Kütle akışı - Mass flux

Olarak fizik ve mühendislik , kütle akışı bir kütle akış hızı . Ortak semboller j , J , q , Q , φ veya Φ'dir ( Yunanca küçük veya büyük Phi ), bazen kütlenin akan miktar olduğunu belirtmek için m alt simgesiyle birlikte kullanılır . Bu SI birimleri kg ler vardır ^-1 . Kütle akısı , moleküler kütleyi içeren Fick yasasında veya kütle yoğunluğunu içeren Darcy yasasında alternatif bir akı biçimine de işaret edebilir .

Ne yazık ki, bazen bu makaledeki kütle akışı için tanımlayıcı denklem, kütle akış hızındaki tanımlayıcı denklemle birbirinin yerine kullanılır . Örneğin, Fluid Mechanics, Schaum ve diğerleri , kütle akış hızı makalesinde denklem olarak kütle akışı tanımını kullanır.

Tanım

Matematiksel olarak, kütle akısı limit olarak tanımlanır.

${\displaystyle j_{m}=\lim _{A\to 0}{\frac {I_{m}}{A}},}$

nerede

${\displaystyle I_{m}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta m}{\Delta t}}={\frac {dm}{dt}}}$

kütle akımı (kütle akışına olan m birim zaman başına t ) ve bir kütle aktığı alandır.

j _m vektörü olarak kütle akısı için , bunun bir S yüzeyi üzerindeki yüzey integrali , ardından t ₁ ila t ₂ süresi boyunca bir integral , o zaman içinde yüzeyden geçen toplam kütle miktarını verir ( t ₂ − t ₁ ):

${\displaystyle m=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\iint _{S}\mathbf {j} _{m}\cdot \mathbf {\hat {n}} \,dA \,dt.}$

Alan enine kesit alanının ya da bir yüzey olarak, ya düz, akı gerçek veya sanal bir hesaplamak için gerekli olan veya kavisli.

Örneğin, bir filtreden veya bir zardan geçen maddeler için gerçek yüzey, filtrenin (genellikle kavisli) yüzey alanıdır ve makroskopik olarak - filtredeki/membrandaki deliklerin kapsadığı alan ihmal edilir. Boşluklar enine kesit alanları olacaktır. Bir borudan geçen sıvılar için alan, borunun dikkate alınan kesitteki kesitidir.

Vektör alan kütle içinden geçtiği alanın büyüklüğü bir kombinasyonu olan A ve birim vektörü , alan normal . İlişkidir . ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$${\displaystyle \mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}} }$

Kütle akısı j _m alan normali ile θ açısı yapan alandan geçerse , o zaman ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

${\displaystyle \mathbf {j} _{m}\cdot \mathbf {\hat {n}} =j_{m}\cos \theta}$

nerede · olan nokta ürünün birim vektörlerin. Kendisine, kütle bileşen (yani, kendisine normal) yüzeyi boyunca olan geçen akısı j _m kütlesinin bileşen alan teğet geçen akı ise İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin çünkü, bir j _m sin θ, ama orada bir akı aslında geçen kütle içinden teğet yöndeki alan. Sadece kütlesinin bileşen alan normal geçen kosinüs bileşenidir akı.

Örnek

Akan bir su borusu düşünün . Borunun sabit bir kesiti olduğunu ve düz bir kesitini (herhangi bir kıvrımda/kavşakta değil) göz önünde bulundurduğumuzu ve suyun standart koşullar altında sabit bir hızda sabit bir şekilde aktığını varsayalım . Alan bir borunun enine kesit alanıdır. Borunun yarıçapının r = 2 cm = 2 × 10 ⁻² m olduğunu varsayalım . Alan o zaman

${\displaystyle A=\pi r^{2}.}$

Kütle akısını j _m (büyüklük) hesaplamak için , alandan geçen su kütlesi miktarına ve geçen süreye de ihtiyacımız var. Bir birim varsayalım V 1.5 x 10 = = 1.5 L ^-3 m, ³ kez yoluyla geçer t = 2 saniye. Suyun yoğunluğunun ρ = 1000 kg m- ³ olduğunu varsayarsak , elimizde:

${\displaystyle {\begin{hizalı}&\Delta m=\rho \Delta V\\&m_{2}-m_{1}=\rho (V_{2}-V_{1})\\&m=\rho V\\\end{hizalanmış}}}$

(alandan geçen ilk hacim sıfır olduğundan, son V'dir , dolayısıyla karşılık gelen kütle m'dir ), dolayısıyla kütle akısı

${\displaystyle j_{m}={\frac {\Delta m}{A\Delta t}}={\frac {\rho V}{\pi r^{2}t}}.}$

