Beklenti değeri (kuantum mekaniği) - Expectation value (quantum mechanics)

Olarak kuantum mekaniği , beklenti değeri olasılık olduğu beklenen değer bir deneyin sonucu (ölçüm) arasında. Olabilirliklerine göre ağırlıklandırılmış bir ölçümün tüm olası sonuçlarının ortalaması olarak düşünülebilir ve bu nedenle bir ölçümün en olası değeri değildir ; aslında, beklenti değerinin gerçekleşme olasılığı sıfır olabilir (örneğin, yalnızca tamsayı değerleri verebilen ölçümler, tamsayı olmayan bir ortalamaya sahip olabilir). Kuantum fiziğinin tüm alanlarında temel bir kavramdır .

Operasyonel tanım

Bir operatör düşünün . Beklenti değeri daha sonra içinde Dirac gösterimi ile bir normalize durum vektörü. ${\görüntüleme stili A}$${\displaystyle \langle A\rangle =\langle \psi |A|\psi \rangle }$${\ Displaystyle |\psi \rangle }$

Kuantum mekaniğinde formalizm

Kuantum teorisinde, deneysel bir düzen, ölçülecek gözlenebilir ve sistemin durumu ile tanımlanır. Beklenen değeri halde olarak gösterilir . ${\görüntüleme stili A}$ ${\görüntüleme stili \sigma }$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili \sigma }$${\displaystyle \langle A\rangle _{\sigma }}$

Matematiksel olarak, bir olan özeslenik bir operatör Hilbert uzay . Kuantum mekaniği olarak en yaygın olarak kullanılan bir durumda, a, saf halde , normalleştirilmiş vektör tarafından tarif edilen, Hilbert uzayında. Beklenen değeri halde olarak tanımlanmaktadır ${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili \sigma }$${\görüntüleme stili\psi }$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili\psi }$

${\displaystyle \langle A\rangle _{\psi }=\langle \psi |A|\psi \rangle .}$

( 1 )

Eğer dinamikleri olarak kabul edilir, vektör ya veya operatör bağlı olarak zamana bağlı olarak alınır Schrödinger resmi veya Heisenberg resim kullanılır. Ancak, beklenti değerinin evrimi bu seçime bağlı değildir. ${\görüntüleme stili\psi }$${\görüntüleme stili A}$

Eğer tam bir kümesi vardır özvektörler ile özdeğerler , daha sonra ( 1 ) olarak ifade edilebilir ${\görüntüleme stili A}$ ${\görüntüleme stili\phi _{j}}$ ${\ Displaystyle a_{j}}$

${\displaystyle \langle A\rangle _{\psi }=\sum _{j}a_{j}|\langle \psi |\phi _{j}\rangle |^{2}.}$

( 2 )

Bu ifade aritmetik ortalamaya benzer ve matematiksel formalizmin fiziksel anlamını gösterir: Özdeğerler , deneyin olası sonuçlarıdır ve bunlara karşılık gelen katsayı , bu sonucun ortaya çıkma olasılığıdır; genellikle geçiş olasılığı olarak adlandırılır . ${\ Displaystyle a_{j}}$${\displaystyle |\langle \psi |\phi _{j}\rangle |^{2}}$

Özellikle basit bir durum ortaya çıkar a, çıkıntı Bu durum, fiziksel deney bir "evet-hayır" tipine karşılık gelen öz 0 ve 1 sahiptir, böylece, ve. Bu durumda, beklenti değeri deneyin "1" ile sonuçlanma olasılığıdır ve şu şekilde hesaplanabilir: ${\görüntüleme stili A}$

${\displaystyle \langle A\rangle _{\psi }=\|A|\psi \rangle \|^{2}.}$

( 3 )

