Sezgisel mantık - Intuitionistic logic

Sezgisel mantık , bazen daha genel olarak yapıcı mantık olarak adlandırılır , klasik mantık için kullanılan sistemlerden , yapıcı kanıt kavramını daha yakından yansıtarak farklı olan sembolik mantık sistemlerine atıfta bulunur . Özellikle sezgisel mantık sistemleri, klasik mantıkta temel çıkarım kuralları olan dışlanan orta ve çift ​​olumsuzlama eleme yasasını içermez .

Resmileştirdi Sezgicilik aslen tarafından geliştirilen Arend Heyting için resmi temel oluşturmak Brouwer arasında bireyin programı sezgicilik . Bir itibaren geçirmez-teorik bir perspektiften, Heyting 'hesabı hariç orta ve çift olumsuzluk ortadan kaldırılması yasası kaldırıldığı klasik mantığın bir sınırlamadır. Dışlanan orta ve çift olumsuzlama ortadan kaldırılması, bazı önermeler için vaka bazında hala kanıtlanabilir, ancak klasik mantıkta olduğu gibi evrensel olarak geçerli değildir.

Sezgisel mantık için çeşitli anlambilim sistemleri incelenmiştir. Bu semantiklerden biri, klasik Boolean değerli semantiği yansıtır ancak Boole cebirleri yerine Heyting cebirlerini kullanır . Başka bir anlambilim, Kripke modellerini kullanır . Ancak bunlar, Brouwer'in orijinal gayri resmi semantik sezgilerinin resmileştirilmesinden ziyade Heyting'in tümdengelim sistemini incelemek için teknik araçlardır. Nedeniyle “yapıcı gerçeğin” anlamlı kavramlar sunan, bu tür sezgi yakalamak iddia eden semantik sistemleri (yerine sadece geçerlilik veya sağlamasının) vardır Gödel ‘in Dialectica yorumlama , Kleene ‘ın gerçeklenebilirlik , sonlu sorunların Yurii Medvedev'in mantık ya Caparidze ‘ler hesaplanabilirlik mantığı . Yine de bu tür anlambilimler ısrarla Heyting'in mantığından çok daha güçlü mantıklar üretir. Bazı yazarlar, bunun Heyting'in hesabının kendisinin yetersizliğinin bir göstergesi olabileceğini ileri sürmüşler ve ikincisini yapıcı bir mantık olarak eksik saymışlardır.

matematiksel yapılandırmacılık

Klasik mantığın semantiğinde, her iki durum için de doğrudan kanıtımız olup olmadığına bakılmaksızın , önerme formüllerine iki elemanlı kümeden (sırasıyla "doğru" ve "yanlış") doğruluk değerleri atanır . Bu, 'dışlanmış orta yasası' olarak adlandırılır, çünkü 'doğru' veya 'yanlış' dışında herhangi bir doğruluk değerinin olasılığını dışlar. Buna karşılık, sezgisel mantık önermeler formüller vardır değil kesin bir doğruluk değeri atanır ve edilir sadece biz dolayısıyla doğrudan kanıt, olduğunda "gerçek" olarak kabul kanıtı . (Ayrıca, önerme formülünün doğrudan kanıt nedeniyle "doğru" olması yerine, onun Curry-Howard anlamında bir kanıtın yaşadığını söyleyebiliriz .) Sezgisel mantıktaki işlemler bu nedenle kanıt ve kanıtlanabilirlik açısından gerekçeyi korur , doğruluk değerlendirmesinden ziyade. ${\displaystyle \{\top ,\bot \}}$

Sezgisel mantık, matematikte yapılandırmacılığa yönelik yaklaşımlar geliştirmede yaygın olarak kullanılan bir araçtır . Genel olarak yapılandırmacı mantığın kullanımı matematikçiler ve filozoflar arasında tartışmalı bir konu olmuştur (örneğin bkz. Brouwer-Hilbert tartışması ). Kullanımlarına yönelik yaygın bir itiraz, yukarıda bahsedilen klasik mantığın iki merkezi kuralının, dışlanan orta ve çift olumsuzlama ortadan kaldırılması yasasının eksikliğidir. Bunların matematik pratiği için o kadar önemli olduğu düşünülür ki, David Hilbert onlar hakkında şöyle yazmıştır: "Matematikçiden dışlanan orta ilkesini almak, diyelim ki, teleskobu astronoma ya da boksöre Varlık ifadelerini ve dışlanmış orta ilkesini yasaklamak, matematik biliminden tamamen vazgeçmekle eşdeğerdir."

