Homeomorfizma grubu - Homeomorphism group

Gelen matematik , özellikle topolojisi , homeomorfizma grubu a topolojik alanı olan grubun her oluşan homeomorfizmalar ile kendini uzaydan işlev bileşim grubu, işlem . Homeomorfizm grupları, topolojik uzaylar teorisinde çok önemlidir ve genel olarak otomorfizm gruplarına örnektir . Homeomorfizm grupları, homeomorfik topolojik uzayların homeomorfizm gruplarının gruplar olarak izomorfik olması anlamında topolojik değişmezlerdir .

Özellikler ve örnekler

Bir uzayın homeomorfizma grubunun o uzay üzerinde doğal bir grup hareketi vardır . Izin bir topolojik uzay olmak ve homeomorfizma grubunu temsil tarafından . Eylem şu şekilde tanımlanır: ${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili G}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G\times X&\longrightarrow X\\(\varphi ,x)&\longmapsto \varphi (x)\end{aligned}}}$

Bu, herkes için bir grup eylemidir , ${\displaystyle \varphi ,\psi \in G}$

${\displaystyle \varphi \cdot (\psi \cdot x)=\varphi (\psi (x))=(\varphi \circ \psi )(x)}$

burada Grup işlem, anlamına gelir ve kimlik elemanı arasında (bir kimlik fonksiyonu ile ilgili ) kendilerine noktaları gönderir. Bu eylem geçişli ise uzayın homojen olduğu söylenir . ${\görüntüleme stili \cdot}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili X}$

topoloji

Topolojik uzaylar arasındaki diğer harita setlerinde olduğu gibi, homeomorfizm grubuna kompakt-açık topoloji gibi bir topoloji verilebilir . Düzenli, yerel olarak kompakt uzaylar durumunda grup çarpımı süreklidir.

Uzay kompakt ve Hausdorff ise, inversiyon da süreklidir ve kolayca gösterilebileceği gibi topolojik bir grup haline gelir . Eğer yerel kompakt ve yerel olarak bu yanı tutan bağlı Haussdorf vardır. Bununla birlikte, inversiyon haritasının sürekli olmadığı ve dolayısıyla bir topolojik grup olmadığı yerel olarak kompakt ayrılabilir metrik uzaylar vardır . ${\ Displaystyle \ operatör adı {Homeo} (X)}$${\görüntüleme stili X}$${\ Displaystyle \ operatör adı {Homeo} (X)}$

Homeomorfizmli topolojik uzaylar kategorisinde, grup nesneleri tam olarak homeomorfizma gruplarıdır.

Eşleme sınıfı grubu

Özellikle geometrik topolojide , eşleme sınıfı grubu olarak adlandırılan izotopi ile bölümleme yapılarak elde edilen bölüm grubu dikkate alınır :

${\displaystyle {\rm {MCG}}(X)={\rm {Homeo}}(X)/{\rm {Homeo}}_{0}(X)}$

MCG da 0. olarak yorumlanabilir Homotopy grubu , . Bu kısa kesin diziyi verir : ${\displaystyle {\rm {MCG}}(X)=\pi _{0}({\rm {Homeo}}(X))}$

${\displaystyle 1\rightarrow {\rm {Homeo}}_{0}(X)\rightarrow {\rm {Homeo}}(X)\rightarrow {\rm {MCG}}(X)\rightarrow 1.}$

Bazı uygulamalarda, özellikle yüzeylerde, homeomorfizm grubu bu kısa kesin dizi aracılığıyla ve önce haritalama sınıfı grubu ve izotopik olarak önemsiz homeomorfizmler grubu ve daha sonra (bazen) uzantı incelenerek incelenir.

Ayrıca bakınız

• Eşleme sınıfı grubu

Referanslar

• "homeomorfizm grubu" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]