Holonomi - Holonomy

Bir küre üzerinde paralel taşıma yola bağlıdır. A → N → B → A boyunca taşıma , ilk vektörden farklı bir vektör verir. İlk vektöre geri dönmedeki bu başarısızlık, bağlantının holonomisi ile ölçülür.

Olarak farklı geometri , holonomi a bağlantısının bir ilgili düz manifold genel geometrik sonucudur kavis ne ölçüde ölçme bağlantı paralel taşıma kapalı döngü etrafında geometrik verileri taşınan korumak için başarısız olur. Düz bağlantılar için, ilişkili holonomi bir tür monodromidir ve doğası gereği küresel bir kavramdır. Eğri bağlantılar için, holonominin önemsiz yerel ve küresel özellikleri vardır.

Bir manifold üzerindeki her türlü bağlantı, paralel taşıma haritaları aracılığıyla bir tür holonomi kavramına yol açar. Holonominin en yaygın biçimleri, bir tür simetriye sahip bağlantılar içindir . Önemli örnekler şunları içerir: bir holonomi Levi-Civita bağlantılı olarak Riemannsal geometri (denilen Riemannsal holonomi ) arasında holonomi bağlantıları olarak vektör demetleri , bir holonomi Cartan bağlantıları , ve holonomi bağlantıları olarak ana demetleri . Bu durumların her birinde, bağlantının holonomisi , holonomi grubu olan bir Lie grubu ile tanımlanabilir . Bir bağlantının holonomisi, Ambrose-Singer teoremi aracılığıyla bağlantının eğriliği ile yakından ilişkilidir .

Riemann holonomisinin incelenmesi bir dizi önemli gelişmeye yol açmıştır. Holonomi, simetrik uzayları incelemek ve sınıflandırmak için Élie Cartan  ( 1926 ) tarafından tanıtıldı . Holonomi gruplarının Riemann geometrisini daha genel bir ortamda incelemek için kullanılması çok sonralarına kadar değildi. 1952'de Georges Rham de ispat de Rham ayrışma teoremi , bir bölmeyi bir Rieman manifoldu için bir prensip Kartezyen ürün yarılması Rieman manifoldlarının teğet demeti yerel holonomi gruplarının etkisi altında indirgenemeyen alanlara. Daha sonra 1953'te Marcel Berger olası indirgenemez holonomileri sınıflandırdı. Riemann holonomisinin ayrıştırılması ve sınıflandırılmasının fizik ve sicim teorisi için uygulamaları vardır .

Tanımlar

Vektör demetindeki bir bağlantının holonomisi

Let E bir rank- olmak k vektör demeti aşkın pürüzsüz manifoldu M ve ∇ bir olalım bağlantı üzerinde E . Verilen Bir parçalı yumuşak döngü y  : [0,1] → M esas alınarak x olarak M , bağlantı tanımlayan paralel taşıma harita P _y  : E _x → e _x . Bu harita hem doğrusal hem de ters çevrilebilirdir ve bu nedenle genel doğrusal grubun GL( E _x ) bir öğesini tanımlar . Holonomisine arasında ∇ dayanıyordu x olarak tanımlanır

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{x}(\nabla )=\{P_{\gamma }\in \mathrm {GL} (E_{x})\mid \gamma {\text{, }}x\}.}$

Kısıtlı holonomisine dayanıyordu x alt grubudur gelen büzülebilir döngüler  γ . ${\displaystyle \operatöradı {Hol} _{x}^{0}(\nabla )}$

Eğer M bir bağlanmış , daha sonra holonomisine bağlıdır basepoint x sadece kadar konjugasyon GL (içinde k , R ). Açıkça, eğer γ bir yolu x için y olarak M , daha sonra

${\displaystyle \operatöradı {Hol} _{y}(\nabla )=P_{\gamma }\operatöradı {Hol} _{x}(\nabla )P_{\gamma }^{-1}.}$

Farklı tanımlamaları seçimi E _x ile R, ^k aynı zamanda eşlenik alt gruplar verir. Bazen, özellikle genel veya gayri resmi tartışmalarda (aşağıdaki gibi), tanımın çekime kadar iyi olduğu anlayışıyla, temel noktaya atıfta bulunulabilir.

Holonomi grubunun bazı önemli özellikleri şunları içerir:

• ${\displaystyle \operatöradı {Hol} ^{0}(\nabla )}$GL( k , R )' nin bağlantılı bir Lie alt grubudur .
• ${\displaystyle \operatöradı {Hol} ^{0}(\nabla )}$olan kimlik bileşeni arasında${\displaystyle \operatöradı {Hol} (\nabla ).}$
• Doğal vardır örten grubu homomorfizması olan temel grup içinde M Homotopy sınıfı gönderir için eşküme${\displaystyle \pi _{1}(M)\to \operatöradı {Hol} (\nabla )/\operatöradı {Hol} ^{0}(\nabla ),}$${\görüntüleme stili \pi _{1}(M)}$${\görüntüleme stili [\gama ]}$ ${\displaystyle P_{\gamma }\cdot \operatöradı {Hol} ^{0}(\nabla ).}$
• Eğer M edilir basit bağlantılı , o zaman${\displaystyle \operatöradı {Hol} (\nabla )=\operatöradı {Hol} ^{0}(\nabla ).}$
• ∇ düzdür (yani kaybolan eğriliğe sahiptir), ancak ve ancak önemsiz ise.${\displaystyle \operatöradı {Hol} ^{0}(\nabla )}$