Dışlanan orta ve çift olumsuzlama ortadan kaldırılmasının değerli kurallarını kullanamamanın getirdiği ciddi zorluklara rağmen, sezgisel mantığın pratik kullanımı vardır. Bunun bir nedeni, kısıtlamalarının varlık özelliğine sahip kanıtlar üretmesi ve onu diğer matematiksel yapılandırmacılık biçimleri için de uygun hale getirmesidir . Gayri resmi olarak bu, bir nesnenin var olduğuna dair yapıcı bir kanıt varsa, bu yapıcı kanıtın o nesnenin bir örneğini oluşturmak için bir algoritma olarak kullanılabileceği anlamına gelir; bu ilke, kanıtlar ve algoritmalar arasında Curry-Howard yazışması olarak bilinir . Sezgisel mantığın bu özel yönünün bu kadar değerli olmasının bir nedeni, uygulayıcıların ispat yardımcıları olarak bilinen çok çeşitli bilgisayarlı araçları kullanmalarını sağlamasıdır . Bu araçlar, kullanıcılarına , boyutları genellikle matematiksel bir kanıtı yayınlamaya ve gözden geçirmeye giden olağan insan temelli kontrolü engelleyen büyük ölçekli kanıtların doğrulanmasında (ve üretilmesinde ) yardımcı olur . Bu nedenle, ispat yardımcılarının ( Agda veya Coq gibi ) kullanımı, modern matematikçilerin ve mantıkçıların, yalnızca elle oluşturulup kontrol edilebileceklerin ötesinde, son derece karmaşık sistemler geliştirmelerini ve kanıtlamalarını sağlıyor. Resmi doğrulama olmadan tatmin edici bir şekilde doğrulanması imkansız olan bir kanıt örneği, dört renk teoreminin ünlü kanıtıdır . Bu teorem yüz yıldan fazla bir süredir matematikçileri şaşırttı, ta ki büyük olası karşı-örnek sınıflarını ekarte eden bir ispat geliştirilinceye kadar, ancak yine de ispatı tamamlamak için bir bilgisayar programına ihtiyaç duyulmasına yetecek kadar açık bıraktı. Bu kanıt bir süre tartışmalıydı, ancak daha sonra Coq kullanılarak doğrulandı.

Sözdizimi

Sözdizimi sezgisel mantık formüller benzer önerme mantığı ya da birinci derece mantık . Ancak, sezgisel bağlaçlar aynı şekilde birbirlerine açısından tanımlanabilen olmayan klasik mantık dolayısıyla onların seçimi önemli. Sezgisel önerme mantığında (IPL) →, ∧, ∨, ⊥'yi temel bağlaçlar olarak kullanmak, ¬ A'yı ( A → ⊥) kısaltması olarak ele almak gelenekseldir . Sezgisel birinci dereceden mantıkta her iki niceleyici ∃, ∀ gereklidir.

Klasik mantıktan daha zayıf

Sezgisel mantık, klasik mantığın zayıflaması olarak anlaşılabilir, yani bir akıl yürütenin çıkarım yapmasına izin verdiği şeyde daha tutucudur ve klasik mantık altında yapılamayacak yeni çıkarımlara izin vermez. Sezgisel mantığın her teoremi, klasik mantıkta bir teoremdir, ancak tersi değildir. Birçok totolojilerdir klasik mantık intuitionistic mantığında teoremleri değildir - özellikle de, hem Sezgicilik baş hedeflerinden biri sigara yapıcı kullanımını vitiate olarak orta hariç So kanununu beyan vermemektir, yukarıda adı geçen çelişki tarafından ispat , hangi var olduğunu kanıtladığı nesnelerin açık örneklerini sağlamadan varlık iddialarını sağlamak için kullanılabilir. "Olumlama" diyoruz, çünkü yasanın herhangi bir bağlamda desteklendiği mutlaka doğru olmasa da, hiçbir karşı örnek verilemez: böyle bir karşı örnek, klasik yasada izin verilmeyen bir çıkarım (belirli bir önerme için yasanın olumsuzlanması çıkarımı) olacaktır. mantık ve dolayısıyla sezgici mantık gibi katı bir zayıflamaya izin verilmez. Gerçekten de, yasanın çifte olumsuzlaması, sistemin bir totolojisi olarak korunur: yani, önermeden bağımsız olan bir teoremdir . ${\displaystyle \neg [\neg (P\vee \neg P)]}$${\görüntüleme stili P}$

