Süper partikül oranı - Superparticular ratio

C'de sadece diyatonik yarım ton: 1615 = 15+115 = 1+115

Matematik olarak, bir superparticular oranı , aynı zamanda adı verilen superparticular sayı veya epimoric oranı , olan oranının iki ardışık bir tamsayı numaraları .

Daha özel olarak, oran şu şekli alır:

{\frac {n+1}{n}}=1+{\frac {1}{n}}

burada

n,

a, pozitif bir tamsayıdır .

Böylece:

Bir süper-partikül sayı, büyük bir sayının karşılaştırıldığı daha küçük bir sayıyı ve aynı zamanda onun bir parçasını içermesidir. Örneğin, 3 ve 2 karşılaştırıldığında, 2'yi içerirler, artı 3, ikinin yarısı olan 1'e sahiptir. 3 ve 4 karşılaştırıldığında, her biri 3'ü içerir ve 4, 3'ün üçte biri olan 1'e sahiptir. , 4 sayısının dördüncü kısmı, vb.

— Throop (2006),

Süperpartiküler oranlar, Nicomachus tarafından Aritmetik'e Giriş adlı tezinde yazılmıştır . Bu sayıların modern saf matematikte uygulamaları olmasına rağmen, bu adla süperpartiküler oranlara en sık atıfta bulunulan çalışma alanları müzik teorisi ve matematik tarihidir .

matematiksel özellikler

Olarak Leonard Euler gözlenmiştir, (çoklu superparticular oranları da dahil olmak üzere, bir birim fraksiyonuna dışındaki bir tamsayı eklenerek oluşturulan sayılar) superparticular sayılar tam olarak olan rasyonel sayılardır fraksiyon devam iki dönem sonra sona erer. Sürekli kesri bir terimde sonlanan sayılar tam sayılardır, devam eden kesirlerinde üç veya daha fazla terim bulunan kalan sayılar süperpartilidir .

Wallis ürün

\prod _{n=1}^{\infty }\sol({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\sağ)={ \frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdots ={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {16}{15}}\cdot {\frac { 36}{35}}\cdots =2\cdot {\frac {8}{9}}\cdot {\frac {24}{25}}\cdot {\frac {48}{49}}\cdots ={ \frac {\pi }{2}}

mantıksız sayı temsil $tt$ superparticular oranları ve Ters bir sonucu olarak çeşitli yollarla. π için Leibniz formülünü, her terimin pay olarak bir asal sayıya ve payda olarak dördün en yakın katına sahip olduğu süperpartiküler oranların bir Euler ürününe dönüştürmek de mümkündür :

{\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\ cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdot {\frac {17}{16}}\cdots

Olarak grafik teorisi , superparticular sayı (daha doğrusu kendi tersinin, 1/2, 2/3, 3/4, vb) aracılığı ile ortaya çıkmaktadır erdos-taş teoremi olası değerleri olarak üst yoğunluk sonsuz grafik.

Diğer uygulamalar

Armoni çalışmasında , birçok müzikal aralık süper partikül oranı olarak ifade edilebilir (örneğin, oktav denkliğinden dolayı dokuzuncu armonik 9/1, süper partikül oranı 9/8 olarak ifade edilebilir). Gerçekten de, bir oranın süper-partikül olup olmadığı, Ptolemy'nin müzikal armoni formülasyonundaki en önemli kriterdi . Bu uygulamada, Størmer teoremi , belirli bir limit için tüm olası süperpartiküler sayıları listelemek için kullanılabilir ; yani, hem pay hem de paydanın düzgün sayılar olduğu bu türden tüm oranlar .

Bu oranlar görsel uyum açısından da önemlidir. Boy oranları 2 yaygındır: 4: 3 ve 3 dijital fotoğraf ve 7 en boy oranları 6 ve 5: 4 kullanılan orta format ve geniş formatlı sırasıyla fotoğraf.

Oran adları ve ilgili aralıklar

Her bir bitişik pozitif tamsayı çifti, bir süper-partiküler oranı temsil eder ve benzer şekilde, harmonik dizideki (müzik) her bitişik harmonik çifti, bir süper-partikül oranı temsil eder. Birçok bireysel süperpartikül oranın, ya tarihsel matematikte ya da müzik teorisinde kendi adları vardır. Bunlar aşağıdakileri içerir:

Örnekler
Oran	sent	İsim/müzik aralığı	C'nin üstündeki Ben Johnston gösterimi
2:1	1200	dubleks: oktav	C'
3:2	701.96	sesquialterum: mükemmel beşinci	G
4:3	498.04	sesquitertium: mükemmel dördüncü	F
5:4	386.31	sesquiquartum: büyük üçüncü	E
6:5	315.64	sesquiquintum: minör üçüncü	E ♭
7:6	266.87	septimal minör üçüncü	E ♭
8:7	231.17	septimal majör saniye	D -
9:8	203.91	sesquioctavum: büyük saniye	NS
10:9	182.40	sesquinona: minör ton	D -
11:10	165,00	daha büyük ondalıksız nötr saniye	D ↑ ♭ -
12:11	150.64	daha az ondalık basamaklı nötr saniye	D ↓
15:14	119.44	septimal diyatonik yarım ton	C ♯
16:15	111.73	sadece diyatonik yarım ton	D ♭ -
17:16	104.96	minör diyatonik yarım ton	C ♯
21:20	84.47	septimal kromatik yarım ton	D ♭
25:24	70.67	sadece kromatik yarım ton	C ♯
28:27	62.96	septimal üçüncü ton	D ♭ -
32:31	54.96	31. subharmonik , alt çeyrek ton	D ♭ -
49:48	35.70	septimal ölüm	D ♭
50:49	34.98	septimal altıncı ton	B ♯ -
64:63	27.26	septimal virgül , 63. alt harmonik	C -
81:80	21.51	sintonik virgül	C +
126:125	13.79	septimal yarı virgül	NS
128:127	13.58	127. alt harmonik
225:224	7.71	septimal kleisma	B ♯
256:255	6.78	255. alt harmonik	D -
4375:4374	0.40	ragizma	C ♯ -