Ana paketteki bir bağlantının holonomisi

Ana demetler üzerindeki bağlantıların holonomisinin tanımı paralel bir şekilde ilerler. Let G bir olmak Lie grubu ve P , bir ana G Bundle bir fazla düz manifoldu M olan Parakompakt . ω , P üzerinde bir bağlantı olsun . Bir parçalı yumuşak verilen çevrim y  : [0,1] → M esas alınarak x olarak M ve nokta p fazla lif x , bağlantı benzersiz tanımlayan yatay asansör bu şekilde yatay devrinin son noktası, genellikle olmaz olabilir s değil başka bir nokta s · gr fazla lif x . Bir tanımlama denklik ilişkisi üzerinde ~ P söyleyerek s ~ q bir parça parça katılması, yatay yolu düz P . ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}:[0,1]\P}$${\displaystyle {\tilde {\gama }}(0)=p.}$${\görüntüleme stili {\tilde {\gama }}(1)}$

Holonomisine esas alınarak w arasında p aşağıdaki gibi tanımlanır

${\displaystyle \operatöradı {Hol} _{p}(\omega )=\{g\in G\mid p\sim p\cdot g\}.}$

Kısıtlı holonomisine dayanıyordu p alt-grup olduğu yatay asansör gelen büzülebilir döngüler  y . ${\ Displaystyle \ operatör adı {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$

Eğer M ve P edilir bağlı sonra holonomisine bağlıdır basepoint p sadece kadar konjugasyon içinde G . Eğer Açıkça, q holonomi için herhangi bir başka seçilmiş basepoint, daha sonra özel bir vardır g ∈ G öyle ki q ~ s · gr . Bu g değeri ile ,

${\displaystyle \operatöradı {Hol} _{q}(\omega )=g^{-1}\operatöradı {Hol} _{p}(\omega )g.}$

Özellikle,

${\displaystyle \operatöradı {Hol} _{p\cdot g}(\omega )=g^{-1}\operatöradı {Hol} _{p}(\omega )g,}$

Ayrıca, eğer p ~ q sonra Yukarıdaki gibi, bazen, bir damla anlayışı ile, holonomi grubunun basepoint için referans tanım konjugasyon iyi kadar olduğu. ${\displaystyle \operatöradı {Hol} _{p}(\omega )=\operatöradı {Hol} _{q}(\omega ).}$

Holonomi ve kısıtlı holonomi gruplarının bazı önemli özellikleri şunları içerir:

• ${\ Displaystyle \ operatör adı {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$bağlı olan Lie alt grup arasında G .
• ${\ Displaystyle \ operatör adı {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$olan kimlik bileşeni arasında${\displaystyle \operatöradı {Hol} _{p}(\omega ).}$
• Doğal, örtük bir grup homomorfizmi var ${\displaystyle \pi _{1}\to \operatöradı {Hol} _{p}(\omega )/\operatöradı {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$
• Eğer M edilir basit bağlantılı sonra${\displaystyle \operatöradı {Hol} _{p}(\omega )=\operatöradı {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$
• ω düzdür (yani kaybolan eğriliğe sahiptir), ancak ve ancak önemsiz ise.${\ Displaystyle \ operatör adı {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$

Holonomi demetleri

Let M , bağlı bir Parakompakt manifoldu pürüzsüz olabilir ve P bir ana G yukarıdaki gibi bağlantı w ile Bundle. Let s ∈ P ana demetin keyfi noktası. Let , H ( p ) 'de nokta kümesi P birleştirilebilir p yatay eğrisi ile. Daha sonra , belirgin izdüşüm haritası ile H ( p )'nin, yapı grubu ile M üzerinde bir ana demet olduğu gösterilebilir. Bu ana demet, bağlantının holonomi demeti ( p aracılığıyla ) olarak adlandırılır . Bir bağlantı kısıtlar ω bağlantı H ( s Paralel taşıma için) korunması, haritalar H ( s ). Böylece H ( p ) bağlantı için indirgenmiş bir demettir. Ayrıca, paralel taşıma ile H ( p )'nin hiçbir alt demeti korunmadığından, bu tür minimum azalmadır. ${\displaystyle \operatöradı {Hol} _{p}(\omega ).}$

Holonomi gruplarında olduğu gibi, holonomi demeti de ortam ana demeti P içinde eşdeğerli olarak dönüşür . Ayrıntılı olarak, eğer q ∈ P holonomi için seçilen başka bir temel nokta ise, o zaman benzersiz bir g ∈ G vardır, öyle ki q ~ p g (çünkü, varsayıma göre, M yola bağlıdır). Dolayısıyla H ( q ) = H ( p ) g . Sonuç olarak, farklı taban noktası seçimlerine karşılık gelen holonomi demetleri üzerindeki indüklenmiş bağlantılar birbiriyle uyumludur: paralel taşıma haritaları tam olarak aynı öğe g ile farklılık gösterecektir .