sıralı hesap

Gerhard Gentzen , LK sisteminin basit bir kısıtlamasının (klasik mantık için sıralı hesabı) sezgisel mantığa göre sağlam ve eksiksiz bir sistemle sonuçlandığını keşfetti. Bu sisteme LJ adını verdi. LK'de, bir dizinin sonuç tarafında herhangi bir sayıda formülün görünmesine izin verilir; aksine LJ bu pozisyonda en fazla bir formüle izin verir.

LK'nin diğer türevleri, sezgisel türevlerle sınırlıdır, ancak yine de bir dizide çoklu sonuçlara izin verir. LJ' bir örnektir.

Hilbert tarzı hesap

Sezgisel mantık, aşağıdaki Hilbert tarzı hesap kullanılarak tanımlanabilir . Bu, klasik önermeler mantığını aksiyomlaştırmanın bir yoluna benzer .

Önerme mantığında, çıkarım kuralı modus ponens'tir.

• MP: gelen ve çıkarım${\görüntüleme stili\phi }$${\görüntüleme stili\phi \to\psi }$${\görüntüleme stili\psi }$

ve aksiyomlar

• SONRA-1: ${\displaystyle \phi \to (\chi \to \phi )}$
• SONRA-2: ${\displaystyle (\phi \to (\chi \to \psi ))\to ((\phi \to \chi )\to (\phi \to \psi ))}$
• VE 1: ${\displaystyle \phi \land \chi \to \phi }$
• VE 2: ${\displaystyle \phi \land \chi \to \chi }$
• VE-3: ${\displaystyle \phi \to (\chi \to (\phi \land \chi ))}$
• VEYA-1: ${\displaystyle \phi \to \phi \lor \chi }$
• VEYA-2: ${\displaystyle \chi \to \phi \lor \chi }$
• VEYA-3: ${\displaystyle (\phi \to \psi )\to ((\chi \to\psi )\to ((\phi \lor\chi )\to \psi ))}$
• YANLIŞ: ${\displaystyle \bot \to\phi }$

Bunu bir birinci dereceden yüklem mantığı sistemi yapmak için genelleme kuralları

• ${\ Displaystyle \ forall }$-GEN: çıkarımdan , eğer serbest değilse${\görüntüleme stili \psi \to\phi }$${\displaystyle \psi \to (\forall x\ \phi )}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili\psi }$
• ${\görüntüleme stili \var }$-GEN: çıkarımdan , eğer serbest değilse${\görüntüleme stili\phi \to\psi }$${\görüntüleme stili (\vardır x\ \phi )\to\psi }$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili\psi }$

aksiyomlarla birlikte eklenir

• PRED-1: terimi ise değişken için ikame işlemi için serbest olduğunu içinde (diğer bir deyişle, herhangi bir değişken herhangi bir olay eğer bağlanmış olur )${\displaystyle (\forall x\ \phi (x))\to \phi (t)}$${\görüntüleme stili t}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili\phi }$${\görüntüleme stili t}$${\görüntüleme stili \phi (t)}$
• PRED-2: , PRED-1 ile aynı kısıtlama ile${\displaystyle \phi (t)\to (\vardır x\ \phi (x))}$

İsteğe bağlı bağlantılar

olumsuzlama

Bir kısaltma olarak düşünmek yerine olumsuzlama için bir bağlaç eklemek isterse , şunu eklemek yeterlidir: ${\görüntüleme stili \l değil }$${\displaystyle \phi \to \bot }$

