Maksimal kompakt alt grup - Maximal compact subgroup

Gelen matematik , bir maksimal kompakt alt grup K a topolojik grup G, a, alt grup K a, kompakt boşluk içinde, alt uzay topoloji ve maksimal bu alt gruplar arasında.

Maksimal kompakt alt gruplar Lie grupları ve özellikle yarı basit Lie grupları sınıflamasına önemli bir rol oynamaktadır. Lie gruplarının Maksimal kompakt alt grupları vardır değil benzersiz genel olarak, bunlarla kadar özeldir konjugasyon - olurlarsa esasen benzersiz .

Örnek

Bir örnek alt grup O (2), olacaktır dik grup içinde, genel lineer grubunun GL (2, R ). İlgili bir örnek daire grubu SO (2) içinde SL (2, R ) . Açıktır ki, SO (2) GL içinde (2, R ), kompakt ve maksimal değildir. Herhangi biri gibi, bu örneklerde olmayan teklik görülebilir İç çarpım , bir ilgili ortogonal gruba sahip ve temel özgünlüğü iç ürünün temel benzersiz karşılık gelir.

Tanım

A - maksimal kompakt bir alt grubu, kompakt alt arasında bir maksimum alt grubu olan maksimal (kompakt bir alt grubu) - yerine (alternatif muhtemel okuma) bir olmaktan maksimal alt grup kompakt olması umulur; muhtemelen aranmak olan kompakt (maksimum alt grubu) , ancak her durumda, amaçlanan anlamı değildir (ve aslında maksimal uygun alt gruplar, genel olarak kompakt değildir).

Varlık ve teklik

Cartan-Iwasawa-Malcev teoremi (hatta her yerel kompakt grubu bağlıdır ve) her bağlı Lie grubu maksimal kompakt alt grubu kabul ettiği ileri sürerken ve birbirlerine her konjugat olduğu. Bir İçin yarı-basit Lie grubu teklik bir sonucudur Cartan sabit nokta teoremi kompakt grup tam basit bağlantılı üzerinde izometrileri tarafından hareket halinde yönünde görüş olumsuz kavisli Riemann manifoldu o zaman sabit bir nokta vardır.

Bağlı Lie grupları maksimal kompakt alt grupları genellikle olmayan eşsiz fakat iki maksimal kompakt alt grup verilen anlamı, konjugasyon kadar eşsizdir K ve L , bir element vardır g ∈ G şekilde GKG ^-1 = L dolayısıyla maksimal kompakt - alt grubudur esasen benzersiz ve insanlar sık sık "" maksimal kompakt alt grup söz ediyoruz.

Genel lineer grubunun GL (Örneğin , n , R ' ), bu durum, aslında tekabül bir iç çarpım ile R ^{, n} , bir (kompakt) dik grup (bunun izometri grubu) tanımlar - ve ortonormal baz kabul ettiği: değişikliği bazında klasik ortogonal grubu O (üzere izometri grubu konjuge konjuge elemanı tanımlanmıştır , n , R ).

Kanıtlar

Gerçek bir yarı-basit Lie grubu için, varoluş ve maksimal kompakt alt grubun teklik Cartan kanıtı bulunabilir Borel (1950) ve Helgason (1978) . Cartier (1955) ve (1965) Hochschild bağlı Lie gruplarına uzantısı ve bağlı yerel kompakt gruplar tartışır.

Yarı basit grupları için, varlığı kompakt varlığının bir sonucu olan gerçek formu noncompact yarı-basit Lie grubunun ve karşılık gelen Cartan ayrışma . Teklik kanıtı tekabül gerçeğine dayanır Riemann simetrik uzay G / K sahiptir negatif eğrilik ve Cartan sabit nokta teoremi. (1955) Mostow göstermiştir ki herhangi bir noktada, üstel fonksiyon türevi G / K tatmin | d exp X | ≥ | X |. Bu ifade eder G / K a, Hadamard alan yani, tam bir ölçüm alanı bir Öklid uzayda paralel kenar kuralının zayıflatılmış biçimini tatmin. Teklik sonra türeyemez Bruhat-Göğüsler sabit nokta teoremi . Gerçekten de, bir Hadamard uzayda herhangi sınırlandırılmış kapalı bir set benzersiz küçük kapalı topun bulunan, merkezi onun denir circumcenter . Özellikle kompakt bir grubun yörüngeleri her circumcenter düzeltmek gerekir izometrileri hareket ederek.

yarıbasit gruplar için teklik Kanıtı

Mostow (1955) , aynı zamanda, GL (durumuna yarı basit grupları için genel bir sorun, ilgili N , R ). Karşılık gelen simetrik alan pozitif simetrik matrislerin alanıdır. Bu mekanın temel özelliklerine dayanarak teklik doğrudan kanıtı verilmektedir Hilgert & Neeb (2012) .

