Birliğin bölünmesi - Partition of unity

Gelen matematik bir birlik bölümü a topolojik alan X bir dizi R, bir sürekli fonksiyonlar ile ilgili X için birim aralıkta [0,1], öyle ki her nokta için, , $X'te {\ displaystyle x \}$

• Orada bir mahalle ait x tüm ama sonlu fonksiyonları sayısı R 0, ve
• tüm işlev değerlerinin toplamı x , yani 1 . ${\ displaystyle \; \ toplamı _ {\ rho \ in R} \ rho (x) = 1}$

Dört işleve sahip bir dairenin birliğinin bir bölümü. Daire, grafikleme amacıyla bir çizgi parçasına (alt düz çizgi) açılır. Üstteki kesikli çizgi, bölümdeki işlevlerin toplamıdır.

Birlik bölümleri kullanışlıdır çünkü genellikle bir kişinin yerel yapıları tüm alana genişletmesine izin verirler. Ayrıca verilerin enterpolasyonunda , sinyal işlemede ve spline fonksiyonları teorisinde de önemlidirler .

Varoluş

Birlik bölümlerinin varlığı iki farklı biçim alır:

1. Herhangi bir verilen kapağı açık { u _ı } _{i ∈ I} bir bölme {ρ vardır, bir alan _i } _{i ∈ I} endeksli aynı set üzerinde bu şekilde Supp ρ _I ⊆ U _i . Böyle bir bölümün açık kapağa bağlı olduğu söylenir { U _i } _i .
2. Alan herhangi bir açık kapak verilen, yerel olarak kompakt ise { u _ı } _{ı ∈ I} bir boşluk, bir bölüm {ρ vardır _j } _{j ∈ J} dizinli üzerinde muhtemelen farklı bir indeks grubu J , örneğin her ρ bu _j sahip kompakt bir destek ve her j ∈ J için, bazı i ∈ I için ρ _j ⊆ U _{i'yi destekleyin} .

Bu nedenle, desteklerin açık kapakla endekslenmesi veya kompakt destekler seçilmesi tercih edilir. Alan kompaktsa , her iki gereksinimi de karşılayan bölümler vardır.

Alanın yerel olarak kompakt ve Hausdorff olması koşuluyla, sonlu açık bir kapağın her zaman kendisine bağlı sürekli bir birlik bölümü vardır. Alanın parokompaktlığı , herhangi bir açık kapağa bağlı bir birlik bölümünün varlığını garanti etmek için gerekli bir koşuldur . Mekanın ait olduğu kategoriye bağlı olarak, yeterli bir koşul da olabilir. Yapı, sürekli ve pürüzsüz manifoldlarda bulunan , ancak analitik manifoldlarda bulunmayan yumuşatıcıları (çarpma fonksiyonları) kullanır . Bu nedenle, bir analitik manifoldun açık bir kapağı için, bu açık kapağa bağlı olan birliğin analitik bir bölümü genellikle mevcut değildir. Analitik sürekliliğe bakın .

Eğer R ' ve T, boşluklar için birlik bölümleri olan X ve Y , sırasıyla, o zaman tüm Çiftlerin seti için bir birlik bölümüdür kartezyen ürün alanı x x , Y . Fonksiyonların tensör çarpımı gibi davranır . ${\ displaystyle \ {\ rho \ otimes \ tau: \ \ rho \ R konumunda, \ tau \ T \}}$${\ Displaystyle (\ rho \ otimes \ tau) (x, y) = \ rho (x) \ tau (y)}$

Misal

Biz üzerinde bir birlik bölümü oluşturabilirsiniz bir noktanın tamamlayıcı bir grafik bakarak gönderme için merkezi ile . Şimdi, let bir olmak yumru fonksiyonu üzerinde tanımlanan ${\ displaystyle S ^ {1}}$${\ displaystyle p \ in S ^ {1}}$${\ displaystyle S ^ {1} - \ {p \}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle q \ S ^ içinde {1}}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ Phi (x) = {\ başlar {vakalar} \ exp \ sol ({\ frac {1} {x ^ {2} -1}} \ sağ) ve x \ (-1,1) \\ 0 & {\ text {aksi halde}} \ end {vakalar}}}$

