Dönme yarıçapı - Radius of gyration

Bir cismin dönme ekseni etrafındaki dönüş yarıçapı veya gyradius , cismin toplam kütlesi orada yoğunlaşmış olsaydı, cismin gerçek kütle dağılımıyla aynı atalet momentine sahip olacak bir noktaya olan radyal mesafe olarak tanımlanır .

Matematiksel yarıçap arasında dönme olan kök ortalama kare olan birinden nesnenin parçaları uzaktan kütle merkezi veya ilgili uygulamaya bağlı olarak, belirli bir eksen. Aslında nokta kütlesinden dönme eksenine olan dik mesafedir. Hareket eden bir noktanın yörüngesi bir cisim olarak temsil edilebilir. Daha sonra, bu nokta tarafından kat edilen tipik mesafeyi karakterize etmek için dönme yarıçapı kullanılabilir.

Bir cismin her birinin kütlesi olan parçacıklardan oluştuğunu varsayalım . Dönme eksenine olan dik uzaklıkları olsun . O halde cismin dönme eksenine göre eylemsizlik momenti , ${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili m}$${\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3},\dots ,r_{n}}$${\görüntüleme stili I}$

${\displaystyle I=m_{1}r_{1}^{2}+m_{2}r_{2}^{2}+\cdots +m_{n}r_{n}^{2}}$

Tüm kütleler aynı ise ( ), eylemsizlik momenti . ${\görüntüleme stili m}$${\displaystyle I=m(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots +r_{n}^{2})}$

Yana ( gövdenin toplam kütlesi olarak), ${\görüntüleme stili m=A/n}$${\görüntüleme stili M}$

${\displaystyle I=M(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots +r_{n}^{2})/n}$

Yukarıdaki denklemlerden,

${\displaystyle MR_{g}^{2}=M(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots +r_{n}^{2})/n}$

Dönme yarıçapı, parçacıkların eksen formülünden ortalama uzaklığının kareköküdür.

${\displaystyle R_{g}^{2}=(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots +r_{n}^{2})/n}$

Bu nedenle, bir cismin belirli bir eksen etrafında dönme yarıçapı, cismin çeşitli parçacıklarının dönme ekseninden ortalama kare uzaklığı olarak da tanımlanabilir. Dönen bir katı cismin kütlesinin dönme ekseni etrafında dağılma şeklinin bir ölçüsü olarak da bilinir.

Yapı mühendisliğindeki uygulamalar

Olarak inşaat mühendisliği , dönme iki boyutlu yarıçapı dağılımı tanımlamak için kullanılan bir kesit kendi çevresinde bir sütunda alan centroidal vücut kütlesi ile ekseni. Dönme yarıçapı aşağıdaki formülle verilir:

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }^{2}={\frac {I}{A}}}$

veya

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }={\sqrt {\frac {I}{A}}}}$

Burada bir alanın ikinci momenti ve toplam enine kesit alanıdır. ${\görüntüleme stili I}$${\görüntüleme stili A}$

Dönme yarıçapı, bir kolonun rijitliğini tahmin etmede faydalıdır. İki boyutlu dönme tensörünün asal momentleri eşit değilse, kolon daha küçük asal momentle eksen etrafında bükülme eğiliminde olacaktır . Örneğin, eliptik kesitli bir kolon , daha küçük yarım eksen yönünde bükülme eğilimi gösterecektir.

Olarak mühendislik maddenin sürekli organları genellikle çalışma nesneleridir, dönme yarıçapı, genellikle bir integrali olarak hesaplanır.

Mekanikteki uygulamalar

Belirli bir eksen etrafındaki dönme yarıçapı ( ) o eksen etrafındaki kütle atalet momenti ve toplam kütle m cinsinden hesaplanabilir ; ${\displaystyle r_{\mathrm {g} {\metin{ eksen}}}}$ ${\displaystyle I_{\metin{eksen}}}$

${\displaystyle r_{\mathrm {g} {\metin{ eksen}}}^{2}={\frac {I_{\metin{eksen}}}}{m}}}$

veya

${\displaystyle r_{\mathrm {g} {\text{ eksen}}}={\sqrt {\frac {I_{\text{eksen}}}}{m}}}}$

${\displaystyle I_{\metin{eksen}}}$Bir olan skaler ve atalet momenti değildir tensör .

