Liénard denklemi - Liénard equation

In matematik , daha spesifik çalışmalarında dinamik sistemlerin ve diferansiyel denklemler , bir Lienard denklemi Fransız fizikçi adını taşıyan ikinci mertebeden diferansiyel denklem vardır Alfred-Marie Lienard .

Radyo ve vakum tüp teknolojisinin geliştirilmesi sırasında, salınan devreleri modellemek için kullanılabilecekleri için Liénard denklemleri yoğun bir şekilde çalışılmıştır . Bazı ek varsayımlar altında Liénard'ın teoremi , böyle bir sistem için bir limit döngüsünün benzersizliğini ve varlığını garanti eder .

Tanım

Let f ve g , iki olmak sürekli türevlenebilir işlevleri R ile, g bir tek fonksiyonlu ve f bir İşlevde . Sonra formun ikinci mertebeden adi diferansiyel denklemi

${\ displaystyle {d ^ {2} x \ dt üzerinde ^ {2}} + f (x) {dx \ dt üzerinden} + g (x) = 0}$

Liénard denklemi olarak adlandırılır .

Liénard sistemi

Denklem, sıradan diferansiyel denklemlerin eşdeğer iki boyutlu bir sistemine dönüştürülebilir . Biz tanımlıyoruz

${\ displaystyle F (x): = \ int _ {0} ^ {x} f (\ xi) d \ xi}$

${\ displaystyle x_ {1}: = x}$

${\ displaystyle x_ {2}: = {dx \ dt üzerinden} + F (x)}$

sonra

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ dot {x}} _ {1} \\ {\ dot {x}} _ {2} \ end {bmatrix}} = \ mathbf {h} (x_ {1} , x_ {2}): = {\ başlar {bmatrix} x_ {2} -F (x_ {1}) \\ - g (x_ {1}) \ end {bmatrix}}}$

Liénard sistemi olarak adlandırılır .

Alternatif olarak, Liénard denkleminin kendisi de özerk bir diferansiyel denklem olduğundan, ikame Liénard denkleminin birinci dereceden bir diferansiyel denklem olmasına yol açar : ${\ displaystyle v = {dx \ dt üzerinden}}$

${\ displaystyle v {dv \ dx üzerinden} + f (x) v + g (x) = 0}$

ikinci türden Abel denklemine ait olan .

Misal

Van der Pol osilatör

${\ displaystyle {d ^ {2} x \ dt üzerinde ^ {2}} - \ mu (1-x ^ {2}) {dx \ dt üzerinde} + x = 0}$

bir Liénard denklemidir. Van der Pol osilatörünün çözümü bir sınır döngüsüne sahiptir. Bu tür çevrim negatif bir Lienard denkleminin bir çözümü vardır küçük de ve pozitif , aksi. Van der Pol denkleminin kesin bir analitik çözümü yoktur. Bir limit döngüsü için böyle bir çözüm , sabit bir parça bazlı fonksiyon ise mevcuttur. ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle | x |}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f (x)}$

Liénard teoremi

Bir Liénard sistemi, aşağıdaki ek özellikleri karşılıyorsa , orijini çevreleyen benzersiz ve kararlı bir sınır döngüsüne sahiptir:

• tüm x > 0 için g ( x ) > 0;
• ${\ displaystyle \ lim _ {x \ ila \ infty} F (x): = \ lim _ {x \ ila \ infty} \ int _ {0} ^ {x} f (\ xi) d \ xi \ = \ infty;}$
• F ( x ) bir değer tam olarak bir pozitif kök vardır p , burada F ( x ) <0 0 < x < p ve F ( x )> 0 ve için tekdüze x > p .

Ayrıca bakınız

• Otonom diferansiyel denklem
• İkinci türden Abel denklemi
• Biryukov denklemi

Dipnotlar

Dış bağlantılar

• "Liénard denklemi" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
• LienardSystem at PlanetMath .