• NOT-1': ${\displaystyle (\phi \to \bot )\to \lnot \phi }$
• NOT-2': ${\displaystyle \lnot \phi \to (\phi \to \bot )}$

Bağlayıcıyı (yanlış) atlamak istersek, bir dizi alternatif mevcuttur . Örneğin, üç aksiyom FALSE, NOT-1' ve NOT-2' yerine iki aksiyom kullanılabilir. ${\görüntüleme stili\bot }$

• NOT-1: ${\displaystyle (\phi \to \chi )\to ((\phi \to \lnot \chi )\to \lnot \phi )}$
• NOT-2: ${\displaystyle \phi \to (\lnot \phi \to \chi )}$

Önermeler hesabında olduğu gibi § Aksiyomlar . NOT-1'e alternatifler veya . ${\displaystyle (\phi \to \lnot \chi )\to (\chi \to \lnot \phi )}$${\displaystyle (\phi \to \lnot \phi )\to \lnot \phi }$

denklik

Bağ denklik için olan bir kısaltma olarak kabul edilebilir bekletildikten . Alternatif olarak, aksiyomlar da eklenebilir. ${\görüntüleme stili \sol sağ ok }$${\ Displaystyle \ phi \ leftrightarrow \ chi }$${\displaystyle (\phi \to \chi )\land (\chi \to \phi )}$

• IFF-1: ${\displaystyle (\phi \leftrightarrow \chi )\to (\phi \to \chi )}$
• IFF-2: ${\displaystyle (\phi \leftrightarrow \chi )\to (\chi \to \phi )}$
• IFF-3: ${\displaystyle (\phi \to \chi )\to ((\chi \to\phi )\to (\phi \leftrightarrow \chi ))}$

IFF-1 ve IFF-2, istenirse, bağlaç kullanılarak tek bir aksiyom halinde birleştirilebilir . ${\displaystyle (\phi \leftrightarrow \chi )\to ((\phi \to \chi )\land (\chi \to \phi ))}$

Klasik mantıkla ilişkisi

Klasik mantık sistemi, aşağıdaki aksiyomlardan herhangi birinin eklenmesiyle elde edilir:

• ${\görüntüleme stili \phi \lor \l değil\phi }$(Dışlanan ortanın yasası. olarak da formüle edilebilir .)${\displaystyle (\phi \to \chi )\to ((\lnot \phi \to \chi )\to \chi )}$
• ${\görüntüleme stili \l değil\phi \phi \phi }$ (Çifte olumsuzlama eleme)
• ${\displaystyle ((\phi \to \chi )\to \phi )\to\phi }$( Peirce yasası )
• ${\displaystyle (\lnot \phi \to \lnot \chi )\to (\chi \to \phi )}$ (çelişki yasası)

Genel olarak, iki elemanlı Kripke çerçevesinde geçerli olmayan (başka bir deyişle Smetanich'in mantığında yer almayan) herhangi bir klasik totoloji ekstra aksiyom olarak alınabilir . ${\displaystyle \circ {\longrightarrow }\circ }$

Başka bir ilişki, klasik birinci dereceden mantığın sezgisel mantığa yerleştirilmesini sağlayan Gödel-Gentzen negatif çevirisi tarafından verilir : birinci dereceden bir formül, klasik mantıkta ancak ve ancak Gödel-Gentzen çevirisi sezgisel olarak kanıtlanabilirse kanıtlanabilir. Bu nedenle, sezgisel mantık, klasik mantığın yapıcı anlambilimle genişletilmesinin bir aracı olarak görülebilir.

1932'de Kurt Gödel , klasik ve sezgisel mantık arasında bir ara mantık sistemi tanımladı; Gödel mantığı, aynı zamanda ara mantık olarak da bilinir .

Operatörlerin tanımlanamazlığı

Klasik önermeler mantığında, birini almak mümkündür birlikte , disjunction veya dolaylı ilkel ve birlikte bu açısından diğer iki tanımlar reddi gibi olduğu gibi, Lukasiewicz sitesindeki önerme mantık üç aksiyomlarından . Dörtünü de Peirce oku (NOR) veya Sheffer vuruşu (NAND) gibi tek bir yeterli operatör açısından tanımlamak bile mümkündür . Benzer şekilde, klasik birinci mertebeden mantıkta, niceleyicilerden biri diğeri ve olumsuzlama cinsinden tanımlanabilir.

