Van der Pol osilatörü - Van der Pol oscillator

Bir limit çevrimi ve yön alanını gösteren, zorlanmayan Van der Pol osilatörünün faz portresi
Faz düzleminde limit çevrimin evrimi. Limit çevrimi daire şeklinde başlar ve değişen μ ile giderek keskinleşir. Bir Gevşeme osilatörü örneği .

Gelen dinamikleri , Pol osilatör der Van a, konservatif olmayan osilatör ile doğrusal olmayan süspansiyon . İkinci mertebeden diferansiyel denkleme göre zamanla gelişir :

burada x , t zamanının bir fonksiyonu olan konum koordinatıdır ve μ , sönümlemenin doğrusal olmayanlığını ve gücünü gösteren skaler bir parametredir.

Tarih

Van der Pol osilatörü ilk olarak Hollandalı elektrik mühendisi ve fizikçi Balthasar van der Pol tarafından Philips'te çalışırken önerildi . Pol der Van de daha sonra adı stabil salınımları, bulunan gevşeme-salınımlar ve hemen bir türü olarak bilinmektedir sınır döngüsü içinde elektrik devreleri kullanılarak vakum tüpleri . Bu devreler yakın sürüldü sınır döngüsü , bunlar hale tutulan , yani sürüş sinyal onunla birlikte akım çeker. Van der Pol ve meslektaşı van der Mark, Nature dergisinin Eylül 1927 sayısında , belirli sürücü frekanslarında daha sonra deterministik kaosun sonucu olduğu anlaşılan düzensiz bir gürültü duyulduğunu bildirdi .

Van Pol der denklemi hem de kullanılıyor uzun bir geçmişe sahiptir fiziksel ve biyolojik bilimler . Örneğin, biyolojide, Fitzhugh ve Nagumo , nöronların aksiyon potansiyelleri için bir model olarak denklemi düzlemsel bir alanda genişletti . Denklem aynı zamanda sismolojide jeolojik bir faydaki iki plakayı modellemek için ve fonasyon çalışmalarında sağ ve sol vokal kord osilatörlerini modellemek için kullanılmıştır .

iki boyutlu form

Liénard teoremi , sistemin bir limit çevrimi olduğunu kanıtlamak için kullanılabilir. Noktanın zaman türevini gösterdiği Liénard dönüşümünü uygulayarak, Van der Pol osilatörü iki boyutlu biçiminde yazılabilir:

.

Dönüşüme dayalı olarak yaygın olarak kullanılan başka bir form aşağıdakilere yol açar:

.

Zorlanmamış osilatör için sonuçlar

Van der Pol osilatöründe harici zorlama olmadan gevşeme salınımı . Doğrusal olmayan sönümleme parametresi μ  = 5'e eşittir .

Zorlanmamış osilatörün özellikleri için iki ilginç rejim şunlardır:

  • Tüm μ = 0, yani hiçbir emme işlevinin denklem aşağıdaki gibi olur vardır:
Bu basit harmonik osilatörün bir şeklidir ve her zaman enerjinin korunumu vardır .
  • Ne zaman μ > 0, sistem bir sınırı döngüsü girecek. Kökenli civarında x  =  dx / dt  = 0, sistem kararsız olduğu ve uzak kökenden, sistem geciktirilmiş olur.
  • Van der Pol osilatörünün kesin, analitik bir çözümü yoktur. Bununla birlikte, böyle bir çözüm sınır döngüsü için var mıdır f (x) olarak Lienard denklem , bir sabit parça-bazlı bir fonksiyonudur.

Van der Pol osilatörü için Hamiltonyen

Rastgele seçilen başlangıç ​​koşulları kararlı bir yörüngeye çekilir.

