Ramanujan toplamı - Ramanujan summation

Ramanujan toplamı , matematikçi Srinivasa Ramanujan tarafından ıraksak sonsuz serilere bir değer atamak için icat edilen bir tekniktir . Bir ıraksak serinin Ramanujan toplamı geleneksel anlamda bir toplam olmasa da , geleneksel toplamanın tanımlanmadığı ıraksak sonsuz serilerin çalışmasında matematiksel olarak faydalı kılan özelliklere sahiptir .

Toplama

Tam bir toplamın hiçbir özelliği olmadığından, Ramanujan toplamı kısmi toplamların bir özelliği olarak işlev görür. Biz alırsak Euler-Maclaurin toplamı formülü kullanılarak düzeltme kuralı ile birlikte Bernoulli sayıları , biz görüyoruz:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}f(0)+f(1)+\cdots +f(n-1)+{\frac {1}{2}}f (n)&={\frac {f(0)+f(n)}{2}}+\sum _{k=1}^{n-1}f(k)\\&=\int _{ 0}^{n}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k+1}}{(k+1)!}}\left[f^ {(k)}(n)-f^{(k)}(0)\sağ]+R_{p}\end{hizalı}}}$

Ramanujan bunu p'nin sonsuza gidişi için yazdı :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{x}f(k)=C+\int _{0}^{x}f(t)\,dt+{\frac {1}{2}}f( x)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(x)}$

burada C , seriye özgü bir sabittir ve onun analitik devamı ve integral üzerindeki sınırlar Ramanujan tarafından belirtilmemiştir, ancak muhtemelen yukarıda verildiği gibidirler. Her iki formülü karşılaştırarak ve x'in sonsuzluğa eğilim gösterdiği gibi R'nin de 0'a eğilim gösterdiğini varsayarak, genel bir durumda, x  = 0'da sapma olmayan f ( x ) fonksiyonları için şunu görürüz :

${\displaystyle C(a)=\int _{0}^{a}f(t)\,dt-{\frac {1}{2}}f(0)-\sum _{k=1}^ {\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(0)}$

Ramanujan'ın varsaydığı yerde alarak , yakınsak seriler için normal toplamı elde ederiz. x  = 1'de diverjansı olmayan f ( x ) fonksiyonları için şunu elde ederiz: ${\görüntüleme stili a=0.}$${\displaystyle a=\infty }$

${\displaystyle C(a)=\int _{1}^{a}f(t)\,dt+{\frac {1}{2}}f(1)-\sum _{k=1}^{ \infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(1)}$

C (0) daha sonra ıraksak dizinin toplamı olarak kullanılması önerildi. Toplama ve entegrasyon arasında bir köprü gibidir.

Uygun büyüme koşuluna sahip fonksiyonlar için toplamanın yakınsak versiyonu şu şekildedir:

${\displaystyle f(1)+f(2)+f(3)+\cdots =-{\frac {f(0)}{2}}+i\int _{0}^{\infty }{\ frac {f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt}$

Karşılaştırmak için Abel-Plana formülüne bakın .

Iraksak serilerin toplamı

Aşağıdaki metinde, "Ramanujan toplamı"nı belirtir. Bu formül orijinal olarak Ramanujan'ın defterlerinden birinde ortaya çıktı ve bunun yeni bir toplama yöntemini örneklediğini gösteren herhangi bir not yoktu. ${\görüntüleme stili ({\mathfrak {R}})}$

Örneğin, bir 1 - 1 + 1 - ⋯ olduğu: ${\görüntüleme stili ({\mathfrak {R}})}$

${\displaystyle 1-1+1-\cdots ={\frac {1}{2}}\quad ({\mathfrak {R}}).}$

Ramanujan bilinen ıraksak serilerin "toplamlarını" hesaplamıştı. Şunu belirtmekte fayda var ki, Ramanujan toplamları bilinen anlamda serilerin toplamları değildir, yani kısmi toplamlar, sembolü ile gösterilen bu değere yakınsamamaktadır . Özellikle 1 + 2 + 3 + toplamı 4 + ⋯ şu şekilde hesaplandı: ${\görüntüleme stili ({\mathfrak {R}}).}$${\görüntüleme stili ({\mathfrak {R}})}$

