İçinde yoğun madde fiziği , Laughlin dalga fonksiyonu bir olan Ansatz tarafından önerilen, Robert Laughlin için temel durum a , iki boyutlu elektron gaz düzgün bir arka plan yerleştirilmiş manyetik alan muntazam varlığında jellium arka dolgu faktörü (Kuantum Hall etkisi ) en düşük Landau seviyesinin) tek pozitif tamsayı olduğu yerdir . Fraksiyonel kuantum Hall etkisinin gözlemini açıklamak için inşa edildi ve ek durumların varlığının yanı sıra , her ikisi de daha sonra deneysel olarak gözlemlenen fraksiyonel elektrik yüklü kuasipartikül uyarımlarının varlığını öngördü . Laughlin, bu keşif için 1998'de Nobel Fizik Ödülünün üçte birini aldı . Deneme dalga fonksiyonu olarak, kesin değildir, ancak niteliksel olarak, kesin çözümün birçok özelliğini yeniden üretir ve niceliksel olarak, küçük sistemler için kesin temel durumla çok yüksek örtüşmelere sahiptir.
ν
=
1
/
n
{\ displaystyle \ nu = 1 / n}
n
{\ displaystyle n}
ν
=
1
/
3
{\ displaystyle \ nu = 1/3}
ν
=
1
/
n
{\ displaystyle \ nu = 1 / n}
e
/
n
{\ displaystyle e / n}
Sıfırıncı mertebeden bir yaklaşım olarak elektronlar arasındaki jelyumu ve karşılıklı Coulomb itmesini göz ardı edersek, sonsuz dejenere en düşük Landau düzeyine (LLL) sahip oluruz ve doldurma faktörü 1 / n'dir, tüm elektronların yalan söyleyeceğini umarız. HBÖ'de. Etkileşimleri açarsak, tüm elektronların LLL'de bulunduğu tahminini yapabiliriz. Eğer düşük olan LLL devlet tek parçacık dalga fonksiyonu olan bir yörüngesel açısal momentum , daha sonra çok cisim dalga fonksiyonu için Laughlin Ansatz olan
ψ
0
{\ displaystyle \ psi _ {0}}
⟨
z
1
,
z
2
,
z
3
,
…
,
z
N
∣
n
,
N
⟩
=
ψ
n
,
N
(
z
1
,
z
2
,
z
3
,
…
,
z
N
)
=
D
[
∏
N
⩾
ben
>
j
⩾
1
(
z
ben
-
z
j
)
n
]
∏
k
=
1
N
tecrübe
(
-
∣
z
k
∣
2
)
{\ displaystyle \ langle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}, \ ldots, z_ {N} \ mid n, N \ rangle = \ psi _ {n, N} (z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}, \ ldots, z_ {N}) = D \ left [\ prod _ {N \ geqslant i> j \ geqslant 1} \ left (z_ {i} -z_ {j} \ sağ ) ^ {n} \ sağ] \ prod _ {k = 1} ^ {N} \ exp \ left (- \ mid z_ {k} \ mid ^ {2} \ sağ)}
pozisyon nerede gösterilir
z
=
1
2
l
B
(
x
+
ben
y
)
{\ displaystyle z = {1 \ 2'den fazla {\ mathit {l}} _ {B}} \ sol (x + iy \ sağ)}
( Gauss birimi )
cinsinden
l
B
=
ℏ
c
e
B
{\ displaystyle {\ mathit {l}} _ {B} = {\ sqrt {\ hbar c \ eB üzerinden}}}
ve ve xy düzleminde koordinatlarıdır. Burada azaltılır Planck sabitesi , bir elektron yükü , parçacıkların toplam sayısıdır, ve bir manyetik alan XY düzlemine diktir. Z üzerindeki alt simgeler parçacığı tanımlar. Dalga fonksiyonunun fermiyonları tanımlaması için n'nin tek bir tamsayı olması gerekir. Bu, dalga fonksiyonunu parçacık değişimi altında antisimetrik olmaya zorlar. Bu durum için açısal momentum .