Bunlar temelde , tüm bu tür bağlaçları yalnızca Boole işlevleri yapan çift ​​değerlilik yasasının sonuçlarıdır . Sezgisel mantıkta çift değerlilik yasasının geçerli olması gerekmez, yalnızca çelişkisizlik yasası vardır . Sonuç olarak, temel bağlaçların hiçbirinden vazgeçilemez ve yukarıdaki aksiyomların tümü gereklidir. Bazıları her iki yönde de teoremler olsa da, klasik özdeşliklerin çoğu yalnızca bir yönde sezgisel mantığın teoremleridir. Bunlar aşağıdaki gibidir:

Bağlantıya karşı ayrılma:

• ${\displaystyle (\phi \kama \psi )\to \neg (\neg \phi \vee \neg \psi )}$
• ${\displaystyle (\phi \v\psi )\to \neg (\neg \phi \kama \neg \psi )}$
• ${\displaystyle (\neg \phi \vee \neg \psi )\to \neg (\phi \wedge \psi )}$
• ${\displaystyle (\neg \phi \kama \neg \psi )\sol sağ ok \neg (\phi \vee \psi )}$

Bağlaç ve ima:

• ${\displaystyle (\phi \kama \psi )\to \neg (\phi \to \neg \psi )}$
• ${\displaystyle (\phi \to \psi )\to \neg (\phi \kama \neg \psi )}$
• ${\displaystyle (\phi \kama \neg \psi )\to \neg (\phi \to \psi )}$
• ${\displaystyle (\phi \to \neg \psi )\sol sağ ok \neg (\phi \wedge \psi )}$

Ayrılmaya karşı ima:

• ${\displaystyle (\phi \vee \psi )\to (\neg \phi \to \psi )}$
• ${\displaystyle (\neg \phi \vee \psi )\to (\phi \to \psi )}$

Evrensel ve varoluşsal niceleme:

• ${\displaystyle (\forall x\ \phi (x))\to \neg (\vardır x\ \neg \phi (x))}$
• ${\displaystyle (\vardır x\ \phi (x))\to \neg (\forall x\ \neg \phi (x))}$
• ${\displaystyle (\vardır x\ \neg \phi (x))\to \neg (\tüm x\ \phi (x))}$
• ${\displaystyle (\forall x\ \neg \phi (x))\leftrightarrow \neg (\vardır x\ \phi (x))}$

Dolayısıyla, örneğin, "a veya b", "a değilse, o zaman b"den daha güçlü bir önerme formülüdür, oysa bunlar klasik olarak birbirinin yerine kullanılabilir. Öte yandan, "(a veya b) değil", "a değil ve ayrıca b değil" ile eşdeğerdir.

Denkliği bağlaçlar listesine dahil edersek, bağlaçlardan bazıları diğerlerinden tanımlanabilir hale gelir:

• ${\displaystyle (\phi \leftrightarrow \psi )\leftrightarrow ((\phi \to\psi )\land (\psi \to\phi ))}$
• ${\displaystyle (\phi \to\psi )\leftrightarrow ((\phi \lor\psi )\leftrightarrow \psi )}$
• ${\displaystyle (\phi \to \psi )\leftrightarrow ((\phi \land \psi )\leftrightarrow \phi )}$
• ${\displaystyle (\phi \land \psi )\leftrightarrow ((\phi \to\psi )\leftrightarrow \phi )}$
• ${\displaystyle (\phi \land \psi )\leftrightarrow (((\phi \lor\psi )\leftrightarrow \psi )\leftrightarrow \phi )}$

Özellikle {∨, ↔, ⊥} ve {∨, ↔, ¬}, sezgisel bağlaçların eksiksiz temelleridir.