Van der Pol osilatörü için zamandan bağımsız bir Hamilton formalizmi, aşağıdaki gibi yardımcı bir ikinci mertebeden doğrusal olmayan diferansiyel denklem kullanılarak dört boyutlu otonom dinamik bir sisteme genişletilerek yazılabilir :

Orijinal Van der Pol osilatörünün dinamiklerinin, x ve y değişkenlerinin zaman-evrimleri arasındaki tek yönlü bağlantı nedeniyle etkilenmediğine dikkat edin . Bu denklem sistemi için bir Hamiltonian H olarak gösterilebilir.

burada ve vardır konjugat momentumları tekabül x ve y , sırasıyla,. Bu, prensipte, Van der Pol osilatörünün nicelleştirilmesine yol açabilir. Böyle bir Hamiltonian, aynı zamanda, zamana bağlı parametrelere sahip limit çevrim sisteminin geometrik fazını , karşılık gelen Hamiltonian sisteminin Hannay açısı ile birleştirir.

Zorlanmış Van der Pol osilatörü

Sinüzoidal zorlamalı Van der Pol osilatöründe kaotik davranış . Doğrusal olmayan sönümleme parametresi μ  = 8,53'e eşittir , zorlamanın genliği A  = 1,2 ve açısal frekans ω  = 2π / 10'dur.

Zorlanmış veya tahrik edilen Van der Pol osilatörü, 'orijinal' işlevi alır ve aşağıdaki formun diferansiyel denklemini vermek için bir sürüş fonksiyonu A sin( ωt ) ekler :

burada A bir genlik ya da yer değiştirme bölgesinin dalga fonksiyonunun ve ω onun bir açısal hızı .

Popüler kültür

Zorlanmış bir Van der Pol osilatörüyle sonuçlanan bir triyot içeren elektrik devresi . Devre şunları içerir: bir triyot, bir direnç R , bir kapasitör C , bir bağlı indüktör -kendi kendine endüktans L ve karşılıklı endüktans M . Seri RLC devresinde bir akım i vardır ve triyot anoduna ("plaka") doğru bir akım i a , triyot kontrol ızgarasında bir voltaj varken u g . Van der Pol osilatörü, bir AC voltaj kaynağı E s tarafından zorlanır .

Yazar James Gleick , 1987 tarihli Chaos: Making a New Science adlı kitabında bir vakum tüplü Van der Pol osilatörünü tanımladı . Bir New York Times makalesine göre, Gleick 1988'de bir okuyucudan modern bir elektronik Van der Pol osilatörü aldı.

Ayrıca bakınız

  • Mary Cartwright , İngiliz matematikçi, deterministik kaos teorisini, özellikle bu osilatöre uygulandığı şekliyle ilk inceleyenlerden biri.
  • Klasik van der Pol osilatörünün kuantum versiyonu olan kuantum van der Pol osilatörü, kuantum dinamiklerini ve kuantum senkronizasyonunu incelemek için bir Lindblad denklemi kullanılarak önerilmiştir . Yardımcı bir ikinci dereceden denklem ile yukarıdaki Hamilton yaklaşımının sınırsız faz-uzay yörüngeleri ürettiğine ve bu nedenle van der Pol osilatörünü nicelemek için kullanılamayacağına dikkat edin. Zayıf doğrusal olmama sınırında (yani μ→ 0) van der Pol osilatörü Stuart-Landau denklemine indirgenir . Stuart-Landau denklemi aslında zayıf doğrusal olmayan limitte tüm bir limit çevrim osilatörleri sınıfını tanımlar. Klasik Stuart-Landau denkleminin formu çok daha basittir ve belki de şaşırtıcı olmayan bir şekilde, van der Pol osilatörü için Lindblad denkleminden daha basit olan bir Lindblad denklemi ile nicelenebilir. Kuantum Stuart-Landau modeli, kuantum senkronizasyonunun çalışmasında önemli bir rol oynamıştır (burada genellikle van der Pol osilatörü olarak adlandırılsa da, van der Pol osilatörü ile benzersiz bir şekilde ilişkilendirilemez). Klasik Stuart-Landau modeli ( μ→ 0) ile daha genel limit döngü osilatörleri (keyfi μ ) arasındaki ilişki de karşılık gelen kuantum modellerinde sayısal olarak gösterilmiştir.

Referanslar

Dış bağlantılar