Mathieu işlevi - Mathieu function

In matematik , Mathieu fonksiyonları , bazen denilen açısal Mathieu fonksiyonları, Mathieu'un ait çözümleridir diferansiyel denklemi

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+(a-2q\cos 2x)y=0,}$

nerede ve parametrelerdir. İlk olarak , titreşimli eliptik davul başlıklarını incelerken karşılaşan Émile Léonard Mathieu tarafından tanıtıldılar . Optik , kuantum mekaniği ve genel görelilik gibi fiziksel bilimlerin birçok alanında uygulamaları vardır . Periyodik hareketi içeren problemlerde veya eliptik simetriye sahip kısmi diferansiyel denklem sınır değeri problemlerinin analizinde ortaya çıkma eğilimindedirler . ${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili q}$

Tanım

matematik fonksiyonları

Bazı kullanımlarda, Mathieu fonksiyonu rasgele değerleri Mathieu diferansiyel denklem solüsyonlar anlamına gelmektedir ve . Hiçbir karışıklık ortaya çıkabilir, diğer yazarlar için özel olarak atfen kullanacağız veya - sadece özel değerleri için var -periyodik çözümler ve . Daha doğrusu, verilen (gerçek) için bu tür periyodik çözümler , geleneksel olarak iki ayrı dizi olarak indekslenen ve için karakteristik sayılar olarak adlandırılan sonsuz sayıda değer için mevcuttur . Karşılık gelen işlevler sırasıyla ve ile gösterilir . Bunlara bazen kosinüs-eliptik ve sinüs-eliptik veya birinci tür Mathieu fonksiyonları da denir . ${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili q}$${\görüntüleme stili\pi }$${\görüntüleme stili 2\pi }$${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili q}$${\görüntüleme stili q}$${\görüntüleme stili bir}$${\ Displaystyle a_{n}(q)}$${\displaystyle b_{n}(q)}$${\görüntüleme stili n=1,2,3,\ldots }$${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$

Bunun gerçek olduğunu varsaymanın bir sonucu olarak , hem karakteristik sayılar hem de ilgili fonksiyonlar reel değerlidir. ${\görüntüleme stili q}$

${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$ve parite ve periyodikliğe göre (her ikisi de ) aşağıdaki gibi daha fazla sınıflandırılabilir : ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$${\görüntüleme stili x}$

fonksiyon	parite	dönem
${\displaystyle {\metin{ce}}_{n},\ n{\metin{ çift}}}$	hatta	${\görüntüleme stili\pi }$
${\displaystyle {\metin{ce}}_{n},\ n{\metin{ tek}}}$	hatta	${\görüntüleme stili 2\pi }$
${\displaystyle {\metin{se}}_{n},\ n{\metin{ çift}}}$	tuhaf	${\görüntüleme stili\pi }$
${\displaystyle {\metin{se}}_{n},\ n{\metin{ tek}}}$	tuhaf	${\görüntüleme stili 2\pi }$

Tamsayı ile dizin , artan düzende karakteristik numaralarını hizmet yanında olmasıyla uygundur ve orantılı hale ve şekilde . İle bir tam sayıdır, bu sınıflandırmaya neden olur ve tamamlayıcı düzeninin (birinci tür) Mathieu fonksiyonları gibi. Genel ve için , bunların yanı sıra, kesirli mertebeden Mathieu fonksiyonları ve periyodik olmayan çözümler de dahil olmak üzere çözümler tanımlanabilir. ${\görüntüleme stili n}$${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$${\ Displaystyle \ cos nx}$${\görüntüleme stili \sin nx}$${\displaystyle q\rightarrow 0}$${\görüntüleme stili n}$${\displaystyle {\metin{ce}}_{n}}$${\displaystyle {\metin{se}}_{n}}$${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili q}$

Değiştirilmiş Mathieu fonksiyonları

Yakından ilişkili olan, Mathieu'nun değiştirilmiş diferansiyel denkleminin çözümleri olan radyal Mathieu fonksiyonları olarak da bilinen değiştirilmiş Mathieu fonksiyonlarıdır.

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-(a-2q\cosh 2x)y=0,}$

alınarak orijinal Mathieu denklemi ile ilişkilendirilebilir . Buna uygun olarak, yekpare düzeninin birinci tür modifiye edilmiş Mathieu fonksiyonları ile gösterilen ve gelen tanımlandığı gibidir ${\displaystyle x\to \pm {\rm {i}}x}$${\displaystyle {\text{Ce}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{Se}}_{n}(x,q)}$

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}{\text{Ce}}_{n}(x,q)&={\text{ce}}_{n}({\rm {i}}x,q) .\\{\text{Se}}_{n}(x,q)&=-{\rm {i}}\,{\text{se}}_{n}({\rm {i}} x,q).\end{hizalanmış}}}$

Bu fonksiyonlar gerçek olduğunda gerçek değerlidir . ${\görüntüleme stili x}$

normalleştirme

Bu makale boyunca benimsenecek olan ortak bir normalleştirme,

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}(x,q)^{2}dx=\int _{0}^{2\pi }{ \text{se}}_{n}(x,q)^{2}dx=\pi }$

yanı sıra gerektirir ve olarak . ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)\rightarrow +\cos nx}$${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)\rightarrow +\sin nx}$${\displaystyle q\rightarrow 0}$

floket teorisi

Mathieu diferansiyel denkleminin birçok özelliği, Floquet teorisi olarak adlandırılan periyodik katsayılı adi diferansiyel denklemlerin genel teorisinden çıkarılabilir . Merkezi sonuç Floquet teoremidir :

