Gimbal kilidi - Gimbal lock

Gimbal kilitli uçak. Eğim (yeşil) ve sapma (macenta) yalpa çemberleri hizalandığında, yuvarlanmaya (mavi) dönüşür ve sapma uçağa aynı dönüşü uygular.

Dördüncü bir dönme ekseni eklemek, yalpa çemberi kilit problemini çözebilir, ancak en dıştaki halkanın en içteki eksenle (volan şaftı) 90 derece hizanın dışında kalması için aktif olarak çalıştırılmasını gerektirir. En dıştaki halkanın aktif olarak sürülmesi olmadan, dört eksenin tamamı yukarıda gösterildiği gibi bir düzlemde hizalanabilir ve bu da yine gimbal kilitlenmesine ve yuvarlanamamasına yol açar.

Gimbal kilidi , üç gimbalden ikisinin ekseni paralel bir konfigürasyona sürüldüğünde meydana gelen üç boyutlu, üç- gimbal mekanizmasında bir derecelik özgürlük kaybıdır , sistemi dejenere bir iki durumda dönmeye "kilitler". boyutlu uzay.

Kilit kelimesi yanıltıcıdır: hiçbir gimbal kısıtlanmamıştır. Üç yalpa çemberi de kendi süspansiyon eksenleri etrafında serbestçe dönebilir. Bununla birlikte, yalpa çemberlerinin iki ekseninin paralel yönelimi nedeniyle, bir eksen etrafında dönüşü barındıracak bir yalpa çemberi yoktur.

Gimbals

Gimbal, bir eksen etrafında dönebilmesi için askıya alınmış bir halkadır. Gimballar, birden çok eksen etrafında dönüşü barındırmak için tipik olarak iç içe yerleştirilmiştir.

Dış gimbal süspansiyon herhangi bir yönelim alırken iç gimbalın yönünün sabit kalmasına izin vermek için jiroskoplarda ve atalet ölçüm birimlerinde görünürler . Gelen pergel ve volan enerji depolama mekanizmalarından onlar nesneleri dik kalmasına izin. Onlar yönlendirmek için kullanılan iticileri roketler üzerinde.

Matematikteki bazı koordinat sistemleri , özellikle Euler açıları olmak üzere açıları ölçmek için kullanılan gerçek gimballer varmış gibi davranır .

Üç veya daha az iç içe geçmiş yalpa çemberi durumları için, kaplama boşluklarının özelliklerinden dolayı (aşağıda açıklanmıştır) sistemin bir noktasında yalpa çemberi kilitlenmesi kaçınılmaz olarak meydana gelir .

Mühendislikte

Sadece iki özel yön tam bir gimbal kilit üretirken, pratik mekanik yalpa çemberleri bu yönelimlerin yakınında zorluklarla karşılaşır. Bir dizi yalpa çemberi kilitli konfigürasyona yakın olduğunda, yalpa çemberi platformunun küçük dönüşleri, çevreleyen yalpa çemberlerinin büyük hareketlerini gerektirir. Oran sadece gimbal kilit noktasında sonsuz olsa da, gimballerin pratik hız ve ivme sınırları - atalet (her bir gimbal halkasının kütlesinden kaynaklanan), yatak sürtünmesi, havanın veya çevreleyen diğer sıvının akış direnci nedeniyle yalpa çemberleri (boşlukta değillerse) ve diğer fiziksel ve mühendislik faktörleri - platformun o noktaya yakın hareketini sınırlar.

İki boyutta

Gimbal kilidi, bir azimut etrafında dönüşler ve iki boyutta yükseklik ile bir teodolit gibi iki serbestlik derecesine sahip gimbal sistemlerde meydana gelebilir . Bu sistemler zenit ve en düşük noktalarında gimbal kilitlenebilir , çünkü bu noktalarda azimut iyi tanımlanmamıştır ve azimut yönündeki dönüş teodolitin işaret ettiği yönü değiştirmez.

