Evrensel set - Universal set

Gelen set teorisi , bir evrensel kümesi kendisi dahil, tüm nesneleri içeren bir settir. Genellikle formüle edilen küme teorisinde, evrensel küme kavramı Russell paradoksuna yol açar ve sonuç olarak buna izin verilmez. Bununla birlikte, bazı standart olmayan küme teorisi varyantları evrensel bir küme içerir.

gösterim

Belirli bir küme teorisinin evrensel kümesi için standart bir gösterim yoktur. Ortak semboller arasında V , U , ξ ve S bulunur .

Varolmama nedenleri

Birçok küme teorisi evrensel bir kümenin varlığına izin vermez. Örneğin, düzenlilik aksiyomu gibi aksiyomlarla doğrudan çelişir ve varlığı tutarsızlıklar anlamına gelir. Standart Zermelo-Fraenkel küme teorisi bunun yerine kümülatif hiyerarşiye dayanmaktadır .

Russell paradoksu

Russell paradoksu içinde evrensel kümesinin varlığını engelleyen Zermelo-Fraenkel küme kuramı ve dahil diğer set teorileri Zermelo 'ın anlama belitini . Bu aksiyom, herhangi bir formül ve herhangi bir A kümesi için bir kümenin var olduğunu belirtir. ${\görüntüleme stili \varphi (x)}$

${\displaystyle \{x\in A\mid \varphi (x)\}}$

Bu içeren tam olarak bu elemanlar x arasında A bu tatmin . ${\görüntüleme stili \varphi }$

İle seçildi , alt küme izler üyesi asla olduğu üzere, Bertrand Russel ise: gözlenen, alternatif paradoksal sonra kendisini içermemelidir, kendisini ihtiva eder ve tersi de geçerlidir. ${\görüntüleme stili \varphi (x)}$${\displaystyle x\notin x}$${\displaystyle B=\{x\in A\mid x\değil \x\}}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili B}$

Böylece, her küme için içermediği bir küme bulabileceğimiz için, tüm kümelerin kümesi de yoktur. Bu aslında tahmine dayalı kavrayışta ve Sezgisel mantığın üzerinde bile geçerlidir .

Cantor teoremi

Evrensel bir küme fikriyle ilgili ikinci bir zorluk , tüm kümelerin kümesinin kuvvet kümesiyle ilgilidir . Bu kuvvet kümesi bir kümeler kümesi olduğundan, her ikisinin de mevcut olması koşuluyla, tüm kümelerin kümesinin bir alt kümesi olması gerekir. Ancak bu, Cantor'un herhangi bir kümenin (sonsuz olsun ya da olmasın) kuvvet kümesinin her zaman kümenin kendisinden kesinlikle daha yüksek kardinaliteye sahip olduğu şeklindeki teoremi ile çelişir .

evrensellik teorileri

Bir evrensel kümeyle ilgili zorluklardan, anlama aksiyomunun bir şekilde sınırlandırıldığı küme teorisinin bir varyantı kullanılarak veya küme olarak kabul edilmeyen evrensel bir nesne kullanılarak önlenebilir.

Kısıtlı anlama

Tutarlı olduğu bilinen (eğer olağan küme teorisi tutarlıysa) evrensel V kümesinin var olduğu (ve doğru olduğu) bilinen küme teorileri vardır . Bu teorilerde, Zermelo'nun anlama aksiyomu genel olarak tutmaz ve naif küme teorisini anlama aksiyomu farklı bir şekilde sınırlandırılır. Evrensel bir küme içeren bir küme teorisi, zorunlu olarak iyi temellendirilmemiş bir küme teorisidir . Evrensel bir set ile en çok çalışılan küme teorisi olan Willard Van Orman Quine 'ın Yeni Vakıflar . Alonzo Church ve Arnold Oberschelp de bu tür küme teorileri üzerine çalışmalar yayınladılar. Church, kendi teorisinin Quine'ınkiyle tutarlı bir şekilde genişletilebileceğini tahmin etti, ancak bu Oberschelp'inki için mümkün değil, çünkü onda singleton fonksiyonu kanıtlanabilir bir kümedir, bu da New Foundations'da hemen paradoksa yol açar. ${\görüntüleme stili V\V'de}$

Başka bir örnek, anlama aksiyomunun yalnızca pozitif formüller (olumsuzlama içermeyen formüller) için geçerli olmakla sınırlandırıldığı pozitif küme teorisidir . Bu tür küme teorileri, topolojideki kapanma kavramları tarafından motive edilir.

Küme olmayan evrensel nesneler

Evrensel bir küme fikri, Zermelo-Fraenkel küme teorisinde sezgisel olarak arzu edilir görünüyor , özellikle bu teorinin çoğu versiyonu niceleyicilerin tüm kümeler üzerinde kullanılmasına izin verdiği için (bkz. evrensel niceleyici ). Paradokslar yaratmadan evrensel bir kümeye benzer şekilde davranan bir nesneye izin vermenin bir yolu, V ve benzeri büyük koleksiyonları kümeler yerine uygun sınıflar olarak tanımlamaktır . Evrensel bir küme ile evrensel bir sınıf arasındaki bir fark , evrensel sınıfın kendisini içermemesidir, çünkü uygun sınıflar diğer sınıfların öğeleri olamaz. Russell'ın paradoksu bu teorilerde geçerli değildir çünkü anlama aksiyomu sınıflarda değil kümelerde çalışır.

Kümelerinin kategorisi de tekrardan, evrensel bir nesne değil, kendisi bir dizi olarak kabul edilebilir. Öğe olarak tüm kümelere sahiptir ve ayrıca bir kümeden diğerine tüm işlevler için oklar içerir. Yine, kendisi bir küme olmadığı için kendisini içermez.

Ayrıca bakınız

• Evren (matematik)
• Grothendieck evreni
• söylem alanı

Notlar

Referanslar

• Alonzo Kilisesi (1974). “Evrensel Küme ile Küme Teorisi” , Tarski Sempozyumu Bildiriler Kitabı. Saf Matematikte Sempozyum Bildirileri XXV, ed. L. Henkin, American Mathematical Society, s. 297–308.
• TE Forster (1995). Bir Evrensel Küme ile Küme Teorisi: Türlenmemiş Bir Evreni Keşfetmek (Oxford Mantık Kılavuzları 31) . Oxford Üniversitesi Yayınları. ISBN'si 0-19-851477-8.
• TE Forster (2001). “Bir Evrensel Küme ile Kilisenin Küme Teorisi.”
• Kaynakça: TE Forster tarafından oluşturulan ve Randall Holmes tarafından sürdürülen Evrensel Küme ile Küme Teorisi .
• Arnold Oberschelp (1973). “Sınıflar Üzerine Kurma Kuramı,” Dissertationes Mathematicae 106.
• Willard Van Orman Quine (1937) “New Foundations for Mathematical Logic,” American Mathematical Monthly 44, s. 70-80.

Dış bağlantılar

• Weisstein, Eric W. "Evrensel Küme" . Matematik Dünyası .