Floquet teoremi — Mathieu denkleminin her zaman en az bir çözümü vardır , burada denklemin parametrelerine bağlı olan ve gerçek veya karmaşık olabilen bir sabittir.${\görüntüleme stili y(x)}$${\görüntüleme stili y(x+\pi )=\sigma y(x)}$${\görüntüleme stili \sigma }$

Karakteristik sayıların ile sonuçlanan değerlerle ilişkilendirilmesi doğaldır . Bununla birlikte, teoremi sadece tatmin edici en az bir çözelti varlığını garanti eder aslında Mathieu denklemi verilen iki bağımsız çözümler sahip olduğu zaman , . Gerçekten de, karakteristik sayılardan birine eşit olduğunda, Mathieu denkleminin yalnızca bir periyodik çözümü olduğu (yani, periyot veya ) olduğu ortaya çıktı ve bu çözüm, , . Diğer çözüm periyodik değildir, sırasıyla ve ile gösterilir ve ikinci tür bir Mathieu işlevi olarak adlandırılır . Bu sonuç resmi olarak İnce'nin teoremi olarak ifade edilebilir : ${\görüntüleme stili a(q)}$${\görüntüleme stili bir}$${\displaystyle \sigma =\pm 1}$${\görüntüleme stili y(x+\pi )=\sigma y(x)}$${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili q}$${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili\pi }$${\görüntüleme stili 2\pi }$${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{fe}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{ge}}_{n}(x,q)}$

İnce'nin teoremi — Temelde periyodik bir işlevi tatmin edici olarak tanımlayın . O zaman, önemsiz durum dışında , Mathieu'nun denklemi hiçbir zaman aynı ve değerleri için iki (bağımsız) temelde periyodik çözüme sahip değildir .${\displaystyle y(x+\pi )=\pm y(x)}$${\görüntüleme stili q=0}$${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili q}$

Floquet teoreminden bir örnek , , , (gerçek kısım, kırmızı; sanal kısım, yeşil)${\görüntüleme stili P(a,q,x)}$${\görüntüleme stili a=1}$${\ Displaystyle q=1/5}$${\displaystyle \mu \yaklaşık 1+0.0995i}$

Floquet teoreminin eşdeğer bir ifadesi, Mathieu denkleminin karmaşık değerli bir form çözümünü kabul etmesidir.

${\displaystyle F(a,q,x)=\exp(i\mu \,x)\,P(a,q,x),}$

nerede karmaşık sayı, Floquet üssü (veya bazen Mathieu üssü ) ve period ile periyodik olarak karmaşık değerli bir fonksiyondur . Sağa bir örnek çizilir. ${\görüntüleme stili \mu }$${\görüntüleme stili P}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili\pi }$${\görüntüleme stili P(a,q,x)}$

Mathieu fonksiyonlarının diğer türleri

İkinci tür

Mathieu denklemi ikinci dereceden bir diferansiyel denklem olduğundan, lineer olarak bağımsız iki çözüm oluşturulabilir. Floquet'in teorisi, eğer karakteristik bir sayıya eşitse, bu çözümlerden birinin periyodik, diğerinin ise periyodik olmayan olarak alınabileceğini söyler . Periyodik çözelti biridir ve entegre düzeninin birinci tür bir Mathieu fonksiyonu olarak adlandırılır. Periyodik olmayan , sırasıyla ya ve ile gösterilir ve ikinci türden (integral düzende) bir Mathieu işlevi olarak adlandırılır. Periyodik olmayan çözümler kararsızdır, yani . ${\görüntüleme stili bir}$${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{fe}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{ge}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle z\rightarrow \pm\infty }$

Değiştirilmiş Mathieu fonksiyonlarına karşılık gelen ikinci çözümler ve doğal olarak ve olarak tanımlanır . ${\displaystyle {\text{Ce}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{Se}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{Fe}}_{n}(x,q)=-i{\text{fe}}_{n}(xi,q)}$${\displaystyle {\text{Ge}}_{n}(x,q)={\text{ge}}_{n}(xi,q)}$

kesirli düzen

Fraksiyonel düzenin Mathieu işlevler bu çözeltiler olarak tanımlanabilir ve , çevrilir olmayan bir tamsayı, ve olduğu gibi . Eğer irrasyonel iseler, periyodik değildirler; ancak, olarak sınırlı kalırlar . ${\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)}$${\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)}$${\görüntüleme stili p}$${\ Displaystyle \ cos piksel}$${\ Displaystyle \ günah piksel}$${\displaystyle q\rightarrow 0}$${\görüntüleme stili p}$${\displaystyle x\sağ ok \infty }$

Çözümlerin ve tamsayı olmayanlar için önemli bir özelliği , aynı değer için var olmalarıdır . Buna karşılık, ne zaman bir tamsayıdır ve aynı değeri için asla oluşmaz . (Yukarıdaki İnce Teoremi'ne bakın.) ${\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)}$${\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili p}$${\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)}$${\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)}$${\görüntüleme stili bir}$

Bu sınıflandırmalar aşağıdaki tabloda özetlenmiştir. Değiştirilmiş Mathieu işlevi karşılıkları benzer şekilde tanımlanır.

