Dörtyüzlü simetri - Tetrahedral symmetry

Üç boyutlu nokta grupları

Evrimsel simetri C s , (*) [ ] =	Döngüsel simetri C nv , (*nn) [n] =	Dihedral simetri D nh , (*n22) [n,2] =
Çokyüzlü grup , [n,3], (*n32)
Tetrahedral simetri T d , (* 332) [3,3] =	Oktahedral simetri O h , (*432) [4,3] =	İkozahedral simetri I h , (*532) [5,3] =

Düzenli bir tetrahedron , tam tetrahedral simetriye sahip bir katı örneği

Düzenli bir tetrahedron , 12 rotasyonel (veya oryantasyonu koruyan ) simetriye ve bir yansıma ve bir dönüşü birleştiren dönüşümleri içeren 24 simetri düzenine sahiptir.

Tüm simetrileri grup grubu S izomorf ₄ , simetrik grubunun tetrahedron köşelerin her biri permütasyon için sadece bir tane simetri olduğu için, dört nesnelerin permütasyon. Yönlendirme koruyucu simetrileri formlarının grubu, bir grup olarak adlandırılan değişken alt-grup A ₄ S ₄ .

Detaylar

Kiral ve tam (veya aşiral tetrahedral simetri ve piritoedral simetri ) ayrık nokta simetrileridir (veya eşdeğer olarak, küre üzerindeki simetrilerdir ). Bunlar arasında kristalografik nokta gruplarının arasında kübik kristal sistemi .

dönme eksenleri

Cı- 3	Cı- 3	Cı- 2
2	2	3

Stereografik izdüşümde görülen tetrakis altı yüzlünün kenarları düzlemde 6 daire (veya merkezi olarak radyal çizgiler) oluşturur. Bu 6 dairenin her biri, tetrahedral simetride bir ayna çizgisini temsil eder. Bu çemberlerin kesişimi 2. ve 3. sıradaki dönme noktalarında buluşur.

Dikey	Stereografik projeksiyonlar
	4 kat	3 kat	2 kat
Kiral tetrahedral simetri, T, (332), [3,3] + = [1 + ,4,3 + ], =
Piritoedral simetri, T h , (3*2), [4,3 + ],
Aşiral yüzlü simetri T d , (* 332), [3,3] = [1 + 4,3], =

Kiral tetrahedral simetri

Temel etki alanına sahip tetrahedral rotasyon grubu T ; triakis tetrahedron için aşağıya bakınız, ikincisi bir tam yüzdür

Bir tetrahedron tek başına döndürülerek 12 farklı konuma yerleştirilebilir . Bu, yukarıda gösterilmektedir döngü grafiği 180 ° kenarı (mavi oklar) ve 120 ° tepe (kırmızımsı oklar) yanı sıra, format dönüş permute bu konumlarda ile Tetrahedron.

Olarak tetrakis hexahedrondan bir tam yüz temel etki alanı; aynı simetriye sahip diğer katılar, yüzlerin oryantasyonunu ayarlayarak, örneğin her bir alt kümeyi bir yüz halinde birleştirmek için seçilen yüz alt kümelerini düzleştirerek veya her yüzü birden fazla yüz veya eğri bir yüzeyle değiştirerek elde edilebilir.

T , 332 , [3,3] ⁺ veya 23 , düzen 12 – kiral veya rotasyonel tetrahedral simetri . Kiral dihedral simetri D ₂ veya 222 gibi, ekolarak üç ortogonal yön arasında ortalanmış dört adet 3 katlı eksen ile birlikteüç adet ortogonal 2 katlı dönme ekseni vardır. Bu grup izomorfik için A ₄ , alternatif grubu 4 elemanlarına; aslındadört 3 katlı eksenin çift ​​permütasyon grubudur: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), , (12)(34), (13)(24), (14)(23).

Eşlenik sınıfları T şunlardır:

• Kimlik
• 4 × saat yönünde 120° dönüş (bir tepe noktasından bakıldığında): (234), (143), (412), (321)
• 4 × saat yönünün tersine 120° döndürme (aynen)
• 3 × 180° dönüş

180 ° dönüşleri ° birlikte kimliği ile bir formu , normal bir alt grubunu Dih Çeşidi ₂ ile, bölüm grup türü Z'nin ₃ . İkincisinin üç öğesi, ortogonal 2 katlı eksenin permütasyonlarına karşılık gelen, yönelimi koruyarak özdeşlik, "saat yönünde dönüş" ve "saat yönünün tersine dönüş"tür.