Ufuktan teodolit'e doğru uçan bir helikopteri izlemeyi düşünün. Teodolit, helikopteri izlemek için azimut ve yükseklikte hareket edebilmesi için bir tripoda monte edilmiş bir teleskoptur. Helikopter teodolit'e doğru uçar ve teleskop tarafından yükseklik ve azimutta izlenir. Helikopter, yön değiştirdiğinde ve önceki rotasına 90 derecede uçtuğunda, tripodun hemen üzerinde (yani zirvede) uçar. Teleskop, gimbal yönelimlerinin birinde veya her ikisinde kesintili bir sıçrama olmadan bu manevrayı izleyemez. Hedefi takip etmesine izin veren sürekli bir hareket yoktur. Gimbal kilitlidir. Bu nedenle, teleskopun bir hedefin tüm hareketlerini sürekli olarak izleyemediği, zirve etrafında sonsuz yön vardır. Helikopter zenitten geçmese, ancak sadece zirveye yakın olsa bile , gimbal kilitlenmesin, sistemin, bir yataktan diğerine hızla geçerken, onu izlemek için yine de son derece hızlı hareket etmesi gerektiğini unutmayın. Zirveye en yakın nokta ne kadar yakınsa, bunun o kadar hızlı yapılması gerekir ve gerçekten de zirveden geçerse, bu "giderek artan hızlı" hareketlerin sınırı sonsuz derecede hızlı, yani süreksiz hale gelir .

Gimbal kilitinden kurtulmak için kullanıcının zenitin çevresinden geçmesi gerekir - açıkça: yüksekliği azaltın, azimutu hedefin azimutuna uyacak şekilde değiştirin, ardından yüksekliği hedefle eşleşecek şekilde değiştirin.

Matematiksel olarak bu, küresel koordinatların zenit ve en alt noktadaki küre üzerinde bir koordinat çizelgesi tanımlamadığı gerçeğine karşılık gelir . Alternatif bir şekilde ilgili harita T ² → S ² den torus T ² küre S ² (verilen azimut ve yükseklik ile alanına göre verilen) değil kaplama harita sağlamlaştırır.

Üç boyutta

Gimbal 3 eksenli rotasyonlu. Üç serbestlik derecesine izin vermek için birbirine monte edilmiş üç yalpa çemberi seti: yuvarlanma, eğim ve sapma. İki yalpa çemberi aynı eksen etrafında döndüğünde, sistem bir serbestlik derecesini kaybeder.

Normal durum: üç gimbal bağımsızdır

Gimbal kilidi: üç gimbalden ikisi aynı düzlemde, bir derece özgürlük kaybedildi

Kuzeye doğru uçan bir uçakta, karşılıklı olarak dikey olan üç yalpa çemberi ekseni (yani, dönüş , eğim ve sapma açıları) olan bir uçakta bir seviye algılama platformu düşünün . Mavic 90 derece yükselirse, uçak ve platformun sapma ekseni gimbali dönme ekseni gimbalına paralel hale gelir ve sapma ile ilgili değişiklikler artık telafi edilemez.

Çözümler

Bu problem, yuvarlanma ve yalpalama yalpalama eksenleri arasında büyük bir açıyı muhafaza etmek için bir motor tarafından aktif olarak tahrik edilen dördüncü bir pusula kullanılarak aşılabilir. Diğer bir çözüm, gimbal kilit algılandığında bir veya daha fazla gimbali rastgele bir konuma döndürmek ve böylece cihazı sıfırlamaktır.

Modern uygulama, gimbal kullanımından tamamen kaçınmaktır. Ataletsel navigasyon sistemleri bağlamında , bu, eylemsizlik sensörlerini doğrudan aracın gövdesine monte ederek (buna bir kayma sistemi denir ) ve araç yönünü ve hızını elde etmek için kuaterniyon yöntemlerini kullanarak algılanan dönüş ve ivmeyi dijital olarak entegre ederek yapılabilir. Yalpa çemberlerini değiştirmenin başka bir yolu, akışkan yatakları veya bir yüzdürme odası kullanmaktır.