Mathieu fonksiyonlarının sınıflandırılması

Sipariş	Birinci tür	İkinci tür
integral	${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$	${\displaystyle {\text{fe}}_{n}(x,q)}$
integral	${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$	${\displaystyle {\text{ge}}_{n}(x,q)}$
kesirli ( bütünsel olmayan) ${\görüntüleme stili p}$	${\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)}$	${\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)}$

Açık temsil ve hesaplama

Birinci tür

Birinci türden Mathieu fonksiyonları Fourier serisi olarak gösterilebilir :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ce}}_{2n}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }A_{2r}^{(2n)} (q)\cos(2rx)\\{\text{ce}}_{2n+1}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }A_{2r+1}^ {(2n+1)}(q)\cos \left[(2r+1)x\right]\\{\text{se}}_{2n+1}(x,q)&=\sum _{ r=0}^{\infty }B_{2r+1}^{(2n+1)}(q)\sin \left[(2r+1)x\right]\{\text{se}}_ {2n+2}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }B_{2r+2}^{(2n+2)}(q)\sin \left[(2r+ 2)x\sağ]\\\end{hizalı}}}$

Genişleme katsayıları ve fonksiyonları, ancak 'den bağımsızdır . Mathieu denklemine ikame edilerek , alt endekste üç dönemli yineleme ilişkilerine uydukları gösterilebilir . Örneğin, her biri için bulur ${\ Displaystyle A_{j}^{(i)}(q)}$${\ Displaystyle B_{j}^{(i)}(q)}$${\görüntüleme stili q}$${\görüntüleme stili x}$${\displaystyle {\metin{ce}}_{2n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}aA_{0}-qA_{2}&=0\\(a-4)A_{2}-q(A_{4}+2A_{0})&=0\\ (a-4r^{2})A_{2r}-q(A_{2r+2}+A_{2r-2})&=0,\quad r\geq 2\end{hizalı}}}$

Dizinde ikinci dereceden bir yineleme olduğu için , her zaman iki bağımsız çözüm bulunabilir ve genel çözüm, ikisinin doğrusal bir kombinasyonu olarak ifade edilebilir: . Ayrıca, bu özel durumda, bir asimptotik analiz, olası bir temel çözüm seçiminin şu özelliğe sahip olduğunu gösterir: ${\ Displaystyle 2r}$${\displaystyle X_{2r}}$${\görüntüleme stili Y_{2r}}$${\displaystyle A_{2r}=c_{1}X_{2r}+c_{2}Y_{2r}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{2r}&=r^{-2r-1}\left(-{\frac {e^{2}q}{4}}\sağ)^{r}\ sol[1+{\mathcal {O}}(r^{-1})\sağ]\\Y_{2r}&=r^{2r-1}\left(-{\frac {4}{e^ {2}q}}\sağ)^{r}\left[1+{\mathcal {O}}(r^{-1})\sağ]\end{hizalı}}}$

Özellikle, sonlu iken ıraksar. Bu nedenle yazarken , Fourier serisinin yakınsaması için temsilinin şu şekilde seçilmesi gerektiğini görüyoruz . Bu seçimler karakteristik sayılara karşılık gelir. ${\displaystyle X_{2r}}$${\görüntüleme stili Y_{2r}}$${\displaystyle A_{2r}=c_{1}X_{2r}+c_{2}Y_{2r}}$${\displaystyle {\metin{ce}}_{2n}}$${\görüntüleme stili bir}$${\ Displaystyle c_{2}=0}$${\görüntüleme stili bir}$

Bununla birlikte, genel olarak, değişken katsayılı üç terimli bir yinelemenin çözümü basit bir şekilde temsil edilemez ve bu nedenle koşuldan belirlemenin basit bir yolu yoktur . Ayrıca, karakteristik bir sayının yaklaşık değeri bilinse bile, yinelemeyi artan yönde sayısal olarak yineleyerek katsayıları elde etmek için kullanılamaz . Bunun nedeni, yalnızca karakteristik bir sayıya yaklaştığı sürece , özdeş olmadığı ve ıraksak çözümün sonunda yeterince büyük olması için baskın olmasıdır . ${\görüntüleme stili bir}$${\ Displaystyle c_{2}=0}$${\ Displaystyle A_{2r}}$${\görüntüleme stili r}$${\görüntüleme stili bir}$${\ Displaystyle c_{2}}$${\görüntüleme stili 0}$${\görüntüleme stili Y_{2r}}$${\görüntüleme stili r}$

Bu sorunların üstesinden gelmek için daha karmaşık yarı analitik/sayısal yaklaşımlar gereklidir, örneğin sürekli bir kesir genişletmesi kullanmak , tekrarı bir matris özdeğer problemi olarak kullanmak veya bir geriye doğru tekrarlama algoritması uygulamak. Üç terimli yineleme ilişkisinin karmaşıklığı, Mathieu işlevlerini içeren birkaç basit formül ve özdeşliğin olmasının nedenlerinden biridir.

