Floquet teorisi - Floquet theory

Floquet teorisi , formun periyodik doğrusal diferansiyel denklemlerine çözüm sınıfıyla ilgili sıradan diferansiyel denklemler teorisinin bir dalıdır.

ile bir parçalı sürekli süre periyodik fonksiyonu ve parametreler solüsyonlarının stabilitesi durumu.

Floquet teorisinin ana teoremi olan Floquet teoremi , Gaston Floquet  ( 1883 ) nedeniyle , bu ortak doğrusal sistemin her bir temel matris çözümü için kanonik bir form verir . Bu bir verir koordinat değiştireceğim ile bu dönüşümler sabit, gerçek ile geleneksel doğrusal sisteme periyodik sistemin katsayılar .

Yoğun madde fiziğindeki kristaller gibi periyodik potansiyele sahip fiziksel sistemlere uygulandığında , sonuç Bloch teoremi olarak bilinir .

Doğrusal diferansiyel denklemin çözümlerinin bir vektör uzayı oluşturduğuna dikkat edin. Bir matris bir adlandırılır temel matris solüsyon tüm sütunları lineer bağımsız çözümler eğer. Tüm sütunlar doğrusal olarak bağımsız çözümler ise ve özdeşlik olan bir matris varsa , bir matris temel temel matris çözümü olarak adlandırılır . Temel bir matris kullanılarak temel bir matris oluşturulabilir . Başlangıç koşulu ile lineer diferansiyel denklem çözelti olup burada herhangi bir temel matris çözümdür.

Floquet teoremi

Let , doğrusal bir birinci dereceden diferansiyel denklem olmak uzunlukta bir sütun vektördür ve bir süre periyodik matris (bir bütün gerçek değerler için ). Izin vermek bu diferansiyel denklemin temel bir matris çözümü olalım . Sonra, herkes için ,

Buraya

monodromi matris olarak bilinir . Ek olarak, her bir matris için (muhtemelen karmaşık) öyle ki

bir periyodik (nokta ) matris işlevi vardır, öyle ki

Ayrıca, gerçek bir matris ve gerçek bir periyodik (periyodik ) matris işlevi vardır, öyle ki

Yukarıdaki olarak , , ve vardır matrisler.

Sonuçlar ve uygulamalar

Bu haritalama , zamana bağlı koordinat değişikliğine ( ) yol açar, bu değişimin altında orijinal sistemimiz gerçek sabit katsayılara sahip doğrusal bir sistem haline gelir . Yana sürekli ve periyodik onu bağlanmaları gerekmektedir. Böylece sıfır çözeltisinin stabilitesi ve eigen belirlenir .

Temsil , temel matris için Floquet normal formu olarak adlandırılır .

Özdeğerler ve denir karakteristik çarpan sistemi. Aynı zamanda (doğrusal) Poincaré haritalarının özdeğerleridir . Bir Floquet üs (bazen karakteristik üs olarak da adlandırılır), bir kompleks olacak şekilde sistemin karakteristik çarpanıdır. Floquet üslerinin benzersiz olmadığına dikkat edin, çünkü nerede bir tamsayıdır. Floquet üslerinin gerçek kısımlarına Lyapunov üsleri denir . Tüm Lyapunov üsleri negatifse sıfır çözüm asimptotik olarak kararlıdır , Lyapunov üsleri pozitif değilse ve aksi takdirde kararsızsa Lyapunov kararlıdır .

Referanslar

  • C. Chicone. Uygulamalı Adi Diferansiyel Denklemler. Springer-Verlag, New York 1999.
  • Ekeland, Ivar (1990). "Bir". Hamilton mekaniğinde konveksite yöntemleri . Ergebnisse der Mathematik ve ihrer Grenzgebiete (3) [Matematik ve İlgili Alanlardaki Sonuçlar (3)]. 19 . Berlin: Springer-Verlag. s. x + 247. ISBN   3-540-50613-6 . MR   1051888 . CS1 Maint: önerilmeyen parametre ( bağlantı )
  • Floquet, Gaston (1883), "Sur les équations différentielles linéaires à coefficients périodiques" (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 12 : 47–88 , doi : 10.24033 / asens.220
  • Krasnosel'skii, MA (1968), Diferansiyel Denklemlerin Yörüngeleri Boyunca Çeviri Operatörü , Providence : American Mathematical Society CS1 Maint: önerilmeyen parametre ( bağlantı ) , Matematiksel Monografların Tercümesi, 19, 294s.
  • W. Magnus, S. Winkler. Hill's Equation , Dover-Phoenix Editions, ISBN   0-486-49565-5 .
  • NW McLachlan, Mathieu Fonksiyonlarının Teorisi ve Uygulaması , New York: Dover, 1964.
  • Teschl Gerald (2012). Sıradan Diferansiyel Denklemler ve Dinamik Sistemler . Providence : Amerikan Matematik Derneği . ISBN   978-0-8218-8328-0 . CS1 Maint: önerilmeyen parametre ( bağlantı )
  • MSP Eastham, "Periyodik Diferansiyel Denklemlerin Spektral Teorisi", Matematikte Metinler, Scottish Academic Press, Edinburgh, 1973. ISBN   978-0-7011-1936-2 .

Dış bağlantılar