Alexander V. Kuznetsov'un gösterdiği gibi, aşağıdaki bağlaçlardan herhangi biri - birincisi üçlü, ikincisi beşli - kendi başına işlevsel olarak eksiksizdir : her ikisi de sezgisel önerme mantığı için tek yeterli operatör rolüne hizmet edebilir, böylece bir analog oluşturur. arasında Sheffer inme klasik önermeler mantıktan:

• ${\displaystyle ((p\lor q)\land \neg r)\lor (\neg p\land (q\leftrightarrow r))),}$
• ${\displaystyle p\to (q\land \neg r\land (s\lor t))).}$

anlambilim

Anlambilim, klasik duruma göre daha karmaşıktır. Bir model teorisi, Heyting cebirleri veya eşdeğer olarak Kripke semantiği ile verilebilir . Son zamanlarda, Bob Constable tarafından Tarski benzeri bir model teorisinin tamamlandığı kanıtlandı , ancak klasikten farklı bir bütünlük kavramıyla.

Sezgisel mantıkta kanıtlanmamış ifadelere bir ara doğruluk değeri verilmez (bazen yanlışlıkla iddia edildiği gibi). 1928'de Glivenko'ya dayanan bir sonuç olarak, bu tür ifadelerin üçüncü bir doğruluk değerine sahip olmadığı kanıtlanabilir . Bunun yerine, kanıtlanıncaya ya da çürütülene kadar bilinmeyen doğruluk değeri olarak kalırlar. İfadeler, onlardan bir çelişki çıkarılarak çürütülür.

Bu bakış açısının bir sonucu, sezgici mantığın, bilindik anlamda, iki değerli bir mantık, hatta sonlu değerli bir mantık olarak bile yorumunun olmamasıdır. Sezgisel mantık , klasik mantığın önemsiz önermelerini muhafaza etse de , bir önerme formülünün her kanıtı geçerli bir önerme değeri olarak kabul edilir, bu nedenle Heyting'in kümeler olarak önermeler kavramına göre, önerme formülleri (potansiyel olarak sonlu olmayan) kanıtlarının kümeleridir. ${\displaystyle \{\top ,\bot \}}$

Heyting cebir semantiği

Klasik mantıkta genellikle bir formülün alabileceği doğruluk değerlerini tartışırız . Değerler genellikle bir Boole cebrinin üyeleri olarak seçilir . Karşılamak ve birleştirme biçiminin bir formül değeri böylece, Boole cebri operasyonları ∧ ve ∨ mantıksal connectives ile tanımlanır bir ∧ B değeri bir araya olan A ve değeri B Boole cebrinde. O zaman, bir formülün, ancak ve ancak değeri her değerleme için, yani değişkenlerine herhangi bir değer ataması için 1 ise, geçerli bir klasik mantığın önermesi olduğuna dair yararlı bir teoremimiz olur.

Karşılık gelen bir teorem sezgisel mantık için doğrudur, ancak her formüle bir Boole cebirinden bir değer atamak yerine, Boole cebirlerinin özel bir durumu olduğu bir Heyting cebirinden değerler kullanılır . Sezgisel mantıkta bir formül, ancak ve ancak herhangi bir Heyting cebrindeki herhangi bir değerleme için en üst öğenin değerini alırsa geçerlidir.

Geçerli formülleri tanımak için, elemanları gerçek R doğrusunun açık altkümeleri olan tek bir Heyting cebirini dikkate almanın yeterli olduğu gösterilebilir . Bu cebirde elimizde:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Değer}}[\bot ]&=\emptyset \\{\text{Değer}}[\top ]&=\mathbf {R} \\{\text{ Değer}}[A\land B]&={\text{Değer}}[A]\cap {\text{Değer}}[B]\\{\text{Değer}}[A\lor B]&= {\text{Değer}}[A]\cup {\text{Değer}}[B]\\{\text{Değer}}[A\to B]&={\text{int}}\left({ \text{Değer}}[A]^{\complement }\cup {\text{Değer}}[B]\sağ)\end{hizalı}}}$

burada int ( X ) olan bir iç ve X ve X ^∁ onun tamamlayıcı .