A ₄ , Lagrange teoreminin tersinin genel olarak doğru olmadığını gösteren en küçük gruptur : sonlu bir G grubu ve bir bölen d | G |, G'nin d dereceli bir alt grubu olması gerekmez : G = A ₄ grubunun 6. dereceden bir alt grubu yoktur. yüzlü simetri çünkü: kiralite alt grup C olması gerekir ₆ ya da D ₃ , fakat ikisi de geçerlidir.

Kiral tetrahedral simetrinin alt grupları

Kiral tetrahedral simetri alt grupları

Schoe.	coxeter		Küre	HM	jeneratörler	Yapı	döngü	Emir	dizin
T	[3,3] +	=	332	23	2	bir 4		12	1
D 2.	[2,2] +	=	222	222	3	D 4		4	3
Cı- 3	[3] +		33	3	1	Z 3		3	4
Cı- 2	[2] +		22	2	1	Z 2		2	6
Cı 1.	[ ] +		11	1	1	Z 1		1	12

Aşiral tetrahedral simetri

Temel etki alanına sahip tam tetrahedral grup T _d

T _d , * 332 , [3,3] ya da 4 3m, sırayla 24 - aşiral veya tam yüzlü simetri da (2,3,3) olarak bilinen, üçgen grubu . Bu grup, T ile aynı dönme eksenlerine sahiptir, ancak her biri iki 3 katlı eksen boyunca altı ayna düzlemi vardır. 2 katlı eksenler artık S ₄ ( 4 ) eksenlerdir. T _D ve O soyut grupları gibi izomorfik: bunlar S hem de tekabül ₄ , simetrik grubunun 4 nesneleri. T _d , T'nin birleşimidir ve O \ T'nin her bir öğesinin inversiyonla birleştirilmesiyle elde edilen kümedir. Ayrıca düzenli tetrahedronun izometrilerine bakın .

Eşlenik sınıfları T _d gibidir:

• Kimlik
• 8 × 120° dönüş (C ₃ )
• 3 × 180° dönüş (C ₂ )
• İki dönme ekseni boyunca bir düzlemde 6 × yansıma (C _s )
• 6 × 90° rotor yansıması (S ₄ )

Aşiral tetrahedral simetrinin alt grupları

Aşiral tetrahedral alt gruplar

Schoe.	coxeter		Küre	HM	jeneratörler	Yapı	döngü	Emir	dizin
T d	[3,3]		*332	4 3m	3	S 4		24	1
C 3v	[3]		*33	3m	2	D 6 = S 3		6	4
C 2v	[2]		*22	mm2	2	D 4		4	6
C s	[ ]		*	2 veya m	1	Z, 2 = D 2		2	12
D 2d	[2 + ,4]		2*2	4 2m	2	D 8		8	3
S 4	[2 + ,4 + ]		2×	4	1	Z 4		4	6
T	[3,3] +		332	23	2	bir 4		12	2
D 2.	[2,2] +		222	222	2	D 4		4	6
Cı- 3	[3] +		33	3	1	Z, 3 = bir 3		3	8
Cı- 2	[2] +		22	2	1	Z 2		2	12
Cı 1.	[ ] +		11	1	1	Z 1		1	24

piritoedral simetri

Temel etki alanına sahip piritohedral grup T _h

Voleybolun dikiş yerleri piritohedral simetriye sahiptir.

T _h , 3*2 , [4,3 ⁺ ] veya m 3 , düzen 24 – piritoedral simetri . Bu grup, dik yönlerin ikisi boyunca ayna düzlemleri ile T ile aynı dönme eksenlerine sahiptir. 3 katlı eksenler artık S ₆ ( 3 ) eksenlerdir ve merkezi bir ters çevirme simetrisi vardır. T _h izomorf T x Z ₂ : T her eleman _h ya da ters çevirme ile birleştirilmiş bir T elemanı, ya da birdir. Bu iki normal alt grubun yanı sıra, Dih ₂ × Z ₂ = Z ₂ × Z ₂ × Z ₂ tipinde D _2h (bir küboidinki ) normal bir alt grubu da vardır . T'nin normal alt grubunun (yukarıya bakın) C _i ile doğrudan ürünüdür . Bölüm grubu türü Z'nin: Yukarıdaki aynıdır ₃ . İkincisinin üç öğesi, ortogonal 2 katlı eksenin permütasyonlarına karşılık gelen, yönelimi koruyarak özdeşlik, "saat yönünde dönüş" ve "saat yönünün tersine dönüş"tür.

