Yuvarlanma - Rolling

Animasyon, bir tekerleğin yuvarlanma hareketini iki hareketin üst üste binmesi olarak gösterir: yüzeye göre öteleme ve kendi ekseni etrafında dönme.

Haddeleme a, hareketin türü birleştirmesidir rotasyon (bir bölgesinin genel olarak eksenel olarak simetrik bir nesne) ve çeviri ideal koşullar varsa, iki temas halinde, örneğin, bir yüzeyin (ya bir veya diğer hareket eder), ile ilgili olarak bu nesnenin birbirleriyle kaymadan .

Kaymanın olmadığı yerde haddeleme , saf haddeleme olarak adlandırılır . Tanım gereği, yuvarlanan nesne üzerindeki tüm temas noktalarının, nesnenin yuvarlandığı yüzeydeki karşılıklarıyla aynı hıza sahip olduğu bir referans çerçevesi olduğunda kayma yoktur ; özellikle, yuvarlanan düzlemin hareketsiz olduğu bir referans çerçevesi için (animasyona bakınız), yuvarlanan nesnenin tüm temas noktalarının (örneğin, bir silindirin oluşturucu bir çizgi parçası) anlık hızı sıfırdır.

Uygulamada, temas alanının yakınındaki küçük deformasyonlar nedeniyle, bir miktar kayma ve enerji kaybı meydana gelir. Bununla birlikte, ortaya çıkan yuvarlanma direnci , kayma sürtünmesinden çok daha düşüktür ve bu nedenle, yuvarlanan nesneler, tipik olarak hareket ettirilmek için kayan nesnelerden çok daha az enerji gerektirir . Sonuç olarak, bu tür nesneler, yüzey boyunca bir bileşenle bir kuvvet, örneğin eğimli bir yüzeyde yerçekimi, rüzgar, itme, çekme veya bir motordan gelen tork gibi bir kuvvetle karşılaştıklarında daha kolay hareket edeceklerdir. Silindirik eksenel simetrik nesnelerin aksine , bir koninin yuvarlanma hareketi, düz bir yüzey üzerinde yuvarlanırken, ağırlık merkezi doğrusal bir hareket yerine dairesel bir hareket gerçekleştirecek şekildedir . Yuvarlanan nesneler mutlaka eksenel simetrik değildir. İyi bilinen eksenel olmayan simetrik silindirler, Reuleaux üçgeni ve Meissner gövdeleridir . Oloid ve sphericon özel bir ailenin üyeleridir geliştirilebilir silindirler geliştirmek düz düzlem aşağı yuvarlanan zaman onların tüm yüzeyini. Zar gibi köşeli nesneler , yüzeyle temas halinde olan kenar veya köşede art arda döndürülerek yuvarlanır. Spesifik bir yüzeyin yapısı, mükemmel bir kare tekerleğin bile bir referans düzlemin üzerinde sabit bir yükseklikte merkez noktasıyla yuvarlanmasına izin verir .

Başvurular

Çoğu kara aracı tekerlek kullanır ve bu nedenle yer değiştirme için yuvarlanır. Kayma minimumda tutulmalıdır (tam yuvarlanmaya yakın), aksi takdirde kontrol kaybı ve kaza meydana gelebilir. Bu, yol karla, kumla veya yağla kaplı olduğunda, yüksek hızda dönüş yaparken veya aniden fren yapmaya veya hızlanmaya çalışırken olabilir.

Yuvarlanan nesnelerin en pratik uygulamalarından biri , dönen cihazlarda bilyalı rulmanlar gibi döner elemanlı yatakların kullanılmasıdır. Metalden yapılmış olan yuvarlanma elemanları genellikle birbirinden bağımsız olarak dönebilen iki halka arasına yerleştirilmiştir. Çoğu mekanizmada, iç halka sabit bir mile (veya aksa) tutturulmuştur. Böylece, iç halka sabitken, dış halka çok az sürtünmeyle hareket etmekte serbesttir . Bu, neredeyse tüm motorların (tavan vantilatörlerinde, arabalarda, matkaplarda vb. Bulunanlar gibi) çalışmak için dayandığı temeldir . Mekanizmanın parçalarındaki sürtünme miktarı bilyalı rulmanların kalitesine ve mekanizmada ne kadar yağlama olduğuna bağlıdır.

