Operasyonların sırası - Order of operations

Gelen matematik ve bilgisayar programlama , operasyon sırasını (ya da operatör öncelik ) prosedürleri, belirli bir değerlendirilmesi amacıyla, ilk gerçekleştirmek için hangi kuralları yansıtan kurallar topluluğudur matematiksel ifade .

Örneğin, matematikte ve çoğu bilgisayar dilinde, çarpma işlemine toplamadan daha yüksek bir öncelik verilir ve bu, modern cebirsel gösterimin ortaya çıkmasından bu yana bu şekilde olmuştur . Böylece, 1 + 2 × 3 ifadesinin 1 + (2 × 3) = 7 değerine sahip olduğu ve (1 + 2) × 3 = 9 olmadığı şeklinde yorumlanır . Üsler 16. ve 17. yüzyıllarda tanıtıldığında, onlara hem toplama hem de çarpmaya göre öncelik verildi ve yalnızca tabanlarının sağına bir üst simge olarak yerleştirilebilirlerdi. Böylece 3 + 5 2 = 28 ve 3 × 5 2 = 75 .

Bu konvansiyonlar, gösterim belirsizliğini ortadan kaldırmak ve gösterimin mümkün olduğunca kısa olmasına izin vermek için mevcuttur. Öncelik kurallarını geçersiz kılmak veya hatta basitçe vurgulamak istendiğinde, alternatif bir işlem sırasını belirtmek (veya yalnızca varsayılan işlem sırasını güçlendirmek ) için parantezler ( ) kullanılabilir . Örneğin, (2 + 3) × 4 = 20 kuvvet toplamadan önce çarpmadan önce, (3 + 5) 2 = 64 kuvvet toplamadan önce üslenmeden önce . Matematiksel bir ifadede birden fazla parantez çifti gerekiyorsa (iç içe parantez durumunda olduğu gibi), karışıklığı önlemek için parantezler [2 × (3 + 4)] − 5 = 9'da olduğu gibi parantezler veya parantezler ile değiştirilebilir. .

Tanım

Matematik, fen, teknoloji ve birçok bilgisayar programlama dilinde kullanılan işlem sırası burada ifade edilir:

  1. üs alma ve kök çıkarma
  2. çarpma ve bölme
  3. toplama ve çıkarma

Bu, matematiksel bir ifadede iki operatör arasında bir alt ifade görünüyorsa , önce yukarıdaki listede daha yüksek olan operatörün uygulanması gerektiği anlamına gelir.

Değişmeli ve ilişkisel toplama ve çarpma yasaları herhangi bir sırada terimleri ekleme ve standart işlem sırasını uymalıdır siparişle ama karışık operasyonlarda faktörleri çarparak izin.

Bazı bağlamlarda, bir bölmeyi karşılıklı olarak çarpma (çarpma işleminin tersi) ve çıkarma işleminin tersinin eklenmesiyle (toplamsal ters) değiştirmek yararlı olur. Örneğin, bilgisayar cebir , bu bir az işlemesine olanak tanır ikili operasyonlar ve kullanımı daha kolay hale getirir değişmeli olduğu ve birleşim büyük ifadeleri basitleştirmek zaman (daha fazlası için, bakınız Bilgisayar cebir § Kolaylaştırılmış dışarıya ). Böylece 3 ÷ 4 = 3 × 1/4; başka bir deyişle, 3 ve 4'ün bölümü, 3'ün ürününe eşittir ve1/4. Ayrıca 3 − 4 = 3 + (−4) ; başka bir deyişle, 3 ile 4'ün farkı, 3 ile -4'ün toplamına eşittir. Böylece 1 − 3 + 7 , 1 + (−3) + 7'nin toplamı olarak düşünülebilir ve her durumda sonuç olarak 5 vererek üç toplam herhangi bir sırada toplanabilir.

Kök sembolü √ geleneksel olarak radikandın üzerinde bir çubukla ( vinculum olarak adlandırılır ) uzatılır (bu, radikandın etrafında parantez kullanma ihtiyacını ortadan kaldırır). Diğer işlevler, belirsizliği önlemek için girişin etrafında parantez kullanır. Girdi tek bir sayısal değişken veya sabit ise parantezler atlanabilir ( sin x = sin( x ) ve sin π = sin(π) durumunda olduğu gibi) . Bazen kullanılan başka bir kısayol kuralı, girdinin tek terimli olduğu zamandır. ; bu nedenle, (sin(3))  x yerine sin 3 x = sin(3 x ) , ancak sin x + y = sin( x ) + y , çünkü x + y tek terimli değildir. ve belirli bağlamların dışında evrensel olarak anlaşılmaz.Bazı hesap makineleri ve programlama dilleri, işlev girişleri etrafında parantez gerektirir, bazıları gerektirmez.