A → B ile ilgili son özdeşlik , ¬ A değerini hesaplamamızı sağlar :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Değer}}[\neg A]&={\text{Değer}}[A\to \bot ]\\&={\text{int}}\left ({\text{Değer}}[A]^{\complement }\cup {\text{Değer}}[\bot ]\sağ)\\&={\text{int}}\left({\text{ Değer}}[A]^{\complement }\cup \emptyset \right)\\&={\text{int}}\left({\text{Değer}}[A]^{\complement }\right) \end{hizalanmış}}}$

Bu atamalarla, sezgisel olarak geçerli formüller, tam olarak tüm satırın değerine atanan formüllerdir. Örneğin, ¬( A ∧ ¬ A ) formülü geçerlidir, çünkü A formülünün değeri olarak hangi X kümesi seçilirse seçilsin , ¬( A ∧ ¬ A ) değerinin tüm satırın olduğu gösterilebilir:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Değer}}[\neg (A\land \neg A)]&={\text{int}}\left({\text{Değer}}[A\ arazi \neg A]^{\complement }\right)&&{\text{Değer}}[\neg B]={\text{int}}\left({\text{Değer}}[B]^{\ tamamlayıcı }\sağ)\\&={\text{int}}\left(\left({\text{Değer}}[A]\cap {\text{Değer}}[\neg A]\sağ)^ {\complement }\right)\\&={\text{int}}\left(\left({\text{Değer}}[A]\cap {\text{int}}\left({\text{) Değer}}[A]^{\complement }\sağ)\sağ)^{\complement }\sağ)\\&={\text{int}}\left(\left(X\cap {\text{int }}\sol(X^{\complement }\sağ)\sağ)^{\complement }\sağ)\\&={\text{int}}\sol(\emptyset ^{\complement }\sağ)&& {\text{int}}\left(X^{\complement }\right)\subseteq X^{\complement }\\&={\text{int}}(\mathbf {R} )\\&=\ mathbf {R} \end{hizalı}}}$

Dolayısıyla bu formülün değerlendirmesi doğrudur ve gerçekten de formül geçerlidir. Ama dışlanmış orta, kanunu A ∨ ¬ A , olduğu gösterilebilir geçersiz pozitif reel sayılar kümesinin belirli bir değer kullanarak A :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Değer}}[A\lor \neg A]&={\text{Değer}}[A]\cup {\text{Değer}}[\neg A] \\&={\text{Değer}}[A]\cup {\text{int}}\left({\text{Değer}}[A]^{\complement }\right)&&{\text{Değer }}[\neg B]={\text{int}}\left({\text{Değer}}[B]^{\tamamlayıcı }\sağ)\\&=\{x>0\}\cup { \text{int}}\left(\{x>0\}^{\complement }\right)\\&=\{x>0\}\cup {\text{int}}\left(\{x \leqslant 0\}\right)\\&=\{x>0\}\cup \{x<0\}\\&=\{x\neq 0\}\\&\neq \mathbf {R} \end{hizalanmış}}}$

Yorumlama sonsuz Heyting cebir herhangi intuitionistically geçerli formül ne olursa olsun formülün değişkenlere atanan hangi cebir gelen değerleri arasında, formül değerleme olarak, gerçek temsil eden üst elemanda sonuçlarının yukarıda açıklanan. Tersine, her geçersiz formül için, üst öğeden farklı bir değerleme sağlayan değişkenlere bir değer ataması vardır. Hiçbir sonlu Heyting cebiri bu iki özellikten ikincisine sahip değildir.

Kripke semantiği

Modal mantığın semantiği üzerine yaptığı çalışmalara dayanarak , Saul Kripke sezgisel mantık için Kripke semantiği veya ilişkisel semantik olarak bilinen başka bir semantik yarattı.

Tarski benzeri anlambilim

Sezgisel mantık için Tarski benzeri anlambilimin eksiksiz kanıtlanmasının mümkün olmadığı keşfedildi. Bununla birlikte, Robert Constable , Tarski benzeri bir model altında daha zayıf bir bütünlük kavramının sezgisel mantık için hala geçerli olduğunu göstermiştir. Bu bütünlük kavramında, her model için doğru olan tüm ifadelerle değil, her modelde aynı şekilde doğru olan ifadelerle ilgileniyoruz . Yani, modelin bir formülün doğru olduğuna karar verdiğine dair tek bir kanıt her model için geçerli olmalıdır. Bu durumda, yalnızca eksiksizliğin bir kanıtı değil, aynı zamanda sezgisel mantığa göre geçerli olan bir kanıt vardır.

