Çatallanma diyagramı - Bifurcation diagram

Gelen matematik özellikle de, dinamik sistemler , bir çatallanma diyagramı gösterir değerleri ziyaret ettiği veya asimptotik (sabit noktaları, yaklaştı periyodik yörüngeler veya kaotik çekicilerin bir fonksiyonu olarak bir sistemin) bifürkasyon parametresi sisteminde. Kararlı değerleri düz çizgi ile ve kararsız değerleri noktalı çizgi ile göstermek normaldir, ancak çoğu zaman kararsız noktalar ihmal edilir. Çatallanma diyagramları, çatallanma teorisinin görselleştirilmesini sağlar .

Çatallanma diyagramının oluşumunu gösteren animasyon

Çember haritasının çatallanma diyagramı . Siyah bölgeler Arnold dillerine karşılık gelir .

Lojistik harita

Lojistik haritanın çatallanma diyagramı . Çekicinin parametresi herhangi bir değeri için r o dikey satırda gösterilmiştir r .

Bir örnek, lojistik haritanın çatallanma diyagramıdır :

{\ displaystyle x_ {n + 1} = rx_ {n} (1-x_ {n}). \,}

Çatallanma parametresi r , grafiğin yatay ekseninde gösterilir ve dikey eksen, hemen hemen tüm başlangıç koşullarından asimptotik olarak ziyaret edilen lojistik fonksiyonun değerler kümesini gösterir .

Çatallanma diyagramı, kararlı yörüngelerin dönemlerinin 1'den 2'ye 4'ten 8'e vb. Çatallanmasını gösterir. Bu çatallanma noktalarının her biri, dönem ikiye katlayan bir çatallanmadır . Çatallanmanın meydana geldiği r değerleri arasındaki ardışık aralıkların uzunluklarının oranı , birinci Feigenbaum sabitine yakınsar .

Diyagram ayrıca 3'ten 6'ya, 12'ye vb., 5'ten 10'dan 20'ye vb. Periyotların ikiye katlanmasını gösterir.

Çatallanma setlerinde simetri kırılması

Ε parametresi değiştikçe dirgen çatallanmasında simetri kırılması . ε = 0, simetrik dirgen çatallanma durumudur.

Gibi dinamik bir sistemde

{\ displaystyle {\ ddot {x}} + f (x; \ mu) + \ varepsilon g (x) = 0,}

ki , eğer bir çatallanma diyagramı çizilirse, çatallanma parametresi olarak davrandığında , ancak farklı değerleri için , durum simetrik dirgen çatallanma olduğunda yapısal olarak kararlıdır . Ne zaman , kırık simetrisi olan bir dirgenimiz var diyoruz . Bu, sağdaki animasyonda gösterilmiştir. ${\ displaystyle \ mu \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ varepsilon = 0}$ ${\ displaystyle \ varepsilon \ neq 0}$