Kuantum teorisinde, bir operatörün kuantum mekaniğindeki konum operatörü gibi ayrık olmayan bir spektruma sahip olması da mümkündür . Bu operatör, sürekli bir parametreye bağlı olarak özdeğerler ve özvektörler ile tamamen sürekli bir spektruma sahiptir . Spesifik olarak, operatör uzamsal vektör üzerinde hareket olarak . Bu durumda, vektör (genellikle gerçek doğrunun) spektrumunda karmaşık değerli bir fonksiyon olarak yazılabilir . Bu, resmi olarak, ayrık durumda olduğu gibi , durum vektörünün operatörün özdeğerlerine yansıtılmasıyla sağlanır . Konum operatörünün özvektörleri, durumların vektör uzayı için tam bir temel oluşturur ve bu nedenle bir kapatma ilişkisine uyar : ${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle |x\range }$${\displaystyle X|x\rangle =x|x\rangle }$${\görüntüleme stili\psi }$${\görüntüleme stili \psi (x)}$${\görüntüleme stili X}$${\ Displaystyle |\psi \rangle }$${\textstyle \psi (x)\equiv \langle x|\psi \rangle }$

Yukarıdakiler, beklenen değerin vektör ifadesine kimlikler ekleyerek ve ardından konum bazında genişleterek , beklenen değer ( 4 ) için ortak, integral ifadeyi türetmek için kullanılabilir :

Burada ortonormallik ilişki pozisyonu baz vektörleri , bir tek yekpare çift integralini azaltır. Son satır, kuantum-mekanik integrallerde yaygın bir ikame olan ile değiştirilecek karmaşık değerli bir fonksiyonun modülünü kullanır . ${\displaystyle \langle x|x'\rangle =\delta (x-x')}$${\görüntüleme stili\psi ^{*}\psi }$${\görüntüleme stili |\psi |^{2}}$

Daha sonra, x'in sınırsız olduğu yerde, beklenti değeri formül olarak ifade edilebilir.

${\displaystyle \langle X\rangle _{\psi }=\int _{-\infty }^{\infty }\,x\,|\psi (x)|^{2}\,dx.}$

( 4 )

Benzer bir formül , sürekli spektruma sahip olduğu sistemlerde momentum operatörü için de geçerlidir . ${\görüntüleme stili P}$

Yukarıdaki formüllerin tümü yalnızca saf durumlar için geçerlidir . Göze çarpacak şekilde de termodinamik ve kuantum optik da karma durumlar önem taşır; bunlar bir pozitif iz sınıfı operatörü , istatistiksel operatör veya yoğunluk matrisi ile tanımlanır . Beklenti değeri daha sonra şu şekilde elde edilebilir: ${\görüntüleme stili \sigma }$${\textstyle \rho =\sum _{i}\rho _{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$

${\displaystyle \langle A\rangle _{\rho }=\operatöradı {İz} (\rho A)=\sum _{i}\rho _{i}\langle \psi _{i}|A|\psi _{i}\rangle =\sum _{i}\rho _{i}\langle A\rangle _{\psi _{i}}.}$

( 5 )

Genel formülasyon

Genel olarak, kuantum durumları , matematiksel olarak genellikle bir C* cebiri olarak alınan, gözlemlenebilirler kümesindeki pozitif normalleştirilmiş lineer fonksiyonellerle tanımlanır . Bir gözlemlenebilirin beklenen değeri daha sonra şu şekilde verilir: ${\görüntüleme stili \sigma }$${\görüntüleme stili A}$

${\displaystyle \langle A\rangle _{\sigma }=\sigma (A).}$

( 6 )

Observables cebir bir üzerinde indirgenemez davranıyorsa Hilbert uzay ve eğer bir olduğunu , normal fonksiyonel olduğunu, bunun içinde süreklidir ultraweak topoloji o zaman olarak yazılabilir, ${\görüntüleme stili \sigma }$

pozitif bir izleme sınıfı operatörü ile izleme 1. Bu, yukarıdaki formül ( 5 )'i verir . Bir halinde saf halde , a, çıkıntı bir birim vektör üzerine . Ardından , yukarıdaki formül ( 1 )' i verir . ${\görüntüleme stili \rho }$${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |}$${\görüntüleme stili\psi }$${\displaystyle \sigma =\langle \psi |\cdot \;\psi \rangle }$