Gruplama sembolleri, olağan işlem sırasını geçersiz kılmak için kullanılabilir. Gruplandırılmış semboller tek bir ifade olarak ele alınabilir. Gruplama sembolleri, ilişkilendirme ve dağılım yasaları kullanılarak kaldırılabilir, ayrıca gruplama sembolünün içindeki ifade yeterince basitleştirilmişse kaldırılabilirler, böylece çıkarılmasından herhangi bir belirsizlik çıkmaz.

Örnekler

Yatay bir kesirli çizgi ayrıca gruplandırmanın bir sembolü olarak da işlev görür:

Okumayı kolaylaştırmak için, küme parantezleri { } veya köşeli parantezler [ ] gibi diğer gruplama simgeleri genellikle parantez ( ) ile birlikte kullanılır . Örneğin:

anımsatıcılar

Anımsatıcılar genellikle öğrencilerin çeşitli işlemleri temsil eden kelimelerin ilk harflerini içeren kuralları hatırlamalarına yardımcı olmak için kullanılır. Farklı ülkelerde farklı anımsatıcılar kullanılmaktadır.

  • Amerika Birleşik Devletleri'nde, PEMDAS kısaltması yaygındır. Bu açılımı p arentheses, E xponents, E ürem esi / D ivision, bir Ayrıca bu yöntem / S ubtraction. PEMDAS, okullarda genellikle " Lütfen Afedersiniz Sevgili Sally Teyzem " anımsatıcısına genişletilir .
  • Kanada ve Yeni Zelanda kullanımı BEDMAS , ayakta B raketleri, E xponents, D IVISION / E ürem esi, bir Ayrıca bu yöntem / S ubtraction.
  • UK, Pakistan, Hindistan, Bangladeş ve Avustralya ve diğer bazı İngilizce konuşulan ülkelerde yaygın Çoğu edilir BODMAS ya anlam B raketleri, Ey Sarf, D ivision / M ürem esi, A Ayrıca bu yöntem / S ubtraction veya B raketleri, Ey f / D ivision / M ürem esi, bir Ayrıca bu yöntem / S ubtraction. Nijerya ve diğer bazı Batı Afrika ülkeleri de BODMAS kullanıyor. Benzer şekilde UK, BIDMAS da ayakta kullanılır B , raket I ndices, D ivision / E ürem esi, bir Ayrıca bu yöntem / S ubtraction.

Bu şekilde yazıldığında bu anımsatıcılar yanıltıcı olabilir. Örneğin, yukarıdaki kurallardan herhangi birinin "önce toplama, sonra çıkarma" anlamına gelecek şekilde yanlış yorumlanması, ifadeyi yanlış değerlendirecektir.

Yukarıdaki ifade gibi yalnızca toplama ve çıkarma içeren ifadeleri değerlendirirken, toplama ve çıkarma soldan sağa çalışarak sırayla gerçekleştirilebilir, ancak altı ana aritmetik işlemden yalnızca toplama ve çarpma değişmeli ve ilişkiseldir ve bu nedenle profesyoneller genellikle Özellikle cebirde ve yüksek matematikte çıkarmayı negatif bir sayının eklenmesi olarak görün. Ya soldan sağa çalışmak ya da çıkarma işlemine işaretli bir sayı eklemek gibi davranmak doğru cevabı verecektir; yanlış sırayla çıkarma yapmak yanlış cevaba neden olur. Anımsatıcılar, toplama/çıkarma veya çarpma/bölme gruplandırmasını yansıtmaz, bu nedenle kullanımları bu yanlış anlamaya neden olabilir.

Seri bölme durumunda da benzer bir belirsizlik vardır, örneğin, a ÷ b ÷ c × d ifadesi birden çok şekilde okunabilir, ancak her zaman aynı cevaba gelmeyebilir. Örneğin, soldan sağa doğru hesaplanan 3 ÷ 1/2 , üç bölü bir eşittir üç, bölü iki eşittir üç yarı olur, ancak bölmeyi ters ile çarpma olarak kullanmak üç bölü bir yarım eşittir üç çarpı iki eşittir altı verir . Üç olasılık vardır, hiçbiri evrensel olarak kabul edilmemiştir. Ya birkaç farklı bölme sembolünün her birine karmaşık öncelik kuralları verilmelidir ya da çıkarma kuralını tersinin eklenmesi olarak taklit ederek bölme, karşılıklı olarak çarpma olarak tanımlanabilir veya belirsizlikleri önlemek için parantezler kullanılabilir.

Bu tartışmalı olduğundan, yukarıdakileri özetliyoruz:

İlk kural şudur: Bir satırda birden fazla bölme varsa, hesaplama sırası soldan sağa gidebilir:

Ama bu evrensel olarak kabul görmez.