Apollo 11 hakkında

Apollo 11 Ay görevinde iyi bilinen bir gimbal kilit olayı meydana geldi . Bu uzay aracında, bir eylemsizlik ölçüm biriminde (IMU) bir dizi yalpa çemberi kullanıldı . Mühendisler gimbal kilit sorununun farkındaydı ancak dördüncü bir gimbal kullanmayı reddettiler. Bu kararın arkasındaki gerekçelerden bazıları aşağıdaki alıntıdan anlaşılmaktadır:

"Gereksiz gimbalın avantajları, ekipmanın basitliği, boyut avantajları ve doğrudan üç serbestlik dereceli birimin buna karşılık gelen ima edilen güvenilirliği tarafından ağır basıyor gibi görünüyor."

- David Hoag, Apollo Ay Yüzeyi Günlüğü

85 derecelik perdeye yaklaştığında tetiklenecek bir gösterge kullanan alternatif bir çözümü tercih ettiler.

"Bu noktanın yakınında, kapalı bir stabilizasyon döngüsünde, tork motorlarına teorik olarak gimbali anında 180 derece döndürmeleri komutu verilebilir. Bunun yerine, LM'de , bilgisayar 70 derecede bir 'gimbal kilit' uyarısı verdi ve IMU'yu 85 ° C'de dondurdu. derece "

- Paul Fjeld, Apollo Ay Yüzeyi Günlüğü

Gimballeri gidebileceklerinden daha hızlı sürmeye çalışmak yerine, sistem basitçe pes etti ve platformu dondurdu. Bu noktadan sonra, uzay aracının gimbal kilit konumundan manuel olarak uzaklaştırılması ve platformun yıldızların referans olarak kullanılmasıyla manuel olarak yeniden hizalanması gerekecektir.

Ay Modülü indikten sonra, Komuta Modülündeki Mike Collins şaka yaptı "Bana Noel için dördüncü bir gimbal göndermeye ne dersin?"

Robotik

Bir dökümhanede çalışan endüstriyel robot.

Robotik kollarda , el bileğinin üç ekseninin yalpalama, eğim ve yuvarlanmayı kontrol ettiği "üçlü bilekli bilek" kullanımından dolayı gimbal kilit genellikle "bilek çevirme" olarak adlandırılır. ortak nokta.

El bileği tekilliği olarak da adlandırılan bir bilek çevirme örneği, robotun içinden geçtiği yolun robotun bileğinin birinci ve üçüncü eksenlerinin aynı hizada olmasına neden olmasıdır. İkinci bilek ekseni daha sonra uç efektörün yönünü korumak için sıfır zamanda 180 ° dönmeye çalışır. Bir tekilliğin sonucu oldukça dramatik olabilir ve robot kolu, son efektör ve süreç üzerinde olumsuz etkilere neden olabilir.

Robotikte tekilliklerden kaçınmanın önemi, Amerikan Ulusal Endüstriyel Robotlar ve Robot Sistemleri Standardı - Güvenlik Gereksinimleri'ni "iki veya daha fazla robot ekseninin aynı hizada olmasının neden olduğu ve öngörülemeyen robot hareketine ve hızlarına neden olan bir durum" olarak tanımlamasına yol açtı.

Uygulamalı matematikte

Gimbal kilit problemi, uygulamalı matematikte Euler açıları kullanıldığında ortaya çıkar ; 3B modelleme , gömülü navigasyon sistemleri ve video oyunları gibi 3B bilgisayar programlarının geliştiricileri bundan kaçınmak için özen göstermelidir.