x
{\ displaystyle x}
y
{\ displaystyle y}
ℏ
{\ displaystyle \ hbar}
e
{\ displaystyle e}
N
{\ displaystyle N}
B
{\ displaystyle B}
n
ℏ
{\ displaystyle n \ hbar}
İki parçacık için etkileşim enerjisi Laughlin dalga fonksiyonu, kuasipartiküller için çok partikül dalga fonksiyonudur . Beklenti değeri quasi bir çift etkileşim enerjisine ait
⟨
V
⟩
=
⟨
n
,
N
∣
V
∣
n
,
N
⟩
,
N
=
2
{\ displaystyle \ langle V \ rangle = \ langle n, N \ mid V \ orta n, N \ rangle, \; \; \; N = 2}
ekranlanmış potansiyelin olduğu yer ( bkz.Manyetik alana gömülü iki akım döngüsü arasındaki Coulomb potansiyeli )
V
(
r
12
)
=
(
2
e
2
L
B
)
∫
0
∞
k
d
k
k
2
+
k
B
2
r
B
2
M
(
l
+
1
,
1
,
-
k
2
4
)
M
(
l
′
+
1
,
1
,
-
k
2
4
)
J
0
(
k
r
12
r
B
)
{\ displaystyle V \ sol (r_ {12} \ sağ) = \ sol ({2e ^ {2} \ L_ {B}} \ sağdan) \ int _ {0} ^ {\ infty} {{k \; dk \;} \ k ^ {2} + k_ {B} ^ {2} r_ {B} ^ {2}} \; M \ sola ({\ mathit {l}} + 1,1, - {k ^ {2} \ over 4} \ right) \; M \ left ({\ mathit {l}} ^ {\ prime} +1,1, - {k ^ {2} \ over 4} \ right) \; {\ mathcal {J}} _ {0} \ left (k {r_ {12} \ over r_ {B}} \ right)}
burada a, konfluent hipergeometrik fonksiyonu ve a, Bessel fonksiyonu birinci tür. Burada, iki akım döngü merkezleri arasındaki mesafe, büyüklüğüdür elektron yükünün , kuantum versiyonu Larmor yarıçapı ve manyetik alan yönünde elektron gazının kalınlığıdır. Açısal momentumları iki ayrı akım devresi vardır ve burada . Ters tarama uzunluğu ( Gauss birimi )
ile verilmiştir.
M
{\ displaystyle M}
J
0
{\ displaystyle {\ mathcal {J}} _ {0}}
r
12
{\ displaystyle r_ {12}}
e
{\ displaystyle e}
r
B
=
2
l
B
{\ displaystyle r_ {B} = {\ sqrt {2}} {\ mathit {l}} _ {B}}
L
B
{\ displaystyle L_ {B}}
l
ℏ
{\ displaystyle {\ mathit {l}} \ hbar}
l
′
ℏ
{\ displaystyle {\ mathit {l}} ^ {\ prime} \ hbar}
l
+
l
′
=
n
{\ displaystyle {\ mathit {l}} + {\ mathit {l}} ^ {\ prime} = n}
k
B
2
=
4
π
e
2
ℏ
ω
c
Bir
L
B
{\ displaystyle k_ {B} ^ {2} = {4 \ pi e ^ {2} \ over \ hbar \ omega _ {c} AL_ {B}}}
burada bir siklotron frekansı ve xy düzleminde elektron gazının alandır.
ω
c
{\ displaystyle \ omega _ {c}}
Bir
{\ displaystyle A}
Etkileşim enerjisi şu şekilde değerlendirilir:
E
=
(
2
e
2
L
B
)
∫
0
∞
k
d
k
k
2
+
k
B
2
r
B
2
M
(
l
+
1
,
1
,
-
k
2
4
)
M
(
l
′
+
1
,
1
,
-
k
2
4
)
M
(
n
+
1
,
1
,
-
k
2
2
)
{\ displaystyle E = \ sol ({2e ^ {2} \ üzerinde L_ {B}} \ sağ) \ int _ {0} ^ {\ infty} {{k \; dk \;} \ k ^ {2 üzerinde } + k_ {B} ^ {2} r_ {B} ^ {2}} \; M \ left ({\ mathit {l}} + 1,1, - {k ^ {2} \ over 4} \ right ) \; M \ left ({\ mathit {l}} ^ {\ prime} +1,1, - {k ^ {2} \ over 4} \ right) \; M \ left (n + 1,1, - {k ^ {2} \ over 2} \ right)}
Bu sonucu elde etmek için entegrasyon değişkenlerinde değişiklik yaptık
sen
12
=
z
1
-
z
2
2
{\ displaystyle u_ {12} = {z_ {1} -z_ {2} \ over {\ sqrt {2}}}}
ve
v
12
=
z
1
+
z
2
2
{\ displaystyle v_ {12} = {z_ {1} + z_ {2} \ üzeri {\ sqrt {2}}}}
ve not edildi (bkz . Kuantum alan teorisinde ortak integraller )
1
(
2
π
)
2
2
2
n
n
!