Pratikte, Mathieu fonksiyonları ve karşılık gelen karakteristik sayılar, Mathematica , Maple , MATLAB ve SciPy gibi önceden paketlenmiş yazılımlar kullanılarak hesaplanabilir . Küçük ve düşük mertebeden değerler için , fiziksel uygulamalarda faydalı olabilecek güç serileri olarak pertürbatif olarak ifade edilebilirler. ${\görüntüleme stili q}$${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili q}$

İkinci tür

İkinci tür Mathieu fonksiyonlarını temsil etmenin birkaç yolu vardır. Bir temsil Bessel fonksiyonları cinsindendir :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{fe}}_{2n}(x,q)&=-{\frac {\pi \gamma _{n}}{2}}\sum _{r =0}^{\infty }(-1)^{r+n}A_{2r}^{(2n)}(-q)\ {\text{Im}}[J_{r}({\sqrt { q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})],\quad {\text{nerede }}\gamma _{n}=\left\{ {\begin{array}{cc}{\sqrt {2}},&{\text{ if }}n=0\\2n,&{\text{ if }}n\geq 1\end{array}} \right.\\{\text{fe}}_{2n+1}(x,q)&={\frac {\pi {\sqrt {q}}}{2}}\sum _{r=0 }^{\infty }(-1)^{r+n}A_{2r+1}^{(2n+1)}(-q)\ {\text{Im}}[J_{r}({\ sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+1}({\sqrt {q}}e^{-ix})+J_{r+1}({\sqrt {q}}e^{ ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\\{\text{ge}}_{2n+1}(x,q)&=-{\frac { \pi {\sqrt {q}}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}B_{2r+1}^{(2n+1) }(-q)\ {\text{Re}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+1}({\sqrt {q}}e^{- ix})-J_{r+1}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\\{\text{ ge}}_{2n+2}(x,q)&=-{\frac {\pi q}{4(n+1)}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1 )^{r+n}B_{2r+2}^{(2n+2)}(-q)\ {\text{Re}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix })Y_{r+2}({\sqrt {q}}e^{-ix})-J_{r+2}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({ \sqrt {q}}e^{-ix})] \end{hizalanmış}}}$

nerede ve ve birinci ve ikinci türden Bessel fonksiyonlarıdır. ${\görüntüleme stili n,q>0}$${\görüntüleme stili J_{r}(x)}$${\görüntüleme stili Y_{r}(x)}$

Değiştirilmiş fonksiyonlar

Değiştirilmiş Mathieu fonksiyonlarının sayısal değerlendirmesi için geleneksel bir yaklaşım, Bessel fonksiyon ürün serileridir. Büyük ve için , çıkarma hatalarından kaçınmak için serinin formu dikkatli seçilmelidir. ${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili q}$

Özellikleri

Mathieu fonksiyonlarını içeren nispeten az sayıda analitik ifade ve kimlik vardır. Ayrıca, diğer birçok özel fonksiyonun aksine, Mathieu denkleminin çözümleri genel olarak hipergeometrik fonksiyonlar cinsinden ifade edilemez . Bu, Mathieu denkleminin değişken değişimi kullanılarak cebirsel forma dönüştürülmesiyle görülebilir : ${\görüntüleme stili t=\cos(x)}$

${\displaystyle (1-t^{2}){\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-t\,{\frac {dy}{dt}}+(a+2q (1-2t^{2}))\,y=0.}$

Bu denklem sonsuzda düzensiz tekil noktaya sahip olduğundan hipergeometrik tipte bir denkleme dönüştürülemez.

Niteliksel davranış

Birinci tür Mathieu fonksiyonlarının örnek grafikleri

Değişen için arsa${\displaystyle {\text{ce}}_{1}(x,q)}$${\görüntüleme stili q}$

Küçük için , ve benzer şekilde davranır ve . Keyfi için , trigonometrik benzerlerinden önemli ölçüde sapabilirler; ancak, genel olarak periyodik kalırlar. Dahası, herhangi bir gerçek , ve tam olarak sahip basit sıfırları içinde ve aynı sıfırlar hakkında küme . ${\görüntüleme stili q}$${\displaystyle {\metin{ce}}_{n}}$${\displaystyle {\metin{se}}_{n}}$${\ Displaystyle \ cos nx}$${\görüntüleme stili \sin nx}$${\görüntüleme stili q}$${\görüntüleme stili q}$${\displaystyle {\text{ce}}_{m}(x,q)}$${\displaystyle {\text{se}}_{m+1}(x,q)}$${\görüntüleme stili m}$ ${\displaystyle 0<x<\pi }$${\displaystyle q\sağ ok \infty }$${\displaystyle x=\pi /2}$

Değiştirilmiş Mathieu fonksiyonları için ve olduğu gibi , sönümlü periyodik fonksiyonlar gibi davranma eğilimindedir. ${\görüntüleme stili q>0}$${\displaystyle x\sağ ok \infty }$

Aşağıda, ve Fourier genleşmesinin faktörleri için ve referans (bakınız Açık temsil ve hesaplama ). bağlıdırlar ve ancak ondan bağımsızdırlar . ${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili B}$${\displaystyle {\metin{ce}}_{n}}$${\displaystyle {\metin{se}}_{n}}$${\görüntüleme stili q}$${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili x}$