${\görüntüleme stili A}$öz-eşlenik operatör olduğu varsayılır. Genel durumda, spektrumu ne tamamen ayrık ne de tamamen sürekli olacaktır. Yine de, bir spektral ayrıştırmada yazılabilir , ${\görüntüleme stili A}$

projektör değerli bir ölçü ile . Saf haldeki beklenti değeri için bu şu anlama gelir: ${\görüntüleme stili P}$${\görüntüleme stili A}$${\displaystyle \sigma =\langle \psi |\cdot\,\psi\rangle }$ bu, yukarıdaki ( 2 ) ve ( 4 ) formüllerinin ortak bir genellemesi olarak görülebilir .

Sonlu sayıda parçacığın göreceli olmayan teorilerinde (katı anlamda kuantum mekaniği), ele alınan durumlar genellikle normaldir. Bununla birlikte, kuantum teorisinin diğer alanlarında, normal olmayan durumlar da kullanımdadır: Örneğin, görünürler. şeklinde KMS devletler içinde kuantum mekaniği, istatistiksel sonsuz genişletilmiş medya ve tahsil durumları olarak kuantum alan teorisinin . Bu durumlarda, beklenti değeri yalnızca daha genel formül ( 6 ) ile belirlenir.

Yapılandırma alanında örnek

Örnek olarak, konfigürasyon uzay temsilinde bir uzaysal boyuttaki bir kuantum mekanik parçacığı düşünün . Burada Hilbert uzayı , reel doğru üzerinde kare integrallenebilir fonksiyonların uzayıdır. Vektörler , dalga fonksiyonları adı verilen fonksiyonlarla temsil edilir . Skaler ürün ile verilir . Dalga fonksiyonları, olasılık dağılımı olarak doğrudan bir yoruma sahiptir: ${\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \psi \in {\matematiksel {H}}}$${\görüntüleme stili \psi (x)}$${\textstyle \langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle =\int \psi _{1}^{\ast }(x)\psi _{2}(x)\,dx}$

parçacığın bir nokta etrafında sonsuz küçük bir uzunluk aralığında bulunma olasılığını verir . ${\görüntüleme stili dx}$${\görüntüleme stili x}$

Bir gözlemlenebilir olarak, dalga fonksiyonlarına göre hareket eden konum operatörünü düşünün.${\ ekran stili Q}$${\görüntüleme stili\psi }$

Çok sayıda özdeş bağımsız sistemde gerçekleştirilen ölçümlerin beklenen değeri veya ortalama değeri,${\ ekran stili Q}$

Beklenti değeri, tüm vektörler için geçerli olmayan, yalnızca integral yakınsadığında mevcuttur . Konum operatör Bunun nedeni, sınırsız ve onun arasından seçilmelidir tanımının etki . ${\görüntüleme stili\psi }$${\görüntüleme stili\psi }$

Genel olarak, herhangi bir gözlemlenebilirin beklentisi , uygun operatör ile değiştirilerek hesaplanabilir . Örneğin, ortalama hız hesaplamak için, tek bir ivme operatörünü kullanır olarak ayar alanının , . Açıkça, beklenti değeri ${\ ekran stili Q}$${\textstyle P=-i\hbar \,{\frac {d}{dx}}}$

Genel olarak tüm operatörler ölçülebilir bir değer sağlamaz. Saf bir gerçek beklenti değerine sahip bir operatöre gözlemlenebilir denir ve değeri deneyde doğrudan ölçülebilir.

Ayrıca bakınız

• Rayleigh katsayısı
• Belirsizlik ilkesi
• viral teoremi

Notlar

Referanslar

daha fazla okuma

Beklenti değeri, özellikle " Kuantum mekaniğinde formalizm " bölümünde sunulduğu şekliyle, kuantum mekaniği üzerine temel ders kitaplarının çoğunda ele alınmaktadır.

Kavramsal yönlerin bir tartışması için bkz.

• Isham, Chris J (1995). Kuantum Teorisi Dersleri: Matematiksel ve Yapısal Temeller . İmparatorluk Koleji Basın. ISBN'si 978-1-86094-001-9.