Let ile gerçek yarı-basit Lie cebiri Cartan involusyon σ. Bu şekilde sabit nokta alt grup σ maksimal kompakt bir alt grubu olan K ve eigenspace ayrışma yoktur ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ Displaystyle \ displaystyle {{\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {k}} \ oplus {\ mathfrak {s}}}}$

nerede , Lie cebiri K , 1 eigenspace olduğunu. Cartan ayrışma verir ${\ Displaystyle {\ mathfrak {k}}}$

${\ Displaystyle \ displaystyle {G = K \ cdot \ exp {\ mathfrak {s}} = K \ cdot, P = P \ cdot K.}}$

Eğer B olan öldürme şekli ile verilen B ( x , Y, o) = Tr (reklam X) (reklam Y), ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ Displaystyle \ displaystyle {(X, Y) = {\ sigma} = - B (X \ sigma (E))}}$

gerçek bir iç üründür . Eşlenik temsil altında, K alt grubu olan G , bu iç çarpımı korur. ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Eğer , H başka kompakt bir alt grubu olan G sonra üzerine iç çarpımı ortalama H Haar ölçüsü bakımından altında bir iç ürün değişmeyen verir H . Operatörler Reklam s ile p içinde p pozitif simetrik operatörleri. Bu yeni iç Anlık koruma olarak yazılabilir

${\ Displaystyle (S \ cdot X, Y) = {\ sigma}}$

burada G üzerinde olumlu bir simetrik operatörü bu şekilde Reklam ( h ) ^t S Reklam h = S için saat içinde H (iç ürüne göre hesaplanan aktarır ile). Ayrıca, için x de G , ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ Displaystyle \ displaystyle {\ mathrm {Reklam} \, \ sigma (x) = (\ mathrm {Reklam} \, (x) ^ {- 1}). ^ {T}}}$

Yani için saat içinde H ,

${\ Displaystyle \ displaystyle {S \ Circ \ mathrm {Reklam} (\ Sigma (h)) = \ mathrm {Reklam} (h) \ Circ S}}$

İçin X olarak tanımlamak ${\ Displaystyle {\ mathfrak {s}}}$

${\ Displaystyle \ displaystyle {f (e ^ {X}) = \ mathrm {Tr} \, \ mathrm {Reklam} (e ^ {X}) S.}}$

Eğer E _I için özvektörler ortonormal baz olan S ile Se _i = λ _I e _ı , daha sonra

${\ Displaystyle \ displaystyle {f (e ^ {X}) = \ toplamı \ lambda _ {I} (\ mathrm {Reklam} (e ^ {X}) e_ {ı}, e_ {ı}) = {\ sigma } \ geq (\ dak \ lambda _ {i}) \ cdot \ mathrm {Tr} \, e ^ {\ mathrm {reklam} \ X}}}$

böylece f | kesinlikle pozitiftir gibi ∞ eğilimi X | ∞ eğilimindedir. Aslında bu norm simetrik operatörleri reklam operatör norm eşdeğerdir X i, reklam, çünkü olumsuz ile meydana gelir ve her bir sıfır olmayan özdeğer X, a, eğri-eşlenik operatörü kompakt gerçek formuna . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {k}} \ oplus i {\ mathfrak {s}}}$

Yani f global minimum sahiptir Y söylüyorlar. Çünkü eğer Bu minimum, tektir Z'nin sonra başka idi

${\ Displaystyle \ displaystyle {e ^ {Z} = e ^ {E / 2} e ^ {X}, e ^ {E / 2}}}$

burada X, içinde Cartan ayrışma ile tanımlanır ${\ Displaystyle {\ mathfrak {s}}}$

${\ Displaystyle \ displaystyle {e ^ {Z / 2} e ^ {-. Y / 2} = k \ cdot e ^ {X / 2}}}$

Eğer f _ı reklam özvektörleri ortonormal baz olan X gerçek öz karşılık gelen u _i , daha sonra