Yansımalar ve çeviriler

Onların parite ve periyodisitesine nedeniyle, ve katları ile yansımaları ve çevirileri altında basit özelliklere sahip : ${\displaystyle {\metin{ce}}_{n}}$${\displaystyle {\metin{se}}_{n}}$${\görüntüleme stili\pi }$

${\displaystyle {\begin{hizalı}&{\text{ce}}_{n}(x+\pi )=(-1)^{n}{\text{ce}}_{n}(x)\ \&{\text{se}}_{n}(x+\pi )=(-1)^{n}{\text{se}}_{n}(x)\\&{\text{ce} }_{n}(x+\pi/2)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{n}(-x+\pi/2)\\&{\text{se}} _{n+1}(x+\pi/2)=(-1)^{n}{\text{se}}_{n+1}(-x+\pi/2)\end{hizalı}}}$

Pozitif olanlarla ilgili olarak negatif olan fonksiyonlar da yazılabilir : ${\görüntüleme stili q}$${\görüntüleme stili q}$

${\displaystyle {\begin{hizalı}&{\text{ce}}_{2n+1}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{se}}_{2n+1 }(-x+\pi /2,q)\\&{\text{ce}}_{2n+2}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{ce}}_ {2n+2}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{se}}_{2n+1}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{ ce}}_{2n+1}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{se}}_{2n+2}(x,-q)=(-1)^{n} {\text{se}}_{2n+2}(-x+\pi /2,q)\end{hizalı}}}$

Dahası,

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}&a_{2n+1}(q)=b_{2n+1}(-q)\\&b_{2n+2}(q)=b_{2n+2}(-q )\end{hizalanmış}}}$

Ortogonallik ve tamlık

Trigonometrik karşılıkları gibi ve periyodik Mathieu fonksiyonları ve ortogonallik ilişkilerini sağlar. ${\ Displaystyle \ cos nx}$${\görüntüleme stili \sin nx}$${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}&\int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}{\text{ce}}_{m}dx=\int _{ 0}^{2\pi }{\text{se}}_{n}{\text{se}}_{m}dx=\delta _{nm}\pi ​​\\&\int _{0}^ {2}\pi }{\text{ce}}_{n}{\text{se}}_{m}dx=0\end{hizalı}}}$

Ayrıca, sabit ve özdeğer olarak ele alınan Mathieu denklemi Sturm-Liouville biçimindedir. Bu özfonksiyonlar anlamına gelir ve tam bir set oluşturmak, yani herhangi bir - ya da bir-periyodik fonksiyonu bir seri olarak genişletilebilir ve . ${\görüntüleme stili q}$${\görüntüleme stili bir}$${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$${\görüntüleme stili\pi }$${\görüntüleme stili 2\pi }$${\görüntüleme stili x}$${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$

integral kimlikler

Mathieu denkleminin çözümleri, çekirdeklere göre bir integral özdeşlik sınıfını sağlar . ${\görüntüleme stili \chi (x,x')}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x'^{2}} }=2q\sol(\cos 2x-\cos 2x'\sağ)\chi }$

Daha doğrusu, Mathieu'nun denklemini verilen ve ile çözerse , o zaman integral ${\görüntüleme stili \phi (x)}$${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili q}$

${\displaystyle \psi (x)\equiv \int _{C}\chi (x,x')\phi (x')dx'}$

karmaşık düzlemde bir yol nerede , Mathieu'nun denklemini aynı ve ile çözer , aşağıdaki koşulların karşılanması koşuluyla: ${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili q}$

• ${\görüntüleme stili \chi (x,x')}$ çözer ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x'^{2}} }=2q\sol(\cos 2x-\cos 2x'\sağ)\chi }$
• Göz altında bölgelerde, mevcut ve bir analitik${\görüntüleme stili \psi (x)}$${\görüntüleme stili \chi (x,x')}$
• ${\displaystyle \sol(\phi {\frac {\partial \chi }{\partial x'}}-{\frac {\partial \phi }{\partial x'}}\chi \sağ)}$ uç noktalarında aynı değere sahiptir. ${\görüntüleme stili C}$

Uygun bir değişken değişikliği kullanılarak, denklem dalga denklemine dönüştürülebilir ve çözülebilir. Örneğin, bir çözüm . Bu şekilde elde edilen kimlik örnekleri şunlardır: ${\görüntüleme stili \chi }$${\displaystyle \chi (x,x')=\sinh(2q^{1/2}\sin x\sin x')}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{se}}_{2n+1}(x,q)&={\frac {{\text{se}}'_{2n+1}(0, q)}{\pi q^{1/2}B_{1}^{(2n+1)}}}\int _{0}^{\pi }\sinh(2q^{1/2}\sin x\sin x'){\text{se}}_{2n+1}(x',q)dx'\qquad (q>0)\\{\text{Ce}}_{2n}(x, q)&={\frac {{\text{ce}}_{2n}(\pi /2,q)}{\pi A_{0}^{(2n)}}}\int _{0}^ {\pi }\cos(2q^{1/2}\cosh x\cos x'){\text{ce}}_{2n}(x',q)dx'\qquad \ \ \ (q>0 )\end{hizalanmış}}}$

İkinci türün kimlikleri, değiştirilmiş Mathieu fonksiyonlarının asimptotik özelliklerini incelemek için kullanışlıdır.

