Çatallanma teorisi - Bifurcation theory
Çatallanma teorisi , bir vektör alanları ailesinin integral eğrileri ve bir diferansiyel denklem ailesinin çözümleri gibi, belirli bir ailenin niteliksel veya topolojik yapısındaki değişikliklerin matematiksel çalışmasıdır . En yaygın olarak dinamik sistemlerin matematiksel çalışmasına uygulanan bir çatallanma , bir sistemin parametre değerlerinde (çatallanma parametreleri) yapılan küçük bir yumuşak değişiklik, davranışında ani bir "nitel" veya topolojik değişikliğe neden olduğunda meydana gelir. Çatallanmalar hem sürekli sistemlerde ( ODE'ler , DDE'ler veya PDE'ler tarafından tanımlanır) hem de ayrık sistemlerde (haritalarla tanımlanır) meydana gelir. "Çatallaşma" adı ilk olarak Henri Poincaré tarafından 1885'te matematikte böyle bir davranışı gösteren ilk makalede tanıtıldı . Henri Poincaré daha sonra çeşitli durağan nokta tiplerini isimlendirdi ve onları motifle sınıflandırdı.
çatallanma türleri
Çatallanmaları iki ana sınıfa bölmek yararlıdır:
- Parametreler kritik eşiklerden geçerken denge , periyodik yörüngeler veya diğer değişmez kümelerin yerel kararlılık özelliklerindeki değişiklikler yoluyla tamamen analiz edilebilen yerel çatallanmalar ; ve
- Sistemin daha büyük değişmez kümeleri birbirleriyle veya sistemin dengeleriyle 'çakıştığında' sıklıkla meydana gelen küresel çatallanmalar. Bunlar, yalnızca dengelerin (sabit noktalar) bir kararlılık analizi ile saptanamazlar.
Yerel çatallanmalar
Bir parametre değişikliği, bir dengenin (veya sabit noktanın) stabilitesinin değişmesine neden olduğunda yerel bir çatallanma meydana gelir. Sürekli sistemlerde bu, sıfırdan geçen bir dengenin özdeğerinin gerçek kısmına karşılık gelir. Ayrık sistemlerde (ODE'ler yerine haritalar tarafından açıklananlar), bu , modülü bire eşit olan bir Floquet çarpanına sahip sabit bir noktaya karşılık gelir . Her iki durumda da, çatallanma noktasında denge hiperbolik değildir . Sistemin faz portresindeki topolojik değişiklikler, çatallanma parametresini çatallanma noktasına (dolayısıyla 'yerel') yaklaştırarak çatallanan sabit noktaların keyfi olarak küçük komşulukları ile sınırlandırılabilir.
Daha teknik olarak, ODE tarafından tanımlanan sürekli dinamik sistemi düşünün.
Jacobian matrisinin gerçek kısmı sıfır olan bir özdeğere sahip olması durumunda yerel bir çatallanma meydana gelir . Özdeğer sıfıra eşitse, çatallanma kararlı durum çatallanmasıdır, ancak özdeğer sıfırdan farklıysa ve tamamen hayaliyse, bu bir Hopf çatallanmasıdır .
Ayrık dinamik sistemler için, sistemi göz önünde bulundurun.
Daha sonra , matrisin modülü bire eşit olan bir özdeğeri varsa, yerel bir çatallanma meydana gelir . Özdeğer bire eşitse, çatallanma ya bir eyer düğümü (haritalarda genellikle kıvrım çatallanması olarak adlandırılır), transkritik ya da dirgen çatallanmasıdır. Özdeğer -1'e eşitse, bu bir periyot ikiye katlama (veya çevirme) çatallanmasıdır ve aksi takdirde, bir Hopf çatallanmasıdır.
Yerel çatallanma örnekleri şunları içerir:
- Eyer düğümü (kat) çatallanma
- transkritik çatallanma
- dirgen çatallanma
- Dönem ikiye katlama (çevirme) çatallanma
- hopf çatallanma
- Neimark-Sacker (ikincil Hopf) çatallanması
Küresel çatallanmalar
Periyodik yörüngeler gibi 'daha büyük' değişmez kümeler denge ile çarpıştığında küresel çatallanmalar meydana gelir. Bu, yerel çatallanmalarda olduğu gibi, küçük bir komşulukla sınırlandırılamayan faz uzayındaki yörüngelerin topolojisinde değişikliklere neden olur. Aslında, topolojideki değişiklikler keyfi olarak geniş bir mesafeye uzanır (dolayısıyla 'küresel').
Küresel çatallanma örnekleri şunları içerir:
- Bir limit çevrimin bir eyer noktası ile çarpıştığı homoklinik çatallanma . Homoklinik çatallanmalar kritik üstü veya kritik altı olarak ortaya çıkabilir. Yukarıdaki varyant, "küçük" veya "tip I" homoklinik çatallanmadır. 2D'de ayrıca, homoklinik yörüngenin eyerin kararsız ve kararlı manifoldlarının diğer uçlarını "tuttuğu" "büyük" veya "tip II" homoklinik çatallanma da vardır. Üç veya daha fazla boyutta, karmaşık, muhtemelen kaotik dinamikler üreten daha yüksek eş boyutlu çatallanmalar meydana gelebilir .