∫
d
2
z
1
d
2
z
2
∣
z
1
-
z
2
∣
2
n
tecrübe
[
-
2
(
∣
z
1
∣
2
+
∣
z
2
∣
2
)
]
J
0
(
2
k
∣
z
1
-
z
2
∣
)
=
{\ displaystyle {1 \ solda (2 \ pi \ sağ) ^ {2} \; 2 ^ {2n} \; n!} \ int d ^ {2} z_ {1} \; d ^ {2} z_ {2} \; \ mid z_ {1} -z_ {2} \ mid ^ {2n} \; \ exp \ left [-2 \ left (\ mid z_ {1} \ mid ^ {2} + \ mid z_ {2} \ orta ^ {2} \ sağ) \ sağ] \; {\ mathcal {J}} _ {0} \ left ({\ sqrt {2}} \; {k \ mid z_ {1} - z_ {2} \ orta} \ sağ) =}
1
(
2
π
)
2
2
n
n
!
∫
d
2
sen
12
d
2
v
12
∣
sen
12
∣
2
n
tecrübe
[
-
2
(
∣
sen
12
∣
2
+
∣
v
12
∣
2
)
]
J
0
(
2
k
∣
sen
12
∣
)
=
{\ displaystyle {1 \ solda (2 \ pi \ sağ) ^ {2} \; 2 ^ {n} \; n!} \ int d ^ {2} u_ {12} \; d ^ {2} v_ {12} \; \ mid u_ {12} \ mid ^ {2n} \; \ exp \ left [-2 \ left (\ mid u_ {12} \ mid ^ {2} + \ mid v_ {12} \ orta ^ {2} \ sağ) \ sağ] \; {\ mathcal {J}} _ {0} \ left ({2} k \ mid u_ {12} \ orta \ sağ) =}
M
(
n
+
1
,
1
,
-
k
2
2
)
.
{\ displaystyle M \ sol (n + 1,1, - {k ^ {2} \ 2} üzerinde \ sağ).}
Etkileşim enerjisi minimuma sahiptir (Şekil 1)
l
n
=
1
3
,
2
5
,
3
7
,
vb.,
{\ displaystyle {{\ mathit {l}} \ over n} = {1 \ over 3}, {2 \ over 5}, {3 \ over 7}, {\ mbox {vb.,}}}
ve
l
n
=
2
3
,
3
5
,
4
7
,
vb.
{\ displaystyle {{\ mathit {l}} \ over n} = {2 \ over 3}, {3 \ over 5}, {4 \ over 7}, {\ mbox {vb.}}}
Açısal momentum oranının bu değerleri için, enerji Şekil 2'de bir fonksiyonu olarak çizilmiştir .
n
{\ displaystyle n}
Referanslar
^
Laughlin, RB (2 Mayıs 1983). "Anormal Kuantum Hall Etkisi: Kesirli Yüklü Uyarımlara Sahip Sıkıştırılamaz Kuantum Akışkan". Fiziksel İnceleme Mektupları . Amerikan Fiziksel Topluluğu (APS). 50 (18): 1395–1398. doi : 10.1103 / physrevlett.50.1395 . ISSN 0031-9007 .
^ ZF Ezewa (2008). Quantum Hall Etkileri, İkinci Baskı . World Scientific. ISBN 978-981-270-032-2
Ayrıca bakınız
<img src="https://en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">
![\ langle z_1, z_2, z_3, \ ldots, z_N \ mid n, N \ rangle = \ psi_ {n, N} (z_1, z_2, z_3, \ ldots, z_N) = D \ left [\ prod_ {N \ geqslant i> j \ geqslant 1} \ left (z_i-z_j \ sağ) ^ n \ sağ] \ prod ^ N_ {k = 1} \ exp \ left (- \ mid z_k \ mid ^ 2 \ sağ)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2500bd725cdb2da0c016b6be9e3ffebe1b5790f)
![{1 \ solda \ (2 \ pi \ sağ) ^ 2 \; 2 ^ {2n} \; n! } \ int d ^ 2z_1 \; d ^ 2z_2 \; \ orta z_1 - z_2 \ orta ^ {2n} \; \ exp \ left [- 2 \ left (\ mid z_1 \ mid ^ 2 + \ mid z_2 \ mid ^ 2 \ right) \ right] \; \ mathcal J_0 \ left (\ sqrt {2} \; {k \ mid z_1 - z_2 \ orta} \ sağ) =](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c2d3b7f868aba752a4ef9c00749b9bf7bfc5511)
![{1 \ solda \ (2 \ pi \ sağ) ^ 2 \; 2 ^ {n} \; n! } \ int d ^ 2u_ {12} \; d ^ 2v_ {12} \; \ orta u_ {12} \ orta ^ {2n} \; \ exp \ left [- 2 \ left (\ mid u_ {12} \ mid ^ 2 + \ mid v_ {12} \ mid ^ 2 \ right) \ sağ] \; \ mathcal J_0 \ left ({2} k \ orta u_ {12} \ orta \ sağ) =](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b96ab64f1028a97d4c44a6ea8592a52198bb1f47)