Her yüzünde bir çizgi parçasının yüzü iki eşit dikdörtgene böldüğü bir küpün simetrisidir, öyle ki bitişik yüzlerin çizgi parçaları kenarda buluşmayacaktır. Simetriler, vücut köşegenlerinin eşit permütasyonlarına karşılık gelir ve aynısı ters çevirme ile birleştirilir. Bu aynı zamanda bir piritohedronun simetrisidir, her dikdörtgenin yerini bir simetri ekseni ve 4 eşit kenarı ve 1 farklı kenarı (küpün yüzünü bölen doğru parçasına karşılık gelen) olan bir beşgenle değiştirilen, açıklanan kübe son derece benzer. ; yani, küpün yüzleri bölme çizgisinden dışarı çıkar ve orada daralır. Tam ikosahedral simetri grubunun bir alt grubudur (sadece soyut grup olarak değil, izometri grubu olarak), 10 adet 3 katlı eksenden 4'ü ile.

T _h'nin eşlenik sınıfları, 4'ün iki sınıfının birleştiği ve her birinin ters çevrildiği T'ninkileri içerir:

• Kimlik
• 8 × 120° dönüş (C ₃ )
• 3 × 180° dönüş (C ₂ )
• ters çevirme (S ₂ )
• 8 × 60° dönüş açısı (S ₆ )
• Bir düzlemde 3 × yansıma (C _s )

Piritoedral simetrinin alt grupları

piritoedral alt gruplar

Schoe.	coxeter		Küre	HM	jeneratörler	Yapı	döngü	Emir	dizin
T h	[3 + ,4]		3*2	m 3	2	Bir 4 x2		24	1
D 2 saat	[2,2]		*222	mmm	3	D 4 x D 2		8	3
C 2v	[2]		*22	mm2	2	D 4		4	6
C s	[ ]		*	2 veya m	1	D 2.		2	12
C 2 saat	[2 + ,2]		2*	2/m	2	Z 2 × D 2		4	6
S 2	[2 + ,2 + ]		×	1	1	Z 2		2	12
T	[3,3] +		332	23	2	bir 4		12	2
D 3.	[2,3] +		322	3	2	D 6		6	4
D 2.	[2,2] +		222	222	3	D 8		4	6
Cı- 3	[3] +		33	3	1	Z 3		3	8
Cı- 2	[2] +		22	2	1	Z 2		2	12
Cı 1.	[ ] +		11	1	1	Z 1		1	24

Kiral tetrahedral simetriye sahip katılar

Bir kalkık tetrahedron olarak renklendirilen ikosahedron , kiral simetriye sahiptir.

Tam tetrahedral simetriye sahip katılar

Sınıf	İsim	Resim	yüzler	Kenarlar	tepe noktaları
Platonik katı	tetrahedron		4	6	4
Arşimet katı	kesik tetrahedron		8	18	12
Katalan katı	triakis tetrahedron		12	18	8
Kaçırılan Johnson katı	Kesik triakis tetrahedron		16	42	28
	dört yüzlü dodekahedron		28	54	28
Tek tip yıldız çokyüzlü	dört yüzlü		7	12	6

Ayrıca bakınız

• oktahedral simetri
• ikosahedral simetri
• İkili tetrahedral grup
• İlgili öğrenmeyi Simetrik grup S4 Vikiversite de

Referanslar

• Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), s. 295
• Şeylerin Simetrileri 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN  978-1-56881-220-5
• Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editörlük F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
• NW Johnson : Geometriler ve Dönüşümler , (2018) ISBN  978-1-107-10340-5 Bölüm 11: Sonlu simetri grupları , 11.5 Küresel Coxeter grupları

Dış bağlantılar

• Weisstein, Eric W. "Tetrahedral grup" . Matematik Dünyası .