${\displaystyle 1+2+3+\cdots =-{\frac {1}{12}}\quad ({\mathfrak {R}})}$

Pozitif eşit güçlere uzanan bu, şunları verdi:

${\displaystyle 1+2^{2k}+3^{2k}+\cdots =0\quad ({\mathfrak {R}})}$

ve tek güçler için yaklaşım, Bernoulli sayılarıyla bir ilişki önerdi :

${\displaystyle 1+2^{2k-1}+3^{2k-1}+\cdots =-{\frac {B_{2k}}{2k}}\quad ({\mathfrak {R}})}$

Ramanujan'ın toplamının sonucu olarak C (0 ) yerine C (1)'in kullanılması önerilmiştir , o zamandan beri bir serinin tek bir Ramanujan'ın toplamını kabul ettiğinden emin olunabilir; koşulu doğrulayan fark denkleminin çözümü . ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }f(k)}$${\görüntüleme stili R(x)-R(x+1)=f(x)}$${\displaystyle \textstyle \int _{1}^{2}R(t)\,dt=0}$

Ramanujan'ın toplamının ( olarak gösterilir ) bu tanımı , daha önce tanımlanan Ramanujan'ın toplamı, C (0) veya yakınsak serilerin toplamı ile örtüşmez , ancak aşağıdaki gibi ilginç özelliklere sahiptir: Eğer R ( x ) bir sonlu olma eğilimindeyse limit x  → 1 olduğunda , seri yakınsaktır ve elimizde ${\displaystyle \textstyle \sum _{n\geq 1}^{\mathfrak {R}}f(n)}$${\displaystyle \textstyle \sum _{n\geq 1}^{\mathfrak {R}}f(n)}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}^{\mathfrak {R}}f(n)=\lim _{N\to \infty }\left[\sum _{n=1}^{N} f(n)-\int _{1}^{N}f(t)\,dt\sağ]}$

Özellikle bizde:

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}^{\mathfrak {R}}{\frac {1}{n}}=\gamma }$

burada γ , Euler-Mascheroni sabitidir .

İntegrallere Uzatma

Ramanujan yeniden özetleme integrallere genişletilebilir; örneğin, Euler-Maclaurin toplama formülünü kullanarak yazabilirsiniz.

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\int _{a}^{\infty }x^{ms}\,dx&={\frac {ms}{2}}\int _{a}^{\infty } x^{m-1-s}\,dx+\zeta (sm)-\sum _{i=1}^{a}\sol[i^{ms}+a^{ms}\sağ]\\& \qquad -\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {B_{2r}\theta (m-s+1)}{(2r)!\Gama (m-2r+2-s) }}(m-2r+1-s)\int _{a}^{\infty }x^{m-2r-s}\,dx\end{hizalı}}}$

bu, Zeta düzenlileştirme algoritmasının integrallerinin doğal uzantısıdır.

Bu yineleme denklemi sonludur, çünkü için , ${\görüntüleme stili m-2r<-1}$

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }dx\,x^{m-2r}=-{\frac {a^{m-2r+1}}{m-2r+1}}.}$

Bunun içerdiğini unutmayın (bkz. zeta işlevi düzenleme )

${\displaystyle I(n,\Lambda )=\int _{0}^{\Lambda }dx\,x^{n}}$.

İle , bu Ramanujan yeniden toplanması uygulaması içinde sonlu sonuçlarına ödünç Renormalizasyon ait kuantum alan teorileri . ${\ Displaystyle \ Lambda \ to \infty }$

Ayrıca bakınız

• Borel toplamı
• Cesaro toplamı
• Iraksak seri
• Ramanujan'ın toplamı

Referanslar