Birinci ve ikinci tür fonksiyonlar arasında da integral ilişkiler vardır, örneğin:

${\displaystyle {\text{fe}}_{2n}(x,q)=2n\int _{0}^{x}{\text{ce}}_{2n}(\tau ,-q)\ J_{0}\left({\sqrt {2q(\cos 2x-\cos 2\tau )}}\sağ)d\tau ,\qquad n\geq 1}$

herhangi bir karmaşık ve gerçek için geçerlidir . ${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili q}$

asimptotik açılımlar

Aşağıdaki asimptotik açılımlar , , , ve için geçerlidir : ${\görüntüleme stili q>0}$${\displaystyle {\text{Im}}(x)=0}$${\displaystyle {\metin{Yeniden}}(x)\rightarrow \infty }$${\displaystyle 2q^{1/2}\cosh x\simeq q^{1/2}e^{x}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ce}}_{2n}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{1/2}}}\ sağ)^{1/2}{\frac {{\text{ce}}_{2n}(0,q){\text{ce}}_{2n}(\pi /2,q)}{A_ {0}^{(2n)}}}\cdot e^{-x/2}\sin \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}} \right)\\{\text{Ce}}_{2n+1}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{3/2}}}\sağ) ^{1/2}{\frac {{\text{ce}}_{2n+1}(0,q){\text{ce}}'_{2n+1}(\pi /2,q) }{A_{1}^{(2n+1)}}}\cdot e^{-x/2}\cos \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Se}}_{2n+1}(x,q)&\sim -\left({\frac {2}{\pi q^{3/2) }}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{se}}'_{2n+1}(0,q){\text{se}}_{2n+1}(\ pi /2,q)}{B_{1}^{(2n+1)}}}\cdot e^{-x/2}\cos \left(q^{1/2}e^{x}+ {\frac {\pi }{4}}\sağ)\\{\text{Se}}_{2n+2}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q) ^{5/2}}}\sağ)^{1/2}{\frac {{\text{se}}'_{2n+2}(0,q){\text{se}}'_{ 2n+2}(\pi /2,q)}{B_{2}^{(2n+2)}}}\cdot e^{-x/2}\sin \left(q^{1/2} e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\sağ)\end{hizalı}}}$

Böylece, değiştirilmiş Mathieu işlevleri, büyük gerçek argüman için katlanarak azalır. Benzer asimptotik açılımlar ve için yazılabilir ; bunlar da büyük bir gerçek argüman için katlanarak bozulur. ${\displaystyle {\text{Fe}}_{n}}$${\displaystyle {\metin{Ge}}_{n}}$

Çift ve tek periyodik Mathieu fonksiyonları ve ilgili karakteristik sayılar için büyük için asimptotik açılımlar da türetilebilir . Özellikle karakteristik sayılar için, yaklaşık olarak tek bir tamsayıya sahiptir, yani${\ Displaystyle ce, se}$${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili q}$${\görüntüleme stili N}$${\displaystyle N\yaklaşık N_{0}=2n+1,n=1,2,3,...,}$

${\displaystyle a(N)=-2q+2q^{1/2}N-{\frac {1}{2^{3}}}(N^{2}+1)-{\frac {1} {2^{7}q^{1/2}}}N(N^{2}+3)-{\frac {1}{2^{12}q}}(5N^{4}+34N^ {2}+9)}$

${\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;-{\frac {1}{2^{17}q^{3/2}}}N(33N^{4}+410N ^{2}+405)-{\frac {1}{2^{20}q^{2}}}(63N^{6}+1260N^{4}+2943N^{2}+41807)+{ \matematik {O}}(q^{-5/2})}$

Genişletmenin önemli bir özelliği olan ve ile ve ile yer değiştirirken buradaki simetriyi gözlemleyin . Bu genişlemenin şartları, sipariş süresi dahil olmak üzere açıkça elde edilmiştir . Burada sadece yaklaşık olarak bir tek tamsayı vardır, çünkü periyodik potansiyelin tüm minimum segmentlerinin sınırında etkin bir şekilde bağımsız harmonik osilatörler (dolayısıyla tek bir tamsayı) haline gelir . 'yi azaltarak , bariyerler arasında tünel açmak (fiziksel dilde) mümkün hale gelir ve çift ve tek periyodik Mathieu fonksiyonlarına karşılık gelen karakteristik sayıların (kuantum mekaniğinde özdeğerler olarak adlandırılır) bölünmesine yol açar . Bu bölünme, sınır koşulları ile elde edilir (kuantum mekaniğinde bu, öz değerlerin enerji bantlarına bölünmesini sağlar). Sınır koşulları: ${\görüntüleme stili q^{1/2}}$${\görüntüleme stili N}$${\görüntüleme stili -q^{1/2}}$${\görüntüleme stili -N}$${\görüntüleme stili |q|^{-7/2}}$${\görüntüleme stili N}$${\displaystyle q\sağ ok \infty }$${\ Displaystyle \ çünkü 2x}$${\displaystyle N_{0}}$${\görüntüleme stili q}$${\ Displaystyle a\rightarrow a_{\mp }}$