monodromi

Holonomi demeti H ( p ), sınırlı holonomi grubunun (tam holonomi grubunun normal bir alt grubu olan) bir eylemini kabul eder ve bu nedenle aynı zamanda bir ana demettir. Ayrık gruba bağlantının monodromi grubu denir ; Bu bölüm demeti üzerine hareket bir örten homomorfizması vardır , böylece hareket eden temel grubunun Bu eylem bir edilir monodromy temsili temel grup. ${\displaystyle \operatöradı {Hol} _{p}(\omega),}$${\ Displaystyle \ operatör adı {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$${\displaystyle \operatöradı {Hol} _{p}(\omega )/\operatöradı {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$${\displaystyle H(p)/\operatöradı {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$${\displaystyle \varphi :\pi _{1}\to \operatöradı {Hol} _{p}(\omega )/\operatöradı {Hol} _{p}^{0}(\omega ),}$${\displaystyle \varphi \sol(\pi _{1}(M)\sağ)}$${\displaystyle H(p)/\operatöradı {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$

Yerel ve sonsuz küçük holonomi

Π durumunda: p → M bir ana paket olup, ω bir bağlantıdır P , daha sonra w arasında holonomi açık alt-kümesi boyunca lif kısıtlanabilir M . Gerçekten de, U , M'nin bağlı bir açık alt kümesiyse , o zaman ω, π ⁻¹ U üzerinde U demetinde bir bağlantı vermeyi kısıtlar . Bu demetin holonomisi (sınırlı holonomi), π( p ) ∈ U ile her p için (resp. ) ile gösterilecektir . ${\ Displaystyle \ operatör adı {Hol} _{p}(\omega ,U)}$${\ Displaystyle \ operatör adı {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U)}$

Eğer U ⊂ V tt (ihtiva eden iki açık kümelerdir s ), daha sonra açık bir inklüzyon orada

${\displaystyle \operatöradı {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U)\subset \operatöradı {Hol} _{p}^{0}(\omega ,V).}$

Yerel holonomisine bir noktasında p ile tanımlanır

${\displaystyle \operatöradı {Hol} ^{*}(\omega )=\bigcap _{k=1}^{\infty }\operatöradı {Hol} ^{0}(\omega ,U_{k})}$

iç içe bağlı açık kümelerin herhangi bir ailesi için U _k ile . ${\displaystyle \bigcap _{k}U_{k}=\pi (p)}$

Yerel holonomi grubu aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. Kısıtlı holonomi grubunun bağlantılı bir Lie alt grubudur. ${\displaystyle \operatöradı {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$
2. Her nokta p bir mahalle sahip V şekilde özellikle, lokal holonomisine tek nokta bağlıdır p ve sekans değil seçimi u _k tanımlamak için kullanılır.${\displaystyle \operatöradı {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\operatöradı {Hol} _{p}^{0}(\omega ,V).}$
3. Yerel holonomi yapı grubunun elemanları tarafından çeviri göre equivariant olan G arasında P ; yani, tüm g ∈ G için . (Özellik 1'e göre, yerel holonomi grubunun G'nin bağlantılı bir Lie alt grubu olduğuna dikkat edin , bu nedenle ek iyi tanımlanmıştır.)${\displaystyle \operatöradı {Hol} _{pg}^{*}(\omega )=\operatöradı {Ad} \left(g^{-1}\sağ)\operatöradı {Hol} _{p}^{* }(\omega )}$

Yerel holonomi grubu, küresel bir nesne olarak iyi niyetli değildir. Özellikle, boyutu sabit olmayabilir. Ancak, aşağıdaki teorem geçerlidir:

Yerel holonomi grubunun boyutu sabitse, yerel ve kısıtlı holonomi aynı fikirdedir: ${\displaystyle \operatöradı {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\operatöradı {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$

Ambrose-Singer teoremi

(Nedeniyle Ambrose-Singer teoremi Warren Ambrose ve Isadore M. Singer  ( 1953 )) a holonomi ilgilidir bir ana paket içinde bağlantı ile kavis şeklinde bir bağlantı. Bu teoremi makul kılmak için, afin bağlantının (veya teğet demetindeki bir bağlantının, örneğin Levi-Civita bağlantısının) bilinen durumunu düşünün . Eğrilik, sonsuz küçük bir paralelkenar etrafında hareket edildiğinde ortaya çıkar.

Σ halinde ayrıntılı olarak, [0, 1] x [0, 1] → M bir yüzeydir M değişkenleri, bir çift parametrize x ve y , daha sonra bir vektör V σ sınırları çevresinde taşınır edilebilir: ilk boyunca ( x , 0), sonra (1, y ) boyunca , ardından ( x , 1) negatif yönde ilerleyin ve ardından (0, y ) başlangıç ​​noktasına geri dönün. Bu, bir holonomi döngüsünün özel bir durumudur: V vektörü üzerinde, σ sınırının yükselmesine karşılık gelen holonomi grubu elemanı tarafından etki edilir. Daha küçük paralelkenarların sınırını [0, x ] × [0, y ] üzerinden geçerek paralelkenar sıfıra küçüldüğünde eğrilik açıkça girer . Bu, x = y = 0'da paralel taşıma haritalarının bir türevinin alınmasına karşılık gelir :