Yuvarlanan nesneler de nakliye için araçlar olarak sıklıkla kullanılmaktadır . En temel yollardan biri, (genellikle düz) bir nesneyi bir dizi sıralı silindir veya tekerlek üzerine yerleştirmektir . Tekerlekler önde sürekli olarak değiştirildiği sürece tekerlekler üzerindeki nesne düz bir çizgide hareket ettirilebilir (yatakların tarihçesine bakın ). Bu ilkel taşıma yöntemi, başka makine bulunmadığında etkilidir. Günümüzde, nesnelerin tekerlekler üzerindeki en pratik uygulaması arabalar , trenler ve diğer insan ulaşım araçlarıdır.

Basit haddeleme fiziği

Yuvarlanan bir nesnenin noktalarının hızları, temas noktası etrafındaki dönme hızlarına eşittir.

En basit haddeleme durumu, ekseni yüzeye paralel (veya eşdeğer olarak: normal yüzeye dik ) düz bir yüzey boyunca kaymadan yuvarlanmadır .

Herhangi bir noktanın yörüngesi bir trokoiddir ; özellikle, nesne eksenindeki herhangi bir noktanın yörüngesi bir doğru iken, nesne kenarındaki herhangi bir noktanın yörüngesi bir sikloiddir .

Haddeleme nesne içinde herhangi bir noktada hızı ile verilir , burada bir yer değiştirme parçacık ve yüzeyi ile dönme nesnenin temas noktası (ya da çizgi) arasında ve bir açısal hız vektörü . Bu nedenle, bu dönme rağmen farklı sabit bir eksen etrafında dönme , anlık hız aynı açısal hız ile temas noktasından geçen bir eksen etrafında dönen bir sanki haddeleme nesnenin tüm partiküllerin aynıdır. ${\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$

Yuvarlanan nesnede, eksenden temas noktasından daha uzak olan herhangi bir nokta, dönme yüzeyi seviyesinin altında olduğunda (örneğin, bir flenç kısmındaki herhangi bir nokta) geçici olarak genel hareketin yönünün tersine hareket edecektir. rayın altındaki tren tekerleği).

Enerji

Yana kinetik enerji tamamen bir amacı kütlesi ve hızının bir fonksiyonu olan, yukarıdaki sonuç ile birlikte kullanılabilir teoremi bir eksen paralel basit haddeleme ile ilgili kinetik enerji elde etmek için

{\ displaystyle K _ {\ text {yuvarlanma}} = K _ {\ text {çeviri}} + K _ {\ text {rotasyon}}}

Türetme Daha fazla bilgi: Sabit bir eksen etrafında dönme Izin vermek kütle merkezi ile temas noktası arasındaki mesafe; yüzey düz olduğunda, bu nesnenin en geniş kesiti etrafındaki yarıçapıdır. Bu sanki kütle merkezinin hemen hızı olduğundan döner temas noktasında, yaklaşık olarak hızıdır . Simetri nedeniyle nesnenin kütle merkezi, eksenindeki bir noktadır. Izin ataleti olarak saf dönüş daha sonra paralel eksen teoremine göre, simetri ekseni etrafında, dönme eylemsizlik haddeleme ile bağlantılı olan (temas noktası etrafında tam bir rotasyondan dönme ataleti ile aynı). Rotasyonun kinetik enerjisi için genel formülü kullanarak, elimizde: ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle v _ {\ text {com}} = r \ omega}$ ${\ displaystyle I _ {\ text {rotasyon}}}$ ${\ displaystyle I _ {\ text {yuvarlanma}} = bay ^ {2} + I _ {\ text {rotasyon}}}$ ${\ displaystyle {\ başla {hizalı} K _ {\ text {yuvarlanma}} & = {\ frac {1} {2}} I _ {\ text {yuvarlanma}} \ omega ^ {2} \\ & = {\ frac {1} {2}} bay ^ {2} \ omega ^ {2} + {\ frac {1} {2}} I _ {\ text {rotasyon}} \ omega ^ {2} \\ & = {\ frac {1} {2}} m (r \ omega) ^ {2} + {\ frac {1} {2}} I _ {\ text {rotasyon}} \ omega ^ {2} \\ & = {\ frac { 1} {2}} mv _ {\ text {com}} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} I _ {\ text {rotasyon}} \ omega ^ {2} \\ & = K _ {\ metin {çeviri}} + K _ {\ metin {döndürme}} \\\ uç {hizalı}}}$