Euler harita (3-yumru dan, topolojik rotasyonları için açıları nedeniyle resmi dilinde gimbal kilitlenmesi meydana T ³ için gerçek yansıtmalı uzay RP ³ 3d rotasyonlar SO3 alanı aynıdır) bir değil yerel homeomorfizma de her nokta ve böylece bazı noktalarda rank (serbestlik derecesi) hangi gimbal kilitlenmesi meydana gelin 3 düşmelidir. Euler açıları, üç sayı kullanarak üç boyutlu uzayda herhangi bir dönüşün sayısal bir tanımını vermek için bir araç sağlar , ancak bu açıklama benzersiz değildir, aynı zamanda hedef uzaydaki (rotasyonlar) her değişikliğin gerçekleştirilemeyeceği bazı noktalar vardır. kaynak uzaydaki bir değişiklikle (Euler açıları). Bu topolojik bir kısıtlamadır - 3 simitten 3 boyutlu gerçek projektif uzaya uzanan bir kaplama haritası yoktur; tek (önemsiz olmayan) kaplama haritası, kuaterniyonların kullanımında olduğu gibi 3-küreden alınmıştır .

Bir karşılaştırma yapmak için, her çeviri üç numaraları kullanılarak tarif edilebilir , ve üç dikey eksen boyunca üst üste üç doğrusal hareketlerin sırası olarak, , ve eksen. Aynı rotasyonlar için de geçerlidir: Tüm rotasyonlar üç sayılar kullanılarak tanımlanabilir , ve üç dönme hareketlerinin sonraki dik biridir etrafında üç eksen birbirini olarak. Doğrusal koordinatlar ve açısal koordinatlar arasındaki bu benzerlik, Euler açılarını çok sezgisel hale getirir , ancak maalesef gimbal kilit probleminden muzdariptirler. ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle z}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle Z}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ beta}$ ${\ displaystyle \ gamma}$

Euler açıları ile bir derece serbestlik kaybı

3B uzayda bir döndürme, matrislerle çeşitli şekillerde sayısal olarak temsil edilebilir . Bu temsillerden biri:

{\ displaystyle {\ begin {align} R & = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ cos \ alpha & - \ sin \ alpha \\ 0 & \ sin \ alpha & \ cos \ alpha \ end {bmatrix}} { \ begin {bmatrix} \ cos \ beta & 0 & \ sin \ beta \\ 0 & 1 & 0 \\ - \ sin \ beta & 0 & \ cos \ beta \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ cos \ gamma & - \ sin \ gama & 0 \\\ sin \ gamma & \ cos \ gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ end {hizalı}}}

İncelemeye değer bir örnek ne zaman olur . Bunu bilmek ve yukarıdaki ifade şuna eşit olur: ${\ displaystyle \ beta = {\ tfrac {\ pi} {2}}}$ ${\ displaystyle \ cos {\ tfrac {\ pi} {2}} = 0}$ ${\ displaystyle \ sin {\ tfrac {\ pi} {2}} = 1}$

{\ displaystyle {\ begin {align} R & = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ cos \ alpha & - \ sin \ alpha \\ 0 & \ sin \ alpha & \ cos \ alpha \ end {bmatrix}} { \ begin {bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ cos \ gamma & - \ sin \ gamma & 0 \\\ sin \ gamma & \ cos \ gamma & 0 \\ 0 ve 0 ve 1 \ end {bmatrix}} \ end {hizalı}}}

Gerçekleştirilmesi matris çarpımı :

{\ displaystyle {\ begin {align} R & = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 1 \\\ sin \ alpha & \ cos \ alpha & 0 \\ - \ cos \ alpha & \ sin \ alpha & 0 \ end {bmatrix}} { \ begin {bmatrix} \ cos \ gamma & - \ sin \ gamma & 0 \\\ sin \ gamma & \ cos \ gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} & = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 1 \\\ günah \ alpha \ cos \ gamma + \ cos \ alpha \ sin \ gamma & - \ sin \ alpha \ sin \ gamma + \ cos \ alpha \ cos \ gamma & 0 \\ - \ cos \ alpha \ cos \ gamma + \ sin \ alpha \ sin \ gamma & \ cos \ alpha \ sin \ gamma + \ sin \ alpha \ cos \ gamma & 0 \ end {bmatrix}} \ end {hizalı}}}