${\displaystyle {\frac {D}{dx}}{\frac {D}{dy}}V-{\frac {D}{dy}}{\frac {D}{dx}}V=R\sol ({\frac {\kısmi \sigma }{\kısmi x}},{\frac {\kısmi \sigma }{\kısmi y}}\sağ)V}$

burada R, bir eğrilik tensörü . Yani, kabaca konuşursak, eğrilik kapalı bir döngü (sonsuz küçük paralelkenar) üzerinde sonsuz küçük holonomiyi verir. Daha resmi olarak, eğrilik, holonomi grubunun kimliğindeki holonomi eyleminin diferansiyelidir. Başka bir deyişle, R ( X , Y ) Lie cebirinin bir elemanıdır .${\displaystyle \operatöradı {Hol} _{p}(\omega ).}$

Genel olarak, G yapı grubu ile P → M üzerinde P ana demetindeki bir bağlantının holonomisini düşünün . Let g göstermektedirler Lie cebir G , eğrilik formu bağlantısının olduğu gr 2-form Q'dan -valued P . Ambrose-Singer teoremi şunları belirtir:

Lie cebri tüm elemanları ile geçilir g formunun olarak q birleştirilebilir tüm noktalarda değişmektedir p yatay eğrisi ile ( q ~ p ) ve X ve Y, yatay teğet vektörlerdir q .${\ Displaystyle \ operatör adı {Hol} _{p}(\omega )}$${\görüntüleme stili \Omega _{q}(X,Y)}$

Alternatif olarak, teorem holonomi demeti cinsinden yeniden ifade edilebilir:

Lie cebri alt uzayı olduğu gr formunun elemanları tarafından yayılmış q ∈ H ( p ) ve X ve Y, yatay vektörlerdir q .${\ Displaystyle \ operatör adı {Hol} _{p}(\omega )}$${\görüntüleme stili \Omega _{q}(X,Y)}$

Riemann holonomisi

A holonomi Riemann manifoldu ( M , g ) sadece holonomi grubudur Levi-Civita bağlantısı ile tanjant demeti için M . A 'genel' N - boyutlu Riemannsal manifoldu bir sahiptir O ( n ) holonomi veya SO ( n ) bu ise yönlendirilebilir . Holonomi grupları O( n ) veya SO( n )' nin uygun alt grupları olan manifoldların özel özellikleri vardır.

Riemann holonomisi üzerine en erken temel sonuçlardan biri , kısıtlı holonomi grubunun O( n )' nin kapalı bir Lie alt grubu olduğunu iddia eden Borel & Lichnerowicz'in (1952) teoremidir . Özellikle kompakttır .

İndirgenebilir holonomi ve de Rham ayrışması

Let x ∈ M keyfi noktası. Daha sonra Hol( M ) holonomi grubu , T _x M teğet uzayı üzerinde hareket eder . Bu işlem, ya, T bir bölme bulunması halinde, bu bir grup temsil olarak indirgenemeyen veya indirgenebilir olabilir _x M içine dik alt uzay T _x K = T ', _X M ⊕ T " _x E etkisi altında değişmeyen, her biri, Hol( M ). İkinci durumda, M'nin indirgenebilir olduğu söylenir .

M'nin indirgenebilir bir manifold olduğunu varsayalım . Nokta izin x değiştirilmesi için, T demetleri M ve T, " M olan düzgün dağılımı, her noktada teğet alanı indirgenmesi ile oluşturulmaktadır Frobeniyus anlamında entegre edilebilir . İntegral manifoldlar bu dağılımların tamamen jeodezik altmanifoldları vardır. Dolayısıyla M yerel olarak bir Kartezyen çarpım M' × M" dir . (Yerel) de Rham izomorfizmi, teğet uzayda tam bir azalma elde edilene kadar bu süreç devam ettirilir:

Let M bir olmak basit bağlantılı Riemann manifoldu ve T M = T ⁽⁰⁾ M ⊕ T ⁽¹⁾ M ⊕ ⋯ ⊕ T ^{( k )} K holonomi grubunun etkisi altında tanjant demeti tam bir azalma olabilir. T ⁽⁰⁾ M'nin holonomi grubu altında değişmeyen vektörlerden oluştuğunu varsayalım (yani, holonomi temsili önemsiz olacak şekilde). Sonra yerel olarak M bir ürüne izometrik

${\displaystyle V_{0}\times V_{1}\times \cdots \times V_{k},}$

burada V ₀ bir Öklid uzayında bir açık kümedir ve her V _i T ^{( i )} M için bir integral manifolddur . Bundan başka, (Hol, E , her bir holonomi grubun doğrudan bir ürün olarak) böler M _i , T maksimal yekpare manifoldu ^{( i )} bir noktadan.

Ayrıca M'nin jeodezik olarak tam olduğu varsayılırsa , teorem global olarak geçerlidir ve her M _i jeodezik olarak tam bir manifolddur.

Berger sınıflandırması

1955'te M. Berger, indirgenemez ( yerel olarak bir çarpım uzayı değil) ve simetrik olmayan (yerel olarak bir Riemann simetrik uzayı olmayan ) basit bağlantılı Riemann manifoldları için olası holonomi gruplarının tam bir sınıflandırmasını verdi . Berger'in listesi şöyle:

Sp( n )·Sp(1) holonomisine sahip manifoldlar 1965 yılında Edmond Bonan ve Vivian Yoh Kraines tarafından eş zamanlı olarak incelendi ve paralel 4-formu oluşturdular.

