Dirgen çatallanma - Pitchfork bifurcation

Olarak çatallanma teori , içinde bir alan matematik bir Çatallı çatallanma yerel özel bir türüdür çatallanma burada üç sabit nokta bir sabit noktadan sistem geçişler. Hopf çatallanmaları gibi dirgen çatallanmalarının iki türü vardır - süper kritik ve alt kritik.

ODE'ler tarafından tanımlanan sürekli dinamik sistemlerde - yani akışlar - dirgen çatallanmaları genel olarak simetriye sahip sistemlerde meydana gelir .

Süper kritik durum

Süper kritik durum: düz çizgiler sabit noktaları temsil ederken, noktalı çizgi kararsız olanı temsil eder.

Süper kritik dirgen çatallanmasının normal formu

${\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = rx-x ^ {3}.}$

Çünkü , 'da tek bir kararlı denge vardır . Çünkü 'de dengesiz bir denge ve' de iki kararlı denge var . ${\ displaystyle r <0}$${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle r> 0}$${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle x = \ pm {\ sqrt {r}}}$

Alt kritik durum

Kritik altı durum: düz çizgi kararlı noktayı temsil ederken, noktalı çizgiler kararsız olanları temsil eder.

Alt kritik durum için normal biçim şudur:

${\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = rx + x ^ {3}.}$

Bu durumda, denge için kararlıdır ve iki kararsız denge vardır . İçin dengedeki kararsızdır. ${\ displaystyle r <0}$${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle x = \ pm {\ sqrt {-r}}}$${\ displaystyle r> 0}$${\ displaystyle x = 0}$

Resmi tanımlama

Bir ODE

${\ displaystyle {\ nokta {x}} = f (x, r) \,}$

tatmin edici bir tek parametreli fonksiyon ile açıklanmıştır : ${\ displaystyle f (x, r)}$${\ displaystyle r \ in \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle -f (x, r) = f (-x, r) \, \,}$  (f tuhaf bir fonksiyondur ),

${\ displaystyle {\ başla {hizalı} {\ frac {\ kısmi f} {\ kısmi x}} (0, r_ {0}) & = 0, & {\ frac {\ kısmi ^ {2} f} {\ kısmi x ^ {2}}} (0, r_ {0}) & = 0, & {\ frac {\ kısmi ^ {3} f} {\ kısmi x ^ {3}}} (0, r_ {0} ) & \ neq 0, \\ [5pt] {\ frac {\ kısmi f} {\ kısmi r}} (0, r_ {0}) & = 0, & {\ frac {\ kısmi ^ {2} f} {\ kısmi r \ kısmi x}} (0, r_ {0}) & \ neq 0. \ end {hizalı}}}$

Bir sahiptir yaba çatallanma de . Dirgen şekli üçüncü türevin işaretiyle verilir: ${\ displaystyle (x, r) = (0, r_ {0})}$

${\ displaystyle {\ frac {\ kısmi ^ {3} f} {\ kısmi x ^ {3}}} (0, r_ {0}) {\ başla {vakalar} <0 ve {\ metin {süper kritik}} \\> 0 ve {\ text {subcritical}} \ end {case}} \, \,}$

Alt kritik ve süper kritik, dirgen dış çizgilerinin kararlılığını (sırasıyla kesikli veya düz) tarif eder ve dirgenin hangi yöne baktığına bağlı değildir. Örneğin, yukarıdaki ilk ODE'nin negatifi , ilk resimle aynı yöne bakar ancak kararlılığı tersine çevirir. ${\ displaystyle {\ dot {x}} = x ^ {3} -rx}$

Ayrıca bakınız

• Çatallanma teorisi
• Çatallanma diyagramı

Referanslar

• Steven Strogatz, Doğrusal Olmayan Dinamikler ve Kaos: Fizik, Biyoloji, Kimya ve Mühendislik uygulamalarıyla , Perseus Books, 2000.
• S. Wiggins, Uygulamalı Doğrusal Olmayan Dinamik Sistemlere ve Kaosa Giriş , Springer-Verlag, 1990.