf {a} \ sağ \ | \ cos \ theta = \ sol \ | \ mathbf {a} \ sağ \ | {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}} = {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf { b}} {\ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}}.}$

İki boyutta bu,

${\ displaystyle a_ {1} = {\ frac {\ mathbf {a} _ {x} \ mathbf {b} _ {x} + \ mathbf {a} _ {y} \ mathbf {b} _ {y}} {\ sol \ | \ mathbf {b} \ sağ \ |}}.}$

Vektör projeksiyonu

Benzer şekilde, a üzerine b'nin vektör izdüşümünün tanımı şöyle olur:

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {1} = a_ {1} \ mathbf {\ hat {b}} = {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ sol \ | \ mathbf {b} \ right \ |}} {\ frac {\ mathbf {b}} {\ left \ | \ mathbf {b} \ sağ \ |}},}$

hangisine eşdeğerdir

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {1} = \ sol (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {\ hat {b}} \ sağ) \ mathbf {\ hat {b}},}$

veya

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {1} = {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ sol \ | \ mathbf {b} \ sağ \ | ^ {2}}} {\ mathbf {b}} = {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {b}}} {\ mathbf {b}} ~.}$

Skaler red

İki boyutta, skaler reddi çıkıntısının eşdeğer bir üzerine olup, 90 derece sola doğru döndürülmüş. Bu nedenle, ${\ displaystyle \ mathbf {b} ^ {\ perp} = {\ begin {pmatrix} - \ mathbf {b} _ {y} & \ mathbf {b} _ {x} \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle \ mathbf {b} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {b} _ {x} & \ mathbf {b} _ {y} \ end {pmatrix}}}$

${\ displaystyle a_ {2} = \ sol \ | \ mathbf {a} \ sağ \ | \ sin \ theta = {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} ^ {\ perp}} {\ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}} = {\ frac {\ mathbf {a} _ {y} \ mathbf {b} _ {x} - \ mathbf {a} _ {x} \ mathbf { b} _ {y}} {\ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}}.}$

Böyle bir iç ürün, "perp nokta çarpımı" olarak adlandırılır.

Vektör reddi

Tanım olarak,

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {2} = \ mathbf {a} - \ mathbf {a} _ {1}}$

Bu nedenle,

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {2} = \ mathbf {a} - {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {b}} } {\ mathbf {b}}.}$

Özellikleri

Skaler projeksiyon

Skalar çıkıntı bir ilgili b işareti negatif bir skaler ise 90 derece < İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin ≤ 180 derece . Açı 90 ° 'den küçükse, vektör projeksiyonunun uzunluğu ‖ c ‖ ile çakışır . Daha doğrusu:

• bir ₁ = ‖ bir ₁ ‖ eğer 0 ° ≤ θ ≤ 90 °,
• bir ₁ = −‖ bir ₁ ‖ eğer 90 ° < θ ≤ 180 °.

Vektör projeksiyonu

Vektör çıkıntısı bir ilgili b için bir vektör olan bir ₁ ya boş ya da paraleldir b . Daha doğrusu:

• bir ₁ = 0, eğer θ = 90 °,
• a ₁ ve b , 0 ° ≤ θ <90 ° ise aynı yöndedir ,
• a ₁ ve b , 90 ° < θ ≤ 180 ° ise zıt yönlere sahiptir .

Vektör reddi

Vektör reddi , bir ilgili b için bir vektör olan bir ₂ ya null veya ortogonal b . Daha doğrusu:

• a ₂ = 0 eğer θ = 0 ° veya θ = 180 ° ise,
• a ₂ , 0 < θ <180 ° ise b'ye diktir ,

Matris gösterimi

Ortogonal izdüşüm, bir izdüşüm matrisi ile temsil edilebilir. Bir vektörü a = ( a _x , a _y , a _z ) birim vektörüne yansıtmak için, bu izdüşüm matrisiyle çarpılması gerekir:

${\ displaystyle P _ {\ mathbf {a}} = \ mathbf {a} \ mathbf {a} ^ {\ textsf {T}} = {\ begin {bmatrix} a_ {x} \\ a_ {y} \\ a_ {z} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a_ {x} & a_ {y} & a_ {z} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} a_ {x} ^ {2} & a_ { x} a_ {y} ve a_ {x} a_ {z} \\ a_ {x} a_ {y} ve a_ {y} ^ {2} ve a_ {y} a_ {z} \\ a_ {x} a_ {z} & a_ {y} a_ {z} ve a_ {z} ^ {2} \\\ end {bmatrix}}}$

Kullanımlar

Vektör çıkıntının önemli bir işlemdir Gram-Schmidt orthonormalization ait vektör uzayı bazlar . Ayırma ekseni teoreminde iki dışbükey şeklin kesişip kesişmediğini tespit etmek için de kullanılır .

Genellemeler

Vektörler arasındaki vektör uzunluğu ve açı kavramları herhangi bir n boyutlu iç çarpım uzayına genelleştirilebildiğinden , bu aynı zamanda bir vektörün ortogonal izdüşümü, bir vektörün diğerine izdüşümü ve bir vektörün diğerinden reddedilmesi kavramları için de geçerlidir. .

Bazı durumlarda, iç çarpım iç çarpım ile çakışır. Çakışmadıkları zaman, yansıtma ve reddetmenin biçimsel tanımlarında iç çarpım yerine iç çarpım kullanılır. Üç boyutlu bir iç çarpım uzayı için , bir vektörün diğerine izdüşümü ve diğerinden bir vektörün reddedilmesi kavramları, bir vektörün bir düzleme izdüşümü ve bir vektörün bir düzlemden reddedilmesi kavramlarına genelleştirilebilir . Bir vektörün bir düzlemdeki izdüşümü , onun o düzlemdeki ortogonal izdüşümüdür . Bir vektörün bir düzlemden reddedilmesi, o düzleme ortogonal olan düz bir çizgi üzerindeki ortogonal izdüşümüdür. Her ikisi de vektördür. Birincisi düzleme paralel, ikincisi diktir.

Belirli bir vektör ve düzlem için, izdüşüm ve reddetmenin toplamı, orijinal vektöre eşittir. Benzer şekilde, daha fazla üç boyutlu iç ürün boşluklar, bir vektör bir vektörün ve ret üzerine çıkıntının kavramları bir üzerine çıkıntının kavramlara genelleştirilebilir hiper bir mesafede ve ret hiper . Olarak geometrik cebir , bunlar daha kavramlarına genelleştirilebilir çıkıntı ve rejeksiyon herhangi bir ters çevrilebilir üzerine / üzerinden genel Çoklu vektör ve k Blade.

Ayrıca bakınız

• Skaler projeksiyon
• Vektör gösterimi

Referanslar

Dış bağlantılar

• Bir vektörün bir düzleme izdüşümü