Holonomi G ₂ veya Spin(7) içeren manifoldlar ilk olarak 1966'da tüm paralel formları oluşturan ve bu manifoldların Ricci-düz olduğunu gösteren Edmond Bonan tarafından tanıtıldı .

(Berger'in orijinal listesi ayrıca SO(16)'nın bir alt grubu olarak Spin(9) olasılığını da içeriyordu. Bu tür holonomiye sahip Riemann manifoldlarının daha sonra bağımsız olarak D. Alekseevski ve Brown-Gray tarafından yerel olarak simetrik, yani yerel olarak izometrik oldukları gösterildi. Cayley düzlemi F ₄ / Eğirme (9) ya da lokal olarak, düz. aşağıya bakınız.) Şimdi, bu olasılıkların hepsini Rieman manifold holonomi grupları olarak ortaya çıktığı bilinmektedir. Son iki istisnai durum, bulunması en zor olanlardı. Bkz. G ₂ manifoldu ve Spin(7) manifoldu .

Sp( n ) ⊂ SU(2 n ) ⊂ U(2 n ) ⊂ SO(4 n ) olduğuna dikkat edin , bu nedenle her hyperkähler manifoldu bir Calabi–Yau manifoldu , her Calabi–Yau manifoldu bir Kähler manifoldu ve her Kähler manifoldu olduğu yönlendirilebilir .

Yukarıdaki garip liste, Simons'un Berger teoreminin kanıtı ile açıklandı. Berger'in teoremin basit ve geometrik kanıtı tarafından verildi Carlos E. Olmos bir Riemann manifoldu olması durumunda 2005. Bir ilk gösterilerde değil bir lokal simetrik uzay ve azaltılmış holonomi teğet alanı indirgenemez davranır, o zaman ünitesinde geçişli davranır küre. Küreler üzerinde geçişli olarak hareket eden Lie grupları bilinmektedir: bunlar, 2 ekstra durumla birlikte yukarıdaki listeden oluşur: R ¹⁶ üzerinde hareket eden Spin(9) grubu ve R ^{4 m} üzerinde hareket eden T · Sp( m ) grubu . Son olarak, bu iki ekstra durumdan birincisinin yalnızca yerel simetrik uzaylar için ( Cayley yansıtma düzlemine yerel olarak eşbiçimli olan ) bir holonomi grubu olarak meydana geldiği ve ikincisinin bir holonomi grubu olarak hiç meydana gelmediği kontrol edilir.

Berger'in orijinal sınıflandırması aynı zamanda pozitif-belirli olmayan sözde Riemann metrik yerel olmayan simetrik holonomiyi de içeriyordu. Bu liste SO( p , q ) imza ( p , q ), U( p , q ) ve SU( p , q ) imza (2 p , 2 q ), Sp( p , q ) ve Sp('den oluşuyordu. p , q )·Sp(1) imza (4 p , 4 q ), SO( n , C ) imzası ( n , n ), SO( n , H ) imza (2 n , 2 n ), split G ₂ imza (4, 3), G ₂ ( C ) imza (7, 7), Spin (4, 3) imza (4, 4), Spin(7, C ) imza (7,7) , (8,8) imzasının Spin(5,4) ve son olarak (16,16) imzanın Spin(9, C ). Bölünmüş ve karmaşıklaştırılmış Spin(9), yukarıdaki gibi zorunlu olarak yerel olarak simetriktir ve listede olmaması gerekir. Complexified holonomies SO ( n , Cı- l), G ₂ ( Cı ) ve Spin (7, C ) gerçek analitik Riemannsal manifoldlar complexifying gelen gerçekleştirilebilir. Son durum, SO( n , H ) içinde holonomiye sahip manifoldların yerel olarak düz olduğu R. McLean tarafından gösterilmiştir.

Lokal olarak izometrik olan Riemannsal simetrik boşluklar, homojen alanlarda G / H izomorf yerel holonomi sahip H . Bunlar da tamamen sınıflandırılmıştır .

Son olarak, Berger'in makalesi, yalnızca burulma içermeyen bir afin bağlantısı olan manifoldların olası holonomi gruplarını listeler ; bu aşağıda tartışılmaktadır.

Özel holonomi ve spinorlar

Özel holonomiye sahip manifoldlar, kaybolan kovaryant türevi olan spinor alanları anlamına gelen paralel spinorların varlığı ile karakterize edilir . Özellikle, aşağıdaki gerçekler geçerlidir:

• Hol(ω) ⊂ U (n) eğer ve sadece M kovaryant olarak sabit (veya paralel ) yansıtmalı saf spinor alanını kabul ediyorsa .
• Eğer M bir olan eğirme manifoldu , daha sonra (Hol, ω) ⊂ SU (n), ancak ve ancak M en az iki lineer bağımsız paralel olarak saf spinör alanları kabul eder. Aslında, paralel bir saf spinor alanı, yapı grubunun SU ( n )' ye kanonik bir indirgenmesini belirler .
• Eğer M , yedi boyutlu bir sıkma manifoldu, daha sonra M holonomi içerdiği, ancak ve ancak önemsiz olmayan bir paralel spinor alanını taşıyan G ₂ .
• Eğer M , sekiz boyutlu spin manifoldu, daha sonra M holonomi Spin (7) içinde yer alır, ancak ve ancak önemsiz olmayan bir paralel spinor alanını taşır.

