Lindenbaum–Tarski cebiri - Lindenbaum–Tarski algebra
Olarak matematiksel mantık , Lindenbaum Tarski cebir (veya Lindenbaum cebir a) mantıksal teorinin T oluşur denklik sınıfları arasında cümle teorinin (arasında örneğin, bölüm altında, denklik göre şöyle tanımlanır ~ o p ~ q tam olarak ne zaman p ve q , T'de kanıtlanabilir şekilde eşdeğerdir ). Yani, T teorisi her birinin diğerini ima ettiğini kanıtlıyorsa , iki cümle eşdeğerdir . Lindenbaum-Tarski cebiri, bu nedenle, formüllerin cebirini bu uygunluk ilişkisiyle çarpanlarına ayırarak elde edilen bölüm cebiridir .
Cebir, mantıkçılar Adolf Lindenbaum ve Alfred Tarski için adlandırılmıştır . İlk olarak 1935'te Tarski tarafından klasik önermeler hesabı ile Boolean cebirleri arasında denklik kurmak için bir araç olarak tanıtıldı . Lindenbaum-Tarski cebiri, modern cebirsel mantığın kaynağı olarak kabul edilir .
Operasyonlar
Bir Lindenbaum-Tarski cebir A'daki işlemler, temel T teorisindeki işlemlerden miras alınır . Bu tipik olarak, bağlaç ve ayrılma edilir, iyi tanımlanmış denklik sınıfları. Tüm olumsuzluk ayrıca mevcut olan T , sonra da bir a, Boolean cebri mantığı sağlanan klasik . T teorisi önerme totolojilerinden oluşuyorsa , Lindenbaum-Tarski cebri, önerme değişkenleri tarafından üretilen serbest Boole cebridir .
ilgili cebirler
Heyting cebir ve iç cebir için Lindenbaum Tarski cebirleridir sezgisel mantık ve lojik S4 sırasıyla.
Tarski yöntem uygulanabilir olduğu bir mantık, denir algebraizable . Bununla birlikte, durumun böyle olmadığı bir dizi mantık vardır, örneğin gereklilik kuralından yoksun olan (⊢φ ⊢□φ anlamına gelir) S1 , S2 veya S3 modal mantıkları , bu nedenle ~ (yukarıda tanımlanmıştır) bir değildir. uygunluk (çünkü ⊢φ→ψ ⊢□φ→□ψ anlamına gelmez). Tarski'nin yönteminin uygulanamadığı başka bir mantık türü, alaka düzeyi mantığıdır , çünkü iki teorem verildiğinde, birinden diğerine bir çıkarım, bir uygunluk mantığında bir teorem olmayabilir. Cebirselleştirme sürecinin (ve kavramının) başlı başına ilgi konusu olarak incelenmesi, zorunlu olarak Tarski'nin yöntemiyle değil, soyut cebirsel mantığın gelişmesine yol açmıştır .
Ayrıca bakınız
Referanslar
- Hinman, P. (2005). Matematiksel Mantığın Temelleri . AK Peters. ISBN'si 1-56881-262-0.