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {dce_{N_{0}-1}}{dx}}{\bigg )}_{\pi /2}=0,\;\;ce_{N_{0 }}(\pi/2)=0,\;\;{\bigg (}{\frac {dse_{N_{0}}}{dx}}{\bigg )}_{\pi /2}=0 ,\;\;se_{N_{0}+1}(\pi/2)=0.}$

Bu sınır koşullarının, yukarıdaki açılımla ilişkili asimptotik periyodik Mathieu fonksiyonlarına dayatılması, bir kişi için şunu elde eder: ${\görüntüleme stili bir}$

${\displaystyle N-N_{0}=\mp 2{\bigg (}{\frac {2}{\pi }}{\bigg )}^{1/2}{\frac {(16q^{1/) 2})^{N_{0}/2}e^{-4q^{1/2}}}{[{\frac {1}{2}}(N_{0}-1)]!}}{ \bigg [}1-{\frac {3(N_{0}^{2}+1)}{2^{6}q^{1/2}}}+{\frac {1}{2^{ 13}q}}(9N_{0}^{4}-40N_{0}^{3}+18N_{0}^{2}-136N_{0}+9)+...{\bigg ]}. }$

Karşılık gelen karakteristik sayılar veya özdeğerler daha sonra genişleme, yani

${\displaystyle a(N)=a(N_{0})+(N-N_{0}){\bigg (}{\frac {\partial a}{\partial N}}{\bigg )}_{ N_{0}}+....}$

Yukarıdaki uygun ifadelerin eklenmesi sonucu verir.

${\displaystyle a(N)\rightarrow a_{\mp }(N_{0})=-2q+2q^{1/2}N_{0}-{\frac {1}{2^{3}}} (N_{0}^{2}+1)-{\frac {1}{2^{7}q^{1/2}}}N_{0}(N_{0}^{2}+3) -{\frac {1}{2^{12}q}}(5N_{0}^{4}+34N_{0}^{2}+9)-...}$

${\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mp {\frac {(16q^{1/2})^{N_{ 0}/2+1}e^{-4q^{1/2}}}{(8\pi )^{1/2}[{\frac {1}{2}}(N_{0}-1) )]!}}{\bigg [}1-{\frac {N_{0}}{2^{6}q^{1/2}}}(3N_{0}^{2}+8N_{0} +3)+...{\bigg ]}.}$

Çünkü bunlar, çift Mathieu özfonksiyonları veya (yani üst, eksi işaretli) ve tek Mathieu özfonksiyonları veya (yani alt, artı işaretli) ile ilişkili özdeğerlerdir . Özfonksiyonların açık ve normalleştirilmiş açılımları veya içinde bulunabilir. ${\displaystyle N_{0}=1,3,5,...}$${\displaystyle ce_{N_{0}}}$${\displaystyle ce_{N_{0}-1}}$${\displaystyle se_{N_{0}+1}}$${\displaystyle se_{N_{0}}}$

Benzer asimptotik açılımlar, diğer periyodik diferansiyel denklemlerin çözümleri için, Lame fonksiyonları ve prolate ve oblate küresel dalga fonksiyonları için elde edilebilir .

Uygulamalar

Mathieu'nun diferansiyel denklemleri, mühendislik, fizik ve uygulamalı matematikte çok çeşitli bağlamlarda ortaya çıkar. Bu uygulamaların çoğu iki genel kategoriden birine girer: 1) eliptik geometrilerdeki kısmi diferansiyel denklemlerin analizi ve 2) uzayda veya zamanda periyodik olan kuvvetleri içeren dinamik problemler. Her iki kategorideki örnekler aşağıda tartışılmaktadır.

Kısmi diferansiyel denklemler

Mathieu işlevleri , değişkenlerin eliptik koordinatlarda ayrılması 1) 3 boyutlu Laplace denklemine ve 2) 2 veya 3 boyutlu Helmholtz denklemine uygulandığında ortaya çıkar . Helmholtz denklemi, klasik dalgaların uzaysal varyasyonunu modellemek için prototip bir denklem olduğundan, Mathieu fonksiyonları çeşitli dalga fenomenlerini tanımlamak için kullanılabilir. Örneğin, hesaplamalı elektromanyetiklerde , elektromanyetik dalgaların eliptik silindirlerden saçılımını ve eliptik dalga kılavuzlarında dalga yayılımını analiz etmek için kullanılabilirler . Olarak genel görelilik , kesin bir düzlem dalgası çözeltisi Einstein alan denklem Mathieu işlevleri açısından verilebilir.

Daha yakın zamanlarda, Mathieu fonksiyonları , kendinden tahrikli parçacıkların kararlı durum istatistiklerini tanımlayan Smoluchowski denkleminin özel bir durumunu çözmek için kullanıldı .