Üniter ve özel üniter holonomiler genellikle büküm teorisi ile bağlantılı olarak ve neredeyse karmaşık yapıların incelenmesinde incelenir .

Uygulamalar

sicim teorisi

Özel holonomiye sahip Riemann manifoldları, sicim teorisi kompaktlaştırmalarında önemli bir rol oynamaktadır . Bunun nedeni, özel holonomi manifoldlarının kovaryant olarak sabit (paralel) spinörleri kabul etmesi ve böylece orijinal süpersimetrinin bir kısmını korumasıdır . En önemlisi, SU(2) veya SU(3) holonomisi ile Calabi-Yau manifoldları üzerindeki sıkıştırmalardır . G ₂ manifoldlarındaki sıkıştırmalar da önemlidir .

Makine öğrenme

Riemann manifoldlarının holonomisini hesaplamak, özellikle manifold öğrenme bağlamında, makine öğreniminde veri manifoldlarının yapısını öğrenmenin bir yolu olarak önerilmiştir . Holonomi grubu, veri manifoldunun global yapısı hakkında bilgi içerdiğinden, veri manifoldunun altmanifoldların bir ürününe nasıl ayrışabileceğini belirlemek için kullanılabilir. Holonomi, sonlu örnekleme etkileri nedeniyle tam olarak hesaplanamaz, ancak Vektör Difüzyon Haritalarına benzer spektral grafik teorisinden fikirleri kullanarak sayısal bir yaklaşım oluşturmak mümkündür . Ortaya çıkan algoritma, Geometrik Manifold Bileşen Tahmincisi ( GeoManCEr ), gerçek dünya verilerine uygulanabilen de Rham ayrıştırmasına sayısal bir yaklaşıklık verir.

afin holonomi

Afin holonomi grupları, burulma içermeyen afin bağlantıların holonomileri olarak ortaya çıkan gruplardır ; Riemann veya sözde Riemann holonomi grupları olmayanlar, metrik olmayan holonomi grupları olarak da bilinir. DeRham ayrışma teoremi, afin holonomi gruplarına uygulanmaz, bu nedenle tam bir sınıflandırmaya ulaşılamaz. Bununla birlikte, indirgenemez afin holonomileri sınıflandırmak hala doğaldır.

Berger, Riemann holonomi gruplarını sınıflandırma yolunda, yerel olarak simetrik olmayan burulmadan bağımsız bir afin bağlantının holonomi grubunun Lie cebiri tarafından karşılanması gereken iki kriter geliştirdi : bunlardan biri, Berger'in ilk kriteri olarak bilinir , eğriliğin holonomi cebirini oluşturduğu Ambrose-Singer teoreminin bir sonucudur; Berger'in ikinci kriteri olarak bilinen diğeri ise bağlantının yerel olarak simetrik olmaması gerekliliğinden gelir. Berger, indirgenemez şekilde hareket eden ve bu iki kriteri karşılayan grupların bir listesini sundu; bu, indirgenemez afin holonomiler için olasılıkların bir listesi olarak yorumlanabilir.

Berger'in listesinin daha sonra eksik olduğu gösterildi: daha başka örnekler R. Bryant (1991) ve Q. Chi, S. Merkulov ve L. Schwachhöfer (1996) tarafından bulundu. Bunlar bazen egzotik holonomiler olarak bilinir . Örneklerin aranması sonuçta, Merkulov ve Schwachhöfer (1999) tarafından indirgenemez afin holonomilerin tam bir sınıflandırmasına yol açtı ve Bryant (2000), listelerindeki her grubun bir afin holonomi grubu olarak meydana geldiğini gösterdi.

Merkulov-Schwachhöfer sınıflandırması, listedeki gruplar ile belirli simetrik uzaylar, yani hermitian simetrik uzaylar ve kuaterniyon-Kähler simetrik uzayları arasındaki bir bağlantı ile önemli ölçüde açıklığa kavuşturulmuştur . İlişki, Schwachhöfer (2001) tarafından gösterildiği gibi, özellikle karmaşık afin holonomiler durumunda açıktır.

Let V izin sonlu boyutlu kompleks vektör uzayı H ⊂ Aut ( V ) indirgenemez yarıbasit kompleks bağlı Lie alt grup olabilir ve izin K ⊂ H maksimal kompakt altgrubu.

1. Formunun indirgenemez hermisyen simetrik alan ise G / (U (1) · K ), daha sonra her iki H ve Cı * · H non-simetrik indirgenemez afin holonomi grubu olup, burada V tanjant gösterimi K .
2. Eğer G /(Sp(1) · K ) biçiminde indirgenemez bir kuaterniyon-Kähler simetrik uzayı varsa , o zaman H , simetrik olmayan bir indirgenemez afin holonomi gruplarıdır, dim V = 4 ise C * · H olduğu gibi . Sp(1) · K'nin karmaşıklaştırılmış tanjant gösterimi , C ² ⊗ V'dir ve H , V üzerinde karmaşık bir simplektik formu korur .