Bölmeyi bir karşılıklı çarpma olarak ele alan ikinci kural, belirsiz bölme sıklığını büyük ölçüde azaltır.

Ancak belirsizliği önlemenin tek kesin yolu parantez kullanmaktır.

Özel durumlar

seri üs

Eğer üs alma üstindis gösterimi kullanılarak yığılmış sembollerle gösterilir, her zamanki kural üst menüden işe şudur:

bir b c = bir ( b c )

bu tipik olarak ( a b ) c'ye eşit değildir . Bu kural yararlıdır, çünkü ( a b ) c = a bc şeklinde bir üs alma özelliği vardır , bu nedenle bunun için seri üs kullanmak gereksizdir.

Bununla birlikte, bir şapka (^) veya ok (↑) ile operatör notasyonu kullanıldığında , ortak bir standart yoktur. Örneğin, Microsoft Excel ve hesaplama programlama dili MATLAB değerlendirmek (olarak bir b ) c , ancak Google Arama ve Wolfram Alpha olarak bir ( b c ) . Böylece , ilk durumda 4.096'ya ve ikinci durumda 262.144'e değerlendirilir. a^b^c4^3^2

tekli eksi işareti

Birli işleci - (genellikle "eksi" olarak okunur) ile ilgili farklı kurallar vardır. Yazılı veya basılı matematikte, −3 2 ifadesi −(3 2 ) = − 9 anlamına gelecek şekilde yorumlanır .

Bazı uygulamalarda ve programlama dillerinde, özellikle Microsoft Excel , PlanMaker (ve diğer elektronik tablo uygulamalarında) ve programlama dili bc 'de , birli operatörler ikili operatörlerden daha yüksek önceliğe sahiptir, yani birli eksi, üstelleştirmeden daha yüksek önceliğe sahiptir, dolayısıyla bu dillerde −3 2 (−3) 2 = 9 olarak yorumlanacaktır . Bu, ikili eksi operatörü − için geçerli değildir; Microsoft Excel örneğin ise formüller =−2^2, =-(2)^2ve =0+−2^2geri dönüş 4, formül =0−2^2ve =−(2^2)geri -4.

Karışık bölme ve çarpma

Benzer şekilde, 1/2 n gibi ifadelerde eğik çizgi sembolünün / kullanımında da belirsizlik olabilir . Bu ifade 1 ÷ 2 n olarak yeniden yazılır ve bölme sembolünü karşılıklı olarak çarpma olarak yorumlarsa, bu şöyle olur:

1 ÷ 2 × n = 1 ×1/2× n =1/2× n .

Bu yorumla 1 ÷ 2 n eşittir (1 ÷ 2) n . Bununla birlikte, bazı akademik literatürde, yan yana koyma ile gösterilen çarpma ( zımni çarpma olarak da bilinir ), bölmeden daha yüksek önceliğe sahip olarak yorumlanır, böylece 1 ÷ 2 n eşittir 1 ÷ (2 n ) , (1 ÷ 2) n değil . Örneğin, için el yazması gönderme talimatları Fiziksel yorum çarpma eğik çizgiyle bölünme daha yüksek öncelik dergilerin devlet olduğunu ve bu gibi aynı zamanda önemli fizik ders kitaplarında gözlenen konvansiyonudur Teorik Fizik Kursu tarafından Landau ve Lifshitz ve Feynman'da Fizik Dersleri .

hesap makineleri

Ana madde: Hesap makinesi giriş yöntemleri

Farklı hesap makineleri, farklı işlem sıralarını takip eder. Yığın uygulama zinciri girişi olmayan birçok basit hesap makinesi , örneğin yazma gibi farklı operatörlere herhangi bir öncelik verilmeden soldan sağa çalışır

1 + 2 × 3 verim 9,

daha karmaşık hesap makineleri daha standart bir öncelik kullanacak, örneğin yazma

1 + 2 × 3 verim 7.

Microsoft Hesaplama programı standart görünümde eski ve bilimsel ve programcı görünümlerinde ikincisi kullanır.

Zincir girişi, iki işlenen ve bir operatör bekler . Bir sonraki operatöre basıldığında, ifade hemen değerlendirilir ve cevap bir sonraki operatörün sol eli olur. Gelişmiş hesap makineleri, tüm ifadenin gerektiği gibi gruplandırılmasına izin verir ve yalnızca kullanıcı eşittir işaretini kullandığında değerlendirme yapar.