- Bir limit döngüsünün iki veya daha fazla eyer noktasıyla çarpıştığı heteroklinik çatallanma ; bir heteroklinik döngü içerirler . Heteroklinik çatallanmalar iki tiptir: rezonans çatallanmaları ve enine çatallanmalar. Her iki çatallanma türü de heteroklinik döngünün stabilitesinin değişmesine neden olacaktır. Bir rezonans çatallanmasında, döngüdeki dengelerin özdeğerleri üzerindeki cebirsel bir koşul sağlandığında döngünün kararlılığı değişir . Buna genellikle periyodik bir yörüngenin doğumu veya ölümü eşlik eder . Heteroklinik bir döngünün enine çatallanmasına, döngüdeki dengelerden birinin enine özdeğerinin gerçek kısmı sıfırdan geçtiğinde neden olur. Bu aynı zamanda heteroklinik döngünün stabilitesinde de bir değişikliğe neden olacaktır.
- Bir limit çevrimde kararlı bir düğüm ve eyer noktasının aynı anda meydana geldiği sonsuz dönemli çatallanma . Olarak sınırı bir parametrenin belirli bir kritik değeri yaklaşımlar, salınım hızı yavaşlar ve süresi sonsuz yaklaşır. Sonsuz periyotlu çatallanma bu kritik değerde gerçekleşir. Kritik değerin ötesinde, iki sabit nokta, salınımı bozmak ve iki eyer noktası oluşturmak için limit çevrimde sürekli olarak birbirinden çıkar .
- Bir limit döngüsünün hiperbolik olmayan bir döngüyle çarpıştığı mavi gök felaketi .
Küresel çatallanmalar, kaotik çekiciler (örneğin krizler ) gibi daha karmaşık kümeleri de içerebilir .
Bir çatallanmanın eş boyutu
Keyfi dik boyutlu bir çatallanma dallanması meydana gelmesi için farklı olmalıdır parametrelerin sayısıdır. Bu, çatallanmanın tam parametre alanı içinde gerçekleştiği parametre setinin ortak boyutuna karşılık gelir. Eyer düğümü çatallanmaları ve Hopf çatallanmaları, gerçekten birinci eş boyut olan tek genel yerel çatallanmalardır (diğerlerinin tümü daha yüksek eş boyuta sahiptir). Bununla birlikte, transkritik ve dirgen çatallanmaları da genellikle birinci boyut olarak düşünülür, çünkü normal formlar yalnızca bir parametre ile yazılabilir.
İyi çalışılmış bir ortak boyut-iki çatallanmaya bir örnek, Bogdanov-Takens çatallanmasıdır .
Yarı klasik ve kuantum fiziğinde uygulamalar
Kuantum sistemlerini atomik sistemler, moleküler sistemler ve rezonant tünel diyotlarındaki klasik analoglarının dinamiklerine bağlamak için çatallanma teorisi uygulanmıştır . Çatallanma teorisi, lazer dinamiğinin incelenmesine ve deneysel olarak erişilmesi zor olan tekme tepesi ve birleştirilmiş kuantum kuyuları gibi bir dizi teorik örneğe de uygulanmıştır. Klasik hareket denklemlerinde kuantum sistemleri ve çatallanmalar arasındaki bağlantının baskın nedeni, Martin Gutzwiller'in kuantum kaos üzerine klasik çalışmasında işaret ettiği gibi, çatallanmalarda klasik yörüngelerin imzasının büyük olmasıdır . Klasik ve kuantum dinamikleri arasındaki bağlantılarla ilgili olarak, eyer düğümü çatallanmaları, Hopf çatallanmaları, göbek çatallanmaları, periyot ikileme çatallanmaları, yeniden bağlantı çatallanmaları, tanjant çatallanmaları ve doruk çatallanmaları dahil olmak üzere birçok çatallanma türü incelenmiştir.
Ayrıca bakınız
- çatallanma diyagramı
- çatallanma hafızası
- felaket teorisi
- Feigenbaum sabitleri
- jeomanyetik ters çevirme
- Faz portresi
- Tenis raketi teoremi
Notlar
Referanslar
- Afrajmoviç, VS; Arnold, VI ; ve diğerleri (1994). Çatallanma Teorisi ve Felaket Teorisi . ISBN'si 978-3-540-65379-0.
- Guardia, M.; Martinez-Seara, M.; Teixeira, MA (2011). Düzlemsel Filippov Sistemlerinin düşük eşboyutlu genel çatallanmaları . "Diferansiyel denklemler günlüğü", Şubat 2011, cilt. 250, numara. 4, s. 1967-2023. DOI:10.1016/j.jde.2010.11.016
- Wiggins, Stephen (1988). Küresel çatallanmalar ve Kaos: Analitik Yöntemler . New York: Springer. ISBN'si 978-0-387-96775-2.
Dış bağlantılar
- Doğrusal olmayan dinamikler
- Elmer G. Wiens tarafından Çatallanmalar ve İki Boyutlu Akışlar
- Çatallanma teorisine giriş, John David Crawford