Monge-Amper denklemi - Monge–Ampère equation

Gelen matematik , (Gerçek) Monge-Ampere denklemi doğrusal olmayan bir ikinci dereceden kısmi diferansiyel denklem özel bir tür. Bilinmeyen fonksiyonu için ikinci dereceden denklemi u iki değişkenin X , Y bu doğrusal ise Monge-Ampere tiptedir belirleyicisi arasında Hessian matrisinin bir u ve ikinci dereceden içinde kısmi türev arasında u . Bağımsız değişkenler ( x , y ), belirli bir alan içinde değişebilir D arasında R ² . Bu terim aynı zamanda n bağımsız değişkenli benzer denklemler için de geçerlidir . Şimdiye kadarki en eksiksiz sonuçlar, denklem eliptik olduğunda elde edilmiştir .

Monge-Ampere denklemleri sık ortaya çıkan farklı geometriye , örneğin, Weyl ve Minkowsky sorunların yüzeylerin diferansiyel geometri . İlk olarak 1784'te Gaspard Monge ve daha sonra 1820'de André-Marie Ampère tarafından incelenmiştir . Monge-Ampère denklemleri teorisindeki önemli sonuçlar Sergei Bernstein , Aleksei Pogorelov , Charles Fefferman ve Louis Nirenberg tarafından elde edilmiştir . Daha yakın zamanda 2018'de Alessio Figalli , kısmen Monge-Ampère denkleminin düzenliliği ile ilgili çalışmaları nedeniyle Fields madalyasını kazandı .

Açıklama

İki bağımsız değişken x ve y ve bir bağımlı değişken u verildiğinde, genel Monge-Ampère denklemi şu şekildedir:

${\displaystyle L[u]=A\,{\text{det}}(\nabla ^{2}u)+B\Delta u+2Cu_{xy}+(DB)u_{yy}+E=A( u_{xx}u_{yy}-u_{xy}^{2})+Bu_{xx}+2Cu_{xy}+Du_{yy}+E=0,}$

burada A , B , C , D ve E yalnızca x , y , u , u _x ve u _y birinci mertebeden değişkenlere bağlı fonksiyonlardır .

Rellich teoremi

Ω, R ^3'te sınırlı bir bölge olsun ve Ω A , B , C , D ve E üzerinde yalnızca x ve y'nin sürekli fonksiyonları olduğunu varsayalım . Düşünün Dirichlet problemi bulmak için u böylece

${\displaystyle L[u]=0,\quad {\text{on}}\ \Omega }$

${\displaystyle u|_{\kısmi \Omega }=g.}$

Eğer

${\displaystyle BD-C^{2}-AE>0,}$

o zaman Dirichlet probleminin en fazla iki çözümü vardır.

eliptiklik sonuçları

Şimdi varsayalım X bir etki değerlere sahip bir değişkendir R ^{, n} ve o f ( x , u , Du ) bir pozitif fonksiyonudur. Sonra Monge-Amper denklemi

${\displaystyle L[u]=\det D^{2}uf(\mathbf {x} ,u,Du)=0\qquad \qquad (1)}$

a, doğrusal olmayan eliptik kısmi diferansiyel denklem (kendi anlamda doğrusallaştırma eliptiktir), bir sınırlandırır dikkat Resim dışbükey çözeltiler.

Buna göre, L operatörü maksimum ilkesinin versiyonlarını karşılar ve özellikle Dirichlet problemine yönelik çözümler, mevcut olmaları koşuluyla benzersizdir.

Uygulamalar

Monge-Ampère denklemleri, Riemann geometrisi , konformal geometri ve CR geometrisindeki çeşitli problemlerde doğal olarak ortaya çıkar . Bu uygulamaların en basitlerinden biri, önceden belirlenmiş Gauss eğriliği problemidir . Gerçek değerli bir K fonksiyonunun R ^n'de bir Ω alanı üzerinde belirtildiğini varsayalım , öngörülen Gauss eğriliği problemi, R ^{n +1'in} bir hiper yüzeyini z = u ( x ) bölü x ∈ Ω şeklinde bir grafik olarak tanımlamaya çalışır . yüzeyin her noktası Gauss eğriliği K ( x ) ile verilir. Ortaya çıkan kısmi diferansiyel denklem

${\displaystyle \det D^{2}uK(\mathbf {x} )(1+|Du|^{2})^{(n+2)/2}=0.}$

Monge-Ampère denklemleri , "maliyet fonksiyoneli" Öklid mesafesi ile verildiğinde , Monge-Kantorovich optimal toplu taşıma problemi ile ilgilidir .

Ayrıca bakınız

• Karmaşık Monge-Amper denklemi

Referanslar

Ek referanslar

• Gilbarg, D. ve Trudinger, NS İkinci Dereceden Eliptik Kısmi Diferansiyel Denklemler. Berlin: Springer-Verlag, 1983. ISBN  3-540-41160-7 ISBN  978-3540411604
• AV Pogorelov (2001) [1994], "Monge–Ampère denklemi" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press

Dış bağlantılar

• Weisstein, Eric W. "Monge-Ampère Diferansiyel Denklemi" . Matematik Dünyası .