Kuvvetler ve ivme

Lineer ve açısal ilişkisini farklılaşan hız , zaman ile ilgili olarak doğrusal ve köşeli ilgili bir formül verir hızlanma . Newton'un ikinci yasasını uygulamak : ${\ displaystyle v _ {\ text {com}} = r \ omega}$ ${\ displaystyle a = r \ alpha}$

{\ displaystyle a = {\ frac {F _ {\ text {net}}} {m}} = r \ alpha = {\ frac {r \ tau} {I}}.}

Bundan sonra, nesneyi hızlandırmak için hem net bir kuvvet hem de bir tork gereklidir. Dönen nesne-yüzey sistemine tork içermeyen harici kuvvet etki ettiğinde, yüzey ile yuvarlanan nesne arasındaki temas noktasında, hareket saf yuvarlanma olduğu sürece gerekli torku sağlayan teğetsel bir kuvvet olacaktır; bu kuvvet genellikle statik sürtünmedir , örneğin yol ile tekerlek arasında veya bir bowling şeridi ile bir bowling topu arasında. Statik sürtünme yeterli olmadığında, sürtünme dinamik sürtünmeye dönüşür ve kayma meydana gelir. Teğetsel kuvvet, dış kuvvetin tersi yönündedir ve bu nedenle onu kısmen iptal eder. Ortaya çıkan net kuvvet ve ivme:

{\ displaystyle {\ begin {align} F _ {\ text {net}} & = {\ frac {F _ {\ text {harici}}} {1 + {\ frac {I} {mr ^ {2}}}} } = {\ frac {F _ {\ text {harici}}} {1+ \ left ({\ frac {r _ {\ text {gyr.}}} {r}} \ sağ) ^ {2}}} \\ a & = {\ frac {F _ {\ text {harici}}} {m + {\ frac {I} {r ^ {2}}}}} \ end {hizalı}}}

Türetme

Nesnenin hiçbir tork uygulamayan (0 moment koluna sahip ) bir dış kuvvet yaşadığını , temas noktasındaki ( ) statik sürtünmenin torku sağladığını ve ilgili diğer kuvvetlerin birbirini götürdüğünü varsayalım . temas noktasında nesneye ve yüzeye teğetseldir ve yönünün tersidir . Bu kuvvetin pozitif olduğu işaret kuralını kullanarak net kuvvet: ${\ displaystyle F _ {\ text {harici}}}$ ${\ displaystyle F _ {\ text {sürtünme}}}$ ${\ displaystyle F _ {\ text {sürtünme}}}$ ${\ displaystyle F _ {\ text {harici}}}$

{\ displaystyle F _ {\ text {net}} = F _ {\ text {harici}} - F _ {\ text {sürtünme}}}

${\ displaystyle (1)}$

Çünkü kayma yok, tutuyor. İkame edilmesi ve doğrusal ve dönel sürümü için Newton'un ikinci kanunu , sonra çözümü için : ${\ displaystyle r \ alpha = a}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle F _ {\ text {sürtünme}}}$

{\ displaystyle {\ begin {align} r {\ frac {\ tau} {I}} & = {\ frac {F _ {\ text {net}}} {m}} \\ r {\ frac {rF _ {\ text {friction}}} {I}} & = {\ frac {F _ {\ text {net}}} {m}} \\ F _ {\ text {friction}} & = {\ frac {IF _ {\ text { net}}} {bay ^ {2}}} \\\ uç {hizalı}}}

Genişleyen içinde : ${\ displaystyle F _ {\ text {sürtünme}}}$ ${\ displaystyle (1)}$