Bu iki aile, aşağıdakilerin dışında tüm simetrik olmayan indirgenemez kompleks afin holonomi gruplarını verir:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Sp} (2,\mathbf {C} )\cdot \mathrm {Sp} (2n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left( \mathbf {C} ^{2}\otimes \mathbf {C} ^{2n}\sağ)\\G_{2}(\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf { C} ^{7}\sağ)\\\mathrm {Spin} (7,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{8}\sağ).\ bitiş{hizalı}}}$

Hermit simetrik uzayların sınıflandırmasını kullanan ilk aile, aşağıdaki karmaşık afin holonomi gruplarını verir:

${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SL} (m,\mathbf {C} )\cdot \mathrm {SL} (n,\mathbf {C} )& \subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{m}\otimes \mathbf {C} ^{n}\sağ)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SL} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Lambda ^{2}\mathbf {C} ^{n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SL} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(S^{2}\mathbf {C} ^{n}\right)\\Z_{\mathbf {C } }\cdot \mathrm {SO} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{n}\sağ)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {Spin} (10,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Delta _{10}^{+}\right)\cong \mathrm {Aut} \left (\mathbf {C} ^{16}\sağ)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot E_{6}(\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf { C} ^{27}\sağ)\end{hizalı}}}$

burada Z _C ya önemsizdir ya da C * grubudur .

Kuaterniyon-Kähler simetrik uzaylarının sınıflandırmasını kullanan ikinci aile, aşağıdaki karmaşık simplektik holonomi gruplarını verir:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Sp} (2,\mathbf {C} )\cdot \mathrm {SO} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left( \mathbf {C} ^{2}\otimes \mathbf {C} ^{n}\sağ)\\(Z_{\mathbf {C} }\,\cdot )\,\mathrm {Sp} (2n,\ mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{2n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(S^{3}\mathbf {C} ^{2}\right)\\\mathrm {Sp} (6,\mathbf {C} )&\ subset \mathrm {Aut} \left(\Lambda _{0}^{3}\mathbf {C} ^{6}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{14} \sağ)\\\mathrm {SL} (6,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Lambda ^{3}\mathbf {C} ^{6}\sağ)\\ \mathrm {Spin} (12,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Delta _{12}^{+}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{32}\sağ)\\E_{7}(\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{56}\right)\\\end {hizalı}}}$

(İkinci satırda, n = 2 olmadığı sürece Z _C önemsiz olmalıdır .)

Bu listelerden, Simons'un Riemann holonomi gruplarının küreler üzerinde geçişli olarak hareket ettiği sonucunun bir benzeri gözlemlenebilir: karmaşık holonomi temsillerinin tümü homojen olmayan vektör uzaylarıdır . Bu gerçeğin kavramsal bir kanıtı bilinmemektedir.

İndirgenemez gerçek afin holonomilerin sınıflandırılması, yukarıdaki listeler ve gerçek afin holonomilerin karmaşık olanlara karmaşıklaştığı gerçeği kullanılarak dikkatli bir analizden elde edilebilir.

etimoloji

Cauchy'nin iki öğrencisi, Briot ( 1817-1882 ) ve Bouquet (1819-1895) tarafından tanıtılan ve "bütün" anlamına gelen Yunanca ὅλος ( holos ) kelimesinden türeyen benzer bir kelime olan " holomorfik " vardır. μορφή ( morphē ) "biçim" veya "görünüm" anlamına gelir. "Holonomy"nin etimolojisi, ilk kısmı "holomorfik" ( holos ) ile paylaşır . İkinci bölüm hakkında:

"Web'de holonomik (veya holonomi) etimolojisini bulmak oldukça zor. Aşağıdakileri buldum (Princeton'dan John Conway'e teşekkürler): 'Sanırım ilk olarak Poinsot tarafından katı bir cismin hareketine ilişkin analizinde kullanıldı. Bu teoride, belirli bir anlamda, yerel bilgiden küresel bilgi kurtarılabiliyorsa, bir sisteme "holonomik" denir, bu nedenle "bütün yasa" anlamı oldukça uygundur. holonomik değildir, çünkü aynı noktaya farklı yollar boyunca giden biri onu farklı yönlere koyabilir.Ancak , "holonomi"nin "tüm yasa" anlamına geldiğini söylemek belki biraz fazla basit olur. Yunanca iç içe anlamlar ve belki daha sık "sayma" anlamına gelir. Bu bizim kelime olarak aynı Hint-Avrupa kökten gelmektedir "sayısıdır." ' "

—  S. Golwala,

Bkz νόμος ( nomos ) ve -nomy .