moleküler uygulamalar

Gelen Polimer fiziği , dönme yarıçapı bir boyutlarını açıklamak için kullanılan polimer zinciri . Belirli bir zamanda belirli bir molekülün dönme yarıçapı şu şekilde tanımlanır:

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^ {N}\left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{\mathrm {ortalama} }\sağ)^{2}}$

burada bir ortalama monomer konumu. Aşağıda ayrıntılı olarak açıklandığı gibi, dönme yarıçapı aynı zamanda monomerler arasındaki kök ortalama kare mesafe ile orantılıdır: ${\displaystyle \mathbf {r} _{\mathrm {ortalama}}}$

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i ,j}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}\sağ)^{2}}$

Üçüncü bir yöntem olarak, dönme yarıçapı, dönme tensörünün asal momentlerinin toplanmasıyla da hesaplanabilir .

Bir polimer numunesinin zincir konformasyonları sayı olarak neredeyse sonsuz olduğundan ve zaman içinde sürekli değiştiğinden, polimer fiziğinde tartışılan "dönme yarıçapı" genellikle numunenin tüm polimer molekülleri üzerinde ve zamanla bir ortalama olarak anlaşılmalıdır. Yani, zaman veya topluluk üzerinden ortalama olarak ölçülen dönme yarıçapı :

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{N}}\left\langle \sum _{k =1}^{N}\left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{\mathrm {ortalama} }\sağ)^{2}\right\rangle }$

burada açısal parantez ifade grup ortalama . ${\displaystyle \langle \ldots \rangle }$

Entropik olarak yönetilen bir polimer zinciri (yani teta koşullarında), üç boyutta rastgele bir yürüyüş izler. Bu durum için dönme yarıçapı ile verilir

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }={\frac {1}{{\sqrt {6}}\ }}\ {\sqrt {N}}\ a}$

Polimerin kontur uzunluğunu temsil etmesine rağmen , polimer sertliğine güçlü bir şekilde bağlı olduğunu ve büyüklük sıralarında değişebileceğini unutmayın. göre azaltılır. ${\görüntüleme stili birN}$${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili N}$

Dönme yarıçapının ilginç bir özellik olmasının bir nedeni, statik ışık saçılımının yanı sıra küçük açılı nötron ve x-ışını saçılımı ile deneysel olarak belirlenebilmesidir . Bu, teorik polimer fizikçilerinin modellerini gerçeğe karşı kontrol etmelerini sağlar. Hidrodinamik çapı sayısal benzerdir ve ölçülebilir : Dinamik ışık saçılımı (DLS).

kimliğin türetilmesi

İki tanımının aynı olduğunu göstermek için , önce ilk tanımdaki toplamı çarparız: ${\displaystyle R_{\mathrm {g} }^{2}}$

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^ {N}\left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{\mathrm {ortalama} }\sağ)^{2}={\frac {1}{N}}\sum _ {k=1}^{N}\left[\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}+\mathbf {r} _{\mathrm {ortalama} }\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {ortalama} }-2\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {ortalama} }\sağ]}$

Son iki terimin toplamını yapmak ve tanımını kullanmak formülü verir. ${\displaystyle \mathbf {r} _{\mathrm {ortalama}}}$

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\mathbf {r} _{\mathrm {ortalama} }\cdot \mathbf { r} _{\mathrm {ortalama} }+{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left(\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf { r} _{k}\sağ)}$

Coğrafi veri analizindeki uygulamalar

Veri analizinde, coğrafi konumların dağılımı da dahil olmak üzere birçok farklı istatistiği hesaplamak için dönme yarıçapı kullanılır. Bu konumlar, yakın zamanda, bir kullanıcının tipik sözlerini araştırmak için sosyal medya kullanıcılarından toplanmıştır. Bu, sosyal medyadaki belirli bir grup kullanıcılarının platformu nasıl kullandığını anlamak için faydalı olabilir.

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{N}m_{i}(r_{i}-r_{C})^{2} }{\sum _{i=1}^{N}m_{i}}}}}$

Notlar

Referanslar

• Grosberg AY ve Khokhlov AR. (1994) Makromoleküllerin İstatistiksel Fiziği (Atanov YA tarafından çevrilmiştir), AIP Press. ISBN  1-56396-071-0
• Flory PJ. (1953) Principles of Polymer Chemistry , Cornell Üniversitesi, s. 428–429 (Bölüm X, Ek C).