Sonra, bu işlev ve hem üzerine benzersiz uzatılabilir ayarlayarak . Daha sonra set, üzerinde bir birlik bölümü oluşturur . ${\ displaystyle 1- \ Phi}$${\ displaystyle S ^ {1}}$${\ displaystyle \ Phi (p) = 0}$${\ displaystyle \ {(S ^ {1} - \ {p \}, \ Phi), (S ^ {1} - \ {q \}, 1- \ Phi) \}}$${\ displaystyle S ^ {1}}$

Varyant tanımları

Bazen daha az kısıtlayıcı bir tanım kullanılır: belirli bir noktadaki tüm işlev değerlerinin toplamının, uzaydaki her nokta için 1 yerine yalnızca pozitif olması gerekir. Bununla birlikte, böyle bir işlevler kümesi verildiğinde , bir kişi tam anlamıyla toplamla bölerek bir birlik bölümü elde edebilir; bölüm haline burada , her nokta terimlerin yalnızca sınırlı sayıda başlangıcı tanımlanır sıfırdan farklı. Daha da ötesi, bazı yazarlar desteklerin yerel olarak sonlu olması gerekliliğini ortadan kaldırır ve sadece herkes için bunu gerektirir . ${\ displaystyle \ {\ psi _ {i} \} _ {i = 1} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle \ {\ sigma ^ {- 1} \ psi _ {i} \} _ {i = 1} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle \ sigma (x): = \ toplamı _ {i = 1} ^ {\ infty} \ psi _ {i} (x)}$${\ displaystyle \ toplamı _ {i = 1} ^ {\ infty} \ psi _ {i} (x) <\ infty}$${\ displaystyle x}$

Uygulamalar

Bir manifold üzerinde tanımlanan bir fonksiyonun integralini (bir hacim formuna göre ) tanımlamak için bir birlik bölümü kullanılabilir : Birincisi, desteği manifoldun tek bir koordinat yamasında bulunan bir fonksiyonun integralini tanımlar; daha sonra keyfi bir fonksiyonun integralini tanımlamak için bir birim bölümü kullanılır; son olarak, tanımın seçilen birlik bölümünden bağımsız olduğunu gösterir.

Rasgele bir manifoldda Riemann metriğinin varlığını göstermek için bir birlik bölümü kullanılabilir .

En dik iniş yöntemi, integrallerin asimptotiklerini inşa etmek için bir birlik bölümü kullanır.

Linkwitz – Riley filtresi , giriş sinyalini yalnızca yüksek veya düşük frekanslı bileşenler içeren iki çıkış sinyaline ayırmak için birim bölümlemesinin pratik uygulamasına bir örnektir.

Bernstein polinomları sabit derecesi m ailesidir m ünitesi aralığı için bir birlik bölümü vardır + 1 lineer bağımsız polinomlar . ${\ displaystyle [0,1]}$

Birliğin bölünmesi, sınırlı etki alanlarında Sobolev fonksiyonları için genel yumuşak yaklaşımlar oluşturmak için kullanılır .

Ayrıca bakınız

• Pürüzsüzlük § Birliğin pürüzsüz bölümleri
• Yapıştırma aksiyomu
• İnce demet

Referanslar

• Tu, Loring W. (2011), Manifoldlara giriş , Universitext (2. baskı), Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4419-7400-6 , ISBN   978-1-4419-7399-3 bkz. bölüm 13

Dış bağlantılar

• [Mathworld] ' de birliğin bölünmesiyle ilgili genel bilgiler
• [Planet Math] 'da bir birim bölümünün uygulamaları