Diğer mantıklarla ilişkisi

Sezgisel mantık, dualite ile Brezilya , anti-sezgisel veya çift-sezgisel mantık olarak bilinen para - tutarlı bir mantıkla ilişkilidir .

Sezgisel mantığın YANLIŞ aksiyomunun kaldırıldığı alt sistemi minimal mantık olarak bilinir .

Çok değerli mantıkla ilişkisi

Kurt Gödel'in çok değerli mantığı içeren çalışması 1932'de sezgisel mantığın sonlu değerli bir mantık olmadığını gösterdi . ( Sezgisel mantığın sonsuz değerli bir mantık yorumu için yukarıdaki Heyting cebir semantiği başlıklı bölüme bakın .)

Ara mantıkla ilişkisi

Boole cebrine eşdeğer olmayan herhangi bir sonlu Heyting cebri, (anlamsal olarak) bir ara mantık tanımlar . Öte yandan, saf sezgisel mantıkta formüllerin geçerliliği, herhangi bir bireysel Heyting cebirine bağlı değildir, aynı zamanda herhangi bir ve tüm Heyting cebirleriyle ilgilidir.

Modal mantıkla ilişkisi

Sezgisel önerme mantığının (IPC) herhangi bir formülü, aşağıdaki gibi normal modal mantık S4'e çevrilebilir :

${\displaystyle {\begin{aligned}\bot ^{*}&=\bot \\A^{*}&=\Box A&&{\text{if }}A{\text{ asaldır (pozitif bir değişmez) }}\\(A\kama B)^{*}&=A^{*}\kama B^{*}\\(A\vee B)^{*}&=A^{*}\vee B ^{*}\\(A\to B)^{*}&=\Box \sol(A^{*}\to B^{*}\sağ)\\(\neg A)^{*}& =\Box (\neg (A^{*}))&&\neg A:=A\to \bot \end{hizalı}}}$

ve ancak ve ancak orijinal formülün IPC'de geçerli olması durumunda, çevrilen formülün önerme kipsel mantık S4'te geçerli olduğu gösterilmiştir. Yukarıdaki formül grubuna Gödel–McKinsey–Tarski çevirisi denir .

Yapıcı Modal Mantık CS4 adlı modal mantık S4'ün sezgisel bir sürümü de vardır.

Lambda hesabı

IPC ve basit tip lambda hesabı arasında genişletilmiş bir Curry-Howard izomorfizmi vardır .

Ayrıca bakınız

• BHK yorumlama
• hesaplanabilirlik mantığı
• yapıcı kanıt
• Curry-Howard yazışmaları
• Oyun semantiği
• yaşadığı küme
• orta seviye mantık
• Sezgisel tip teorisi
• Kripke semantiği
• Doğrusal mantık
• tutarsız mantık
• uygunluk teorisi
• Pürüzsüz sonsuz küçük analiz

Notlar

Referanslar

Dış bağlantılar

• Stanford Felsefe Ansiklopedisi :Joan Moschovakis tarafından" Sezgisel Mantık "
• Sezgisel Mantık , Nick Bezhanishvili ve Dick de Jongh (Amsterdam Üniversitesi Mantık, Dil ve Hesaplama Enstitüsü'nden )
• Sezgisel Mantığın Semantik Analizi I Harvard Üniversitesi'nden Saul A. Kripke , Cambridge, Mass., ABD
• Sezgisel Mantık , Dirk van Dalen
• EW Beth'in sezgisel mantık için semantiğinin AS Troelstra ve P. van Ulsen tarafından keşfi
• Veritabanı Sorgularını Sezgisel Mantıkla İfade Etmek , Anthony J. Bonner. L. Thorne McCarty. Kumar Vadaparty. Rutgers Üniversitesi, Bilgisayar Bilimleri Bölümü
• S4-çeviri yoluyla sezgisel mantık için Tableaux yöntemi , önerme formüllerinin sezgisel geçerliliğini test eder; Laboratoire d'Informatique de Grenoble tarafından sağlanan
• Oxford Matematik ve Mantık Felsefesi El Kitabı :David Charles McCarty tarafından "Matematikte Sezgicilik"