Rakamların değiştirilmesi şunları verir:

${\displaystyle j_{m}={\frac {1000\times (1.5\times 10^{-3})}{\pi \times (2\times 10^{-2})^{2}\times 2 }}={\frac {3}{16\pi }}\kez 10^{4},}$

yani yaklaşık 596,8 kg s ^-1 m ^-2 .

sıvılar için denklemler

alternatif denklem

Vektör tanımını kullanarak, kütle akısı da şuna eşittir:

${\displaystyle \mathbf {j} _{\rm {m}}=\rho \mathbf {u} }$

nerede:

• ρ = kütle yoğunluğu,
• u = akan kütle elemanlarının hız alanı (yani uzayın her noktasında maddenin bir elemanının hızı bir hız vektörüdür u ).

Bazen bu denklem j _m'yi bir vektör olarak tanımlamak için kullanılabilir .

Kompozit akışkanlar için kütle ve molar akılar

Kütle akıları

Akışkanın saf olmaması, yani bir madde karışımı olması durumunda (teknik olarak bir dizi bileşen madde içerir), kütle akışları karışımın her bir bileşeni için ayrı ayrı düşünülmelidir.

Akışkan akışını (yani maddenin akışını) tanımlarken kütle akışı uygundur. Parçacık taşınımını (çok sayıda parçacığın hareketi) tanımlarken, molar akı adı verilen benzer bir niceliğin kullanılması yararlıdır .

Kütle kullanılarak, i bileşeninin kütle akısı ,

${\displaystyle \mathbf {j} _{{\rm {m}},\,i}=\rho _{i}\mathbf {u} _{i}.}$

Barisentrik kütle akışı bileşen i olan

${\displaystyle \mathbf {j} _{{\rm {m}},\,i}=\rho \left(\mathbf {u} _{i}-\langle \mathbf {u} \rangle \sağ) ,}$

burada bir ortalama kütle hızı karışımındaki bütün bileşenlerinin verdiği ${\displaystyle \langle \mathbf {u} \rangle }$

${\displaystyle \langle \mathbf {u} \rangle ={\frac {1}{\rho }}\sum _{i}\rho _{i}\mathbf {u} _{i}={\frac { 1}{\rho }}\sum _{i}\mathbf {j} _{{\rm {m}},\,i}}$

nerede

• ρ = tüm karışımın kütle yoğunluğu,
• ρ _i = i bileşeninin kütle yoğunluğu ,
• u _i = i bileşeninin hızı .

Ortalama, bileşenlerin hızları üzerinden alınır.

molar akılar

Yoğunluğu ρ "molar yoğunluk", konsantrasyon c ile değiştirirsek , molar akı analoglarını elde ederiz .

Molar akı, genellikle birim alan başına birim zamandaki mol sayısıdır:

${\displaystyle \mathbf {j} _{\rm {n}}=c\mathbf {u} .}$

Böylece, i bileşeninin molar akısı ( birim alan başına birim zamandaki mol sayısı):

${\displaystyle \mathbf {j} _{{\rm {n}},\,i}=c_{i}\mathbf {u} _{i}}$

ve barisentrik mol akı bileşen i olan

${\displaystyle \mathbf {j} _{{\rm {n}},\,i}=c\left(\mathbf {u} _{i}-\langle \mathbf {u} \rangle \sağ), }$

burada , bu kez bu ortalama mol hız tarafından verilen karışım içinde tüm bileşenlerin: ${\displaystyle \langle \mathbf {u} \rangle }$

${\displaystyle \langle \mathbf {u} \rangle ={\frac {1}{n}}\sum _{i}c_{i}\mathbf {u} _{i}={\frac {1}{ c}}\sum _{i}\mathbf {j} _{{\rm {n}},\,i}.}$

kullanım

Kütle akısı, hidrodinamikteki bazı denklemlerde , özellikle süreklilik denkleminde görülür :

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} _{\rm {m}}+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0,}$

bu, sıvının kütle korunumunun bir ifadesidir. Hidrodinamikte kütle sadece bir yerden başka bir yere akabilir.

Molar akı meydana Fick'in birinci yasanın ait difüzyon :

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} _{\rm {n}}=-\nabla \cdot D\nabla n}$

burada D bir difüzyon katsayısı .

Ayrıca bakınız

• Kütle-akı fraksiyonu
• akı
• Fick yasası
• Darcy yasası
• Dalga kütle akısı ve dalga momentumu
• Denklem tanımlama (fizik)
• Denklemi tanımlama (fiziksel kimya)

Referanslar