{\ displaystyle {\ begin {align} F _ {\ text {net}} & = F _ {\ text {harici}} - {\ frac {IF _ {\ text {net}}} {mr ^ {2}}} \ \ & = F _ {\ text {harici}} - {\ frac {I} {mr ^ {2}}} F _ {\ text {net}} \\ & = {\ frac {F _ {\ text {harici}} } {1 + {\ frac {I} {bay ^ {2}}}} \\\ sonuna {hizalı}}}

Son eşitlik ilk formüldür ; onu Newton'un ikinci yasasıyla birlikte kullanarak, sonra indirgeyerek aşağıdaki formül elde edilir: ${\ displaystyle F _ {\ text {net}}}$ ${\ displaystyle a}$

{\ displaystyle {\ begin {align} a & = {\ frac {F _ {\ text {net}}} {m}} \\ & = {\ frac {\ left ({\ frac {F _ {\ text {harici}} }} {1 + {\ frac {I} {bay ^ {2}}}} \ sağ)} {m}} \\ & = {\ frac {F _ {\ text {harici}}} {m \ left (1 + {\ frac {I} {bay ^ {2}}} \ sağ)}} \\ & = {\ frac {F _ {\ text {harici}}} {m + {\ frac {I} {r ^ {2}}}}} \\\ uç {hizalı}}}

Dönme yarıçapının ilk formülde dahil edilebilir , aşağıdaki gibi: ${\ displaystyle F _ {\ text {net}}}$

{\ displaystyle {\ begin {align {align}} r _ {\ text {gyr.}} & = {\ sqrt {\ frac {I} {m}}} \\ r _ {\ text {gyr.}} ^ {2} & = {\ frac {I} {m}} \\ {\ frac {I} {mr ^ {2}}} & = {\ frac {\ left ({\ frac {I} {m}} \ sağ)} {r ^ {2}}} \\ & = {\ frac {r _ {\ text {gyr.}} ^ {2}} {r ^ {2}}} \\ & = \ left ({\ frac {r_ {\ text {gir.}}} {r}} \ sağ) ^ {2} \\\ uç {hizalı}}}

İlk formüldeki en son eşitliği bunun için ikinci formül için ikame ederek : ${\ displaystyle F _ {\ text {net}}}$

{\ displaystyle F _ {\ text {net}} = {\ frac {F _ {\ text {harici}}} {1+ \ left ({\ frac {r _ {\ text {gyr.}}} {r}} \ sağ) ^ {2}}}}

${\ displaystyle {\ tfrac {I} {r ^ {2}}}}$ kütle boyutuna sahiptir ve bir dönme ekseninden uzakta bir dönme ataletine sahip olan kütledir . Bu nedenle terim , yuvarlanan nesnenin dönme ataletine (kütle merkezi etrafında) eşdeğer doğrusal ataletli kütle olarak düşünülebilir. Dış kuvvetin bir nesne üzerindeki basit dönme hareketi, gerçek kütle ile dönme eylemsizliğini temsil eden sanal kütlenin toplamını hızlandırmak olarak kavramsallaştırılabilir . Harici kuvvet tarafından yapılan iş translasyon ve dönüş ataletine üstesinden arasında bölünmüş olduğundan, daha küçük bir ağ kuvveti dış kuvvet sonuçları boyutsuz çarpımsal faktörü burada nesne gerçek kütlesine yukarıda bahsedilen sanal kütlesine oranı temsil eder ve bu eşittir için burada bir dönme yarıçapı tam bir rotasyondan nesne dönme eylemsizlik (değil saf haddeleme dönme eylemsizlik) karşılık gelir. Kare kuvvet, bir nokta kütlenin dönme ataletinin, eksene olan mesafesinin karesiyle orantılı olarak değişmesinden kaynaklanmaktadır. ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {I} {r ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle m + {\ tfrac {I} {r ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle 1 / \ sol (1 + {\ tfrac {I} {mr ^ {2}}} \ sağ)}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {I} {bay ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ sol ({\ tfrac {r _ {\ text {gyr.}}} {r}} \ sağ) ^ {2}}$ ${\ displaystyle r _ {\ text {gir.}}}$

Medya oynatın

Saf yuvarlanan dört nesne, hava direnci olmadan bir uçaktan aşağı doğru hızla iniyor. Arkadan öne: küresel kabuk (kırmızı), içi dolu küre (turuncu), silindirik halka (yeşil) ve dolu silindir (mavi). Bitiş çizgisine ulaşma süresi tamamen nesnenin kütle dağılımı, eğimi ve yerçekimi ivmesinin bir fonksiyonudur. Ayrıntılara bakın , animasyonlu GIF versiyonu .