${\ Displaystyle \ displaystyle {g (t) = f (e ^ {E / 2} e ^ {tX} e ^ {E / 2}) = \ toplamı e ^ {\ u _ {I} t} \ | Reklam (e ^ {e / 2}) f_ {ı} \ | _ {\ sigma} ^ {2}}}.$

Sağ taraftaki üstel olumlu kombinasyonu olduğu için, gerçek değerli işlev g olup kesinlikle dışbükey eğer X ≠ 0, böylece benzersiz bir minimuma sahiptir. Diğer yandan, yerel minimuma sahiptir t = 0 ve t dolayısıyla = 1 x = 0 ve p = exp -Y eşsiz global minimumdur. Yapı olarak f ( x ) = f (σ ( h ) Xh ^-1 ) için saat içinde , H , böylece p = σ ( h ) pH ^-1 için saat içinde H . Bu nedenle σ ( h ) = php ^-1 . Sonuç olarak, eğer gr = exp Y / 2, GhG ^-1 σ ile sabitlenir ve bu nedenle yatmaktadır K .

Uygulamalar

Temsil teorisi

Maksimal kompakt alt gruplar temel bir rol oynar temsil teorisi zaman G kompakt değildir. Bu durumda, bir maksimal kompakt alt grup K a, kompakt Lie grubu teori daha kolay olduğu için, (a Lie grubunun kapalı bir alt grubu, bir Lie grubu olduğu),.

Temsili teorileri ilgili işlemler G ve K olan temsilleri kısıtlayıcı gelen G için K ve temsiller uyarılması ile ilgili K için G ve bu oldukça iyi anlaşılmaktadır; Onların teori bu içermektedir küresel fonksiyonları .

Topoloji

Cebirsel topolojisi Lie grupları aynı zamanda büyük ölçüde maksimum kompakt bir alt-grubu tarafından taşınan K . Daha net olmak gerekirse, bağlı bir Lie grubu, bir maksimal kompakt (ancak bir grup teorik ürün) bir topolojik ürün K - ve bir Öklid boşluk G = K x R ^d - Bu şekilde, özellikle de K a, deformasyon geri çekme ve G, ve bir Homotopy eşdeğer , ve bu nedenle aynı sahip homotopi grupları . Gerçekten de, dahil ve deformasyon geri çekme olan homotopi denkliği . ${\ Displaystyle K \ hookrightarrow G}$${\ Displaystyle G \ twoheadrightarrow K}$

Genel lineer grubu için, bu ayrışma QR ayrışımı ve deformasyon retraksiyon olan Gram-Schmidt işlemi . Genel bir yarı-basit Lie grubu için, ayrışma Iwasawa ayrışma ve G olarak G = KAN ki burada K bir olan bir ürün ortaya çıkar , kısaltılabilir alt grup BİR .

Ayrıca bakınız

• Hyperspecial alt grup
• Karmaşık Lie grubu

notlar

Referanslar

• Borel, Armand (1950), sous-Groupes parçalar maximaux des de Lie groupes (müracaat No. 33) , Séminaire Bourbaki, 1
• Cartier, P. (1955), Yapı topologique des de Lie GENERAUX (Exposé No.22) groupes , Séminaire "Sophus Lie", 1
• Dieudonné, J. (1977), Kompakt Lie grupları ve yarı-basit Lie grupları, Bölüm XXI , analiz Risalesi, 5 , Academic Press, ISBN  012215505X
• Helgason, Sigurdur (1978), Diferansiyel Geometri, Lie grupları ve Simetrik Spaces , Academic Press, ISBN  978-0-12-338460-7
• Hilgert Joachim; Neeb Karl-Hermann (2012), Yapı ve Lie gruplarının geometri , matematik Springer monografi, Springer, ISBN  0387847944
• Hochschild, G. (1965), Lie gruplarının yapısı , Holden-Day
• Mostow, GD (1955), yarı basit gruplar için bazı yeni ayrışma teoremi Mem. Amer. Matematik. Soc., 14 , s. 31-54
• Onishchik, AL; Vinberg EB (1994), Lie Grupları ve Lie Cebirleri III Lie Grupları ve Lie Cebirlerinin yapısı , Matematiksel Bilimler Ansiklopedisi, 41 , Springer, ISBN  9783540546832
• "Büyük Lie gruplarının teorisi Üzerine" Malcev, A. (1945), Mat.Sbornik , 16 : 163-189
• "Topolojik grupların bazı türleri Üzerine" Iwasawa, K. (1949), Ann. Math. , 50 : 507-558, DOI : 10,2307 / 1.969.548