Notlar

Referanslar

• Agricola, Ilka (2006), "Srni, burulma ile integrallenemeyen geometriler üzerine dersler veriyor", Arch. Matematik. , 42 : 5-84 , arXiv : matematik/0606705
• Ambrose, Warren ; Singer, Isadore (1953), " Holonomy üzerine bir teorem", Transactions of the American Mathematical Society , 75 (3): 428–443, doi : 10.2307/1990721 , JSTOR  1990721
• Baum, H .; Friedrich, T.; Grunewald, R.; Kath, I. (1991), Riemann manifoldları üzerinde Twistors and Killing spinors , Teubner-Texte zur Mathematik, 124 , BG Teubner, ISBN 9783815420140
• Berger, Marcel (1953), "Sur les groupes d'holonomie homogènes des variétés a connexion affines et des variétés riemanniennes" , Bull. Soc. Matematik. Fransa , 83 : 279–330, MR  0079806 , 2007-10-04 tarihinde orijinalinden arşivlendi
• Besse, Arthur L. (1987), Einstein manifoldları , Ergebnisse der Mathematik ve ihrer Grenzgebiete (3) [Matematik ve İlgili Alanlardaki Sonuçlar (3)], 10 , Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-15279-8
• Bonan, Edmond (1965), "Yapı presque quaternale sur une variété différentiable", CR Acad. bilim Paris , 261 : 5445–8.
• Bonan, Edmond (1966), "Sur les variétés riemanniennes à groupe d'holonomie G2 ou Spin(7)", CR Acad. bilim Paris , 320 : 127–9].
• Borel, Armand ; Lichnerowicz, André (1952), "Groupes d'holonomie des variétés riemanniennes", Les Comptes rendus de l'Académie des sciences , 234 : 1835–7, MR  0048133
• Bryant, Robert L. (1987), "İstisnai holonomiye sahip Metrikler", Annals of Mathematics , 126 (3): 525–576, doi : 10.2307/1971360 , JSTOR  1971360.
• Bryant, Robert L. (1991), "Dördüncü boyutta iki egzotik holonomi, yol geometrileri ve büküm teorisi", Amer. Matematik. Soc. Proc. semptom. Saf Matematik. , Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, 53 : 33–88, doi : 10.1090/pspum/053/1141197 , ISBN 9780821814925
• Bryant, Robert L. (2000), "Holonomy Teorisinde Son Gelişmeler", Astérisque , Séminaire Bourbaki 1998–1999, 266 : 351–374, arXiv : matematik/9910059
• Cartan, Élie (1926), "Sur une classe remarquable d'espaces de Riemann", Bulletin de la Société Mathématique de France , 54 : 214–264, doi : 10.24033/bsmf.1105 , ISSN  0037-9484 , MR  1504900
• Cartan, Élie (1927), "Sur une classe remarquable d'espaces de Riemann", Bulletin de la Société Mathématique de France , 55 : 114–134, doi : 10.24033/bsmf.1113 , ISSN  0037-9484
• Chi, Quo-Shin; Merkulov, Sergey A.; Schwachhöfer, Lorenz J. (1996), "Berger'in Holonomi Temsilleri Listesinin Eksikliği Üzerine", Buluş. Matematik. , 126 (2): 391–411, arXiv : dg-da/9508014 , Bibcode : 1996InMat.126..391C , doi : 10.1007/s002220050104
• Golwala, S. (2007), Fizik 106ab için Klasik Mekanik Üzerine Ders Notları (PDF)
• Joyce, D. (2000), Özel Holonomili Kompakt Manifoldlar , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850601-0
• Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963), Diferansiyel Geometrinin Temelleri, Cilt. 1 & 2 (Yeni baskı), Wiley-Interscience (1996'da yayınlandı), ISBN 978-0-471-15733-5
• Kraines, Vivian Yoh (1965), "Kuaterniyonik manifoldların topolojisi", Bull. Amer. Matematik. Soc. , 71, 3, 1 (3): 526–7, doi : 10.1090/s0002-9904-1965-11316-7.
• Lawson, HB; Michelsohn, ML. (1989), Spin Geometri , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08542-5
• Lichnerowicz, André (2011) [1976], Küresel Bağlantılar Teorisi ve Holonomi Grupları , Springer, ISBN 9789401015523
• Markushevich, AI (2005) [1977], Silverman, Richard A. (ed.), Theory of functions of a Complex Variable (2nd ed.), American Mathematical Society , s. 112, ISBN 978-0-8218-3780-1
• Merkulov, Sergei A.; Schwachhöfer, Lorenz J. (1999), " Burulmadan bağımsız afin bağlantıların indirgenemez holonomilerinin sınıflandırılması", Annals of Mathematics , 150 (1): 77–149, arXiv : math/9907206 , doi : 10.2307/121098 , JSTOR  121098 ; "Ek", Anne. Matematik. , 150 (3): 1177–9, 1999, arXiv : matematik/9911266 , doi : 10.2307/121067 , JSTOR  121067 ..
• Olmos, C. (2005), "Berger Holonomi Teoreminin Geometrik Kanıtı", Annals of Mathematics , 161 (1): 579–588, doi : 10.4007/annals.2005.161.579
• Sharpe, Richard W. (1997), Diferansiyel Geometri: Cartan'ın Klein'ın Erlangen Programının Genelleştirilmesi , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94732-7, MR  1453120
• Schwachhöfer, Lorenz J. (2001), "indirgenemez holonomi temsilleri ile bağlantılar", Matematikte Gelişmeler , 160 (1): 1-80, doi : 10.1006/aima.2000.1973
• Simons, James (1962), "Holonomy sistemlerinin geçişliliği üzerine", Annals of Mathematics , 76 (2): 213–234, doi : 10.2307/1970273 , JSTOR  1970273 , MR  0148010
• Spivak, Michael (1999), Diferansiyel geometriye kapsamlı bir giriş , II , Houston, Texas: Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-71-3
• Sternberg, S. (1964), Diferansiyel geometri üzerine dersler , Chelsea, ISBN 978-0-8284-0316-0

daha fazla okuma

• Özel holonominin manifoldları hakkında literatür, Frederik Witt'in bir bibliyografyası.