Eğimli bir düzlemde yuvarlanan ve yalnızca statik sürtünme, normal kuvvet ve kendi ağırlığıyla ( hava sürüklemesi yoktur) yuvarlanan bir nesnenin özel durumunda , eğimden aşağı yuvarlanma yönündeki ivme:

{\ displaystyle a = {\ frac {g \ sin \ sol (\ theta \ sağ)} {1+ \ sol ({\ tfrac {r _ {\ text {gyr.}}} {r}} \ sağ) ^ { 2}}}}

Türetme Nesnenin eğimli düzlem yönünde (ve kısmen yana doğru değil) aşağı doğru yuvarlanacak şekilde yerleştirildiği varsayıldığında, ağırlık bir bileşende yuvarlanma yönünde ve eğimli düzleme dik bir bileşende ayrıştırılabilir. Yalnızca birinci kuvvet bileşeni nesneyi yuvarlatır, ikincisi temas kuvveti ile dengelenir, ancak onunla bir etki-tepki çifti oluşturmaz (tıpkı bir masanın üzerinde duran bir nesne gibi). Bu nedenle, bu analiz için yalnızca ilk bileşen dikkate alınır, dolayısıyla: ${\ displaystyle F _ {\ text {harici}} = gm \ sin \ sol (\ theta \ sağ)}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} a & = {\ frac {F _ {\ text {net}}} {m}} \\ & = {\ frac {\ left ({\ frac {F _ {\ text {harici}} }} {1+ \ left ({\ frac {r _ {\ text {gyr.}}} {R}} \ right) ^ {2}}} \ sağ)} {m}} \\ & = {\ frac {\ left ({\ frac {gm \ sin \ left (\ theta \ right)} {1+ \ left ({\ frac {r _ {\ text {gyr.}}} {r}} \ sağ) ^ {2 }}} \ right)} {m}} \\ & = {\ frac {gm \ sin \ left (\ theta \ right)} {m \ left (1+ \ left ({\ frac {r _ {\ text { gyr.}}} {r}} \ sağ) ^ {2} \ sağ)}} \\ & = {\ frac {g \ sin \ left (\ theta \ right)} {1+ \ left ({\ frac {r _ {\ text {gir.}}} {r}} \ sağ) ^ {2}}} \\\ uç {hizalı}}}$ Son eşitlikte payda kuvvet formülündeki ile aynıdır, ancak faktör ortadan kalkar çünkü yerçekimi kuvvetindeki örneği Newton'un üçüncü yasası nedeniyle kendi örneğiyle iptal olur. ${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle {\ tfrac {r _ {\ text {gyr.}}} {r}}}$ nesne şekline ve kütle dağılımına özeldir, ölçek veya yoğunluğa bağlı değildir. Bununla birlikte, nesne farklı yarıçaplarla yuvarlanırsa değişiklik gösterecektir; örneğin, normal olarak yuvarlanan bir tren tekerleği seti (lastiğine göre) ve aksına göre değişir. Bunu takip eden bir referans yuvarlanan nesne verildiğinde, daha büyük veya farklı yoğunluktaki başka bir nesne aynı ivmeyle yuvarlanacaktır. Bu davranış, serbest düşüşteki bir nesnenin veya eğimli bir düzlemden aşağıya sürtünmesiz (yuvarlanmak yerine) kayan bir nesnenin davranışıyla aynıdır.

Referanslar

Halliday, David; Resnick, Robert (2014), Temel Fizik , Bölüm 9: Wiley CS1 Maint: konum ( bağlantı )

Languages

In other projects