Bu bölümün geri kalanı, iki boyutlu Helmholtz denkleminin analizini detaylandırıyor. Dikdörtgen koordinatlarda, Helmholtz denklemi

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\ sağ)\psi +k^{2}\psi =0,}$

Eliptik koordinatlar şu şekilde tanımlanır:

${\displaystyle {\begin{hizalı}x&=c\cosh \mu \cos \nu \\y&=c\sinh \mu \sin \nu \end{hizalı}}}$

nerede , , ve pozitif bir sabittir. Bu koordinatlardaki Helmholtz denklemi ${\displaystyle 0\leq \mu <\infty }$${\displaystyle 0\leq \nu <2\pi }$${\görüntüleme stili c}$

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )}}\left({\frac {\partial ^{2}} {\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \nu ^{2}}}\sağ)\psi +k^{2}\psi =0}$

Sabit eğriler, odak uzaklığına sahip konfokal elipslerdir ; bu nedenle, bu koordinatlar, eliptik sınırları olan alanlarda Helmholtz denklemini çözmek için uygundur. Değişkenlerin ayrılması , Mathieu denklemlerini verir ${\görüntüleme stili \mu }$${\görüntüleme stili c}$${\displaystyle \psi (\mu ,\nu )=F(\mu )G(\nu )}$

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}&{\frac {d^{2}F}{d\mu ^{2}}}-\left(a-{\frac {c^{2}k^{2 }}{2}}\cosh 2\mu \sağ)F=0\\&{\frac {d^{2}G}{d\nu ^{2}}}+\left(a-{\frac) {c^{2}k^{2}}{2}}\cos 2\nu \sağ)G=0\\\end{hizalı}}}$

ayırma sabiti nerede . ${\görüntüleme stili bir}$

Spesifik bir fiziksel örnek olarak, Helmholtz denklemi, düzgün gerilim altında elastik bir zarın normal modlarını tarif ediyor olarak yorumlanabilir . Bu durumda, aşağıdaki fiziksel koşullar uygulanır:

• Periyodiklik , yani${\görüntüleme stili \nu }$${\displaystyle \psi (\mu ,\nu )=\psi (\mu ,\nu +2\pi )}$
• Ara odak çizgisi boyunca yer değiştirmenin sürekliliği: ${\displaystyle \psi (0,\nu )=\psi (0,-\nu )}$
• Ara odak çizgisi boyunca türevin sürekliliği: ${\displaystyle \psi _{\mu }(0,\nu )=-\psi _{\mu }(0,-\nu )}$

Verilen için , bu, çözümleri form ve nerede ile sınırlandırır . Bu, verilen için izin verilen değerleri kısıtlamakla aynıdır . Bu durumda kısıtlamalar, tarafından tanımlanan eliptik bir sınır gibi bazı sınırlayıcı yüzeylere fiziksel koşulların dayatılması nedeniyle ortaya çıkar . Örneğin, membranı empoze etmek için sıkıştırmak , bu da ${\görüntüleme stili k}$${\displaystyle {\text{Ce}}_{n}(\mu ,q){\text{ce}}_{n}(\nu ,q)}$${\displaystyle {\text{Se}}_{n}(\mu ,q){\text{se}}_{n}(\nu ,q)}$${\displaystyle q=c^{2}k^{2}/2}$${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili k}$${\görüntüleme stili k}$${\displaystyle \mu =\mu _{0}>0}$${\displaystyle \mu =\mu _{0}}$${\displaystyle \psi (\mu _{0},\nu )=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ce}}_{n}(\mu _{0},q)=0\\{\text{Se}}_{n}(\mu _{ 0},q)=0\end{hizalanmış}}}$

Bu koşullar sistemin normal modlarını tanımlar.

dinamik problemler

Periyodik olarak değişen kuvvetlere sahip dinamik problemlerde , hareket denklemi bazen Mathieu denklemi şeklini alır. Bu gibi durumlarda, Mathieu denkleminin genel özelliklerinin bilgisi - özellikle çözümlerin kararlılığı ile ilgili olarak - fiziksel dinamiklerin niteliksel özelliklerini anlamak için gerekli olabilir. Bu çizgiler boyunca klasik bir örnek, ters sarkaçtır . Diğer örnekler

• periyodik olarak değişen gerilime sahip bir ipin titreşimleri
• trenler üzerlerinden geçerken demiryolu raylarının stabilitesi
• mevsimsel olarak zorunlu nüfus dinamikleri
• zorunlu osilatörlerde parametrik rezonans fenomeni
• dört kutuplu iyon tuzağındaki iyonların hareketi
• Stark etkisi bir döner için elektrik dipol
• Floquet teorisi stabilite sınırı döngüsü

Kuantum mekaniği

Mathieu fonksiyonları, belirli kuantum mekanik sistemlerinde, özellikle kuantum sarkaç ve kristal kafesler gibi uzamsal olarak periyodik potansiyellere sahip olanlarda rol oynar .

Modifiye Mathieu denklemi, tekil potansiyellerin kuantum mekaniğini tanımlarken de ortaya çıkar. Belirli tekil potansiyel için radyal Schrödinger denklemi${\displaystyle V(r)=g^{2}/r^{4}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dr^{2}}}+\left[k^{2}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2 }}}-{\frac {g^{2}}{r^{4}}}\sağ]y=0}$

denkleme dönüştürülebilir

${\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}+\left[2h^{2}\cosh 2z-\left(\ell +{\frac {1}{2 }}\sağ)^{2}\sağ]\varphi =0.}$

Dönüşüm, aşağıdaki ikamelerle elde edilir

${\displaystyle y=r^{1/2}\varphi ,r=\gamma e^{z},\gamma ={\frac {ig}{h}},h^{2}=ikg,h=e ^{I\pi /4}(kg)^{1/2}.}$