Hesap makineleri, üsleri soldan sağa ilişkilendirebilir. Örneğin, ifade olarak yorumlanır , bir ( b , c ) ile ilgili TI-92 ve TI-30XS MultiView o (yorumlanır, oysa "Mathprint modunda" bir B ) c ile TI-30XII ve TI-30XS "Klasik modda" MultiView . a^b^c

Gibi bir ifade , 1 / (2 olarak yorumlanır x ile) TI-82 , hem de birçok modern Casio , ancak (1/2) olarak hesap x ile TI-83 ve 1996 yılından beri yayınlanan her Tl hesap makinesi, aynı zamanda göre cebirsel gösterime sahip tüm Hewlett-Packard hesap makineleri. İlk yorum, ima edilen çarpmanın doğası gereği bazı kullanıcılar tarafından beklenebilirken , ikincisi, çarpma ve bölmenin eşit önceliğe sahip olduğu standart kuralına daha uygundur, burada 1/2 x bir bölü ikiye ve ikiye bölünür. cevap x ile çarpılır . 1/2x

Kullanıcı bir hesap makinesinin bir ifadeyi nasıl yorumlayacağından emin olmadığında, belirsizlik olmaması için parantez kullanmak iyi bir fikirdir.

Postfix notasyonu olarak da bilinen ters Lehçe notasyonu (RPN) kullanan hesap makineleri, parantez veya herhangi bir modele özgü yürütme sırasına gerek kalmadan ifadeleri doğru öncelik sırasına göre girmek için bir yığın kullanır .

Programlama dilleri

APL , Smalltalk , Occam ve Mary gibi diğerlerinin operatör öncelik kuralları olmamasına rağmen bazı programlama dilleri matematikte yaygın olarak kullanılan sıraya uyan öncelik seviyeleri kullanır (APL'de değerlendirme kesinlikle sağdan soladır; Smalltalk'ta ise kesinlikle soldan sağa).

Ayrıca, birçok işleç ilişkisel olmadığı için, herhangi bir tek düzey içindeki sıra genellikle soldan sağa gruplandırılarak tanımlanır, böylece 16/(4/4) = 16 yerine (16/4)/4 = 116/4/4 olarak yorumlanır ; bu tür operatörler belki de yanıltıcı bir şekilde "sol çağrışımcı" olarak adlandırılır. İstisnalar mevcuttur; örneğin, listelerdeki eksiler işlemine karşılık gelen operatörlere sahip diller genellikle onları sağdan sola ("sağ ilişkisel") gruplandırır, örneğin Haskell , . 1:2:3:4:[] == 1:(2:(3:(4:[]))) == [1,2,3,4]

Yaratıcısı ve C dilinde C öncelik söyledi (örneğin, C bu kuralları ödünç programlama dilleri tarafından paylaşılan, C ++ , Perl ve PHP ) taşımak için tercih olurdu bitsel operatörleri yukarıdaki karşılaştırma operatörleri . Ancak birçok programcı bu sıraya alışmıştır. Birçok C-tarzı dilde bulunan operatörlerin göreli öncelik seviyeleri aşağıdaki gibidir:

1 () [] -> . :: İşlev çağrısı, kapsam, dizi/üye erişimi
2 ! ~ - + * &   sizeof   tipi dökme   ++ -   (çoğu) tekli operatörler, sizeof ve type yayınları (sağdan sola)
3 * / % MOD Çarpma, bölme, modulo
4 + - Toplama ve çıkarma
5 << >> Bit düzeyinde sola ve sağa kaydırma
6 < <= > >= Karşılaştırmalar: küçüktür ve büyüktür
7 == != Karşılaştırmalar: eşit ve eşit değil
8 & Bit düzeyinde VE
9 ^ Bit düzeyinde özel VEYA (XOR)
10 | Bit düzeyinde dahil (normal) VEYA
11 && mantıksal VE
12 || mantıksal VEYA
13 ? : Koşullu ifade (üçlü)
14 = += -= *= /= %= &= |= ^= <<= >>= Atama operatörleri (sağdan sola)
15 , virgül operatörü

Örnekler: (Not: Aşağıdaki örneklerde '≡', "eşdeğerdir" anlamında kullanılmıştır ve örnek ifadenin bir parçası olarak kullanılan gerçek bir atama operatörü olarak yorumlanmamalıdır.)

  • !A + !B ≡ (!A) + (!B)
  • ++A + !B ≡ (++A) + (!B)
  • A + B * C ≡ A + (B * C)
  • A || B && C ≡ A || (B && C)
  • A && B == C ≡ A && (B == C)
  • A & B == C ≡ A & (B == C)

Birden çok dilde derleme yapan kaynaktan kaynağa derleyicilerin , diller arasında farklı işlem sırası sorunuyla açıkça ilgilenmesi gerekir. Örneğin Haxe , düzeni standart hale getirir ve uygun olduğu yerde parantezler ekleyerek onu zorlar.

Yazılım geliştiricisinin ikili operatör önceliği hakkındaki bilgilerinin doğruluğunun, bunların kaynak kodunda oluşma sıklığını yakından takip ettiği bulunmuştur.

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

daha fazla okuma