Ve son olarak trigonometri formüllerini kullanarak :

{\ displaystyle {\ begin {align} R & = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 1 \\\ sin (\ alpha + \ gamma) & \ cos (\ alpha + \ gamma) & 0 \\ - \ cos (\ alpha + \ gama) & \ sin (\ alpha + \ gamma) & 0 \ end {bmatrix}} \ end {hizalı}}}

Yukarıdaki matrisin ve matrisindeki değerlerin değiştirilmesi aynı etkilere sahiptir: dönüş açısı değişir, ancak dönüş ekseni yönde kalır : matristeki son sütun ve ilk satır değişmez. Farklı roller için tek çözüm ve yeniden kazanmanın yolu değişmektir . ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle \ alpha + \ gamma}$ ${\ displaystyle Z}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle \ beta}$

XYZ konvansiyonunu kullanarak yukarıda bahsedilen Euler açılarıyla döndürülen bir uçağı hayal etmek mümkündür . Bu durumda, ilk açı - adımdır. Yalpalama daha sonra olarak ayarlanır ve son dönüş - by - yine uçağın eğimidir. Gimbal kilidi nedeniyle, serbestlik derecelerinden birini - bu durumda yuvarlanma yeteneğini - kaybetti. ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ pi} {2}}}$ ${\ displaystyle \ gamma}$

Euler açılarını kullanan bir matrisle bir dönüşü temsil etmek için yukarıdaki XYZ kuralından farklı başka bir kural seçmek ve ayrıca açılar için başka varyasyon aralıkları seçmek de mümkündür, ancak sonunda her zaman için bir derecenin olduğu en az bir değer vardır. özgürlük kaybedildi.

Gimbal kilit problemi, Euler açılarını "geçersiz" yapmaz (her zaman iyi tanımlanmış bir koordinat sistemi olarak hizmet ederler), ancak bazı pratik uygulamalar için onları uygunsuz hale getirir.

Alternatif oryantasyon gösterimi

Gimbal kilidinin nedeni, bir oryantasyonu Euler açıları ile üç eksenel dönüş olarak temsil etmektir . Dolayısıyla olası bir çözüm, yönelimi başka bir şekilde temsil etmektir. Bu, bir döndürme matrisi , bir kuaterniyon ( kuaterniyonlara ve uzamsal dönüşe bakın ) veya yönlendirmeyi üç ayrı ve ilişkili değerden ziyade bir değer olarak ele alan benzer bir yönelim gösterimi olabilir. Böyle bir temsil verildiğinde, kullanıcı yönlendirmeyi bir değer olarak kaydeder. Açısal değişiklikleri uygulamak için, yönlendirme bir delta açısı / eksen dönüşü ile değiştirilir. Art arda dönüşümlerden kaynaklanan kayan nokta hatasının birikmesini önlemek için ortaya çıkan yönelim yeniden normalize edilmelidir . Matrisler için, sonucu yeniden normalleştirmek, matrisin en yakın ortonormal temsiline dönüştürülmesini gerektirir . Kuaterniyonlar için yeniden normalleştirme, kuaterniyon normalizasyonu yapılmasını gerektirir .

Ayrıca bakınız

SO'daki grafikler (3)
Uçuş dinamikleri
Grid kuzey (kutup keşiflerinde eşdeğer seyir problemi)
Atalet navigasyon sistemi
Hareket planlama
Kuaterniyonlar ve uzaysal rotasyon

Referanslar

^ Jonathan Strickland (2008). "Gimbal nedir ve NASA ile ne alakası var?" .
^ Adrian Popa (4 Haziran 1998). "Re: Gimbal kilit terimi ile ne kastedilmektedir?" .
^ Chris Verplaetse (1995). "Kalem Tasarımına ve Gezinme Arka Planına Genel Bakış" . 2009-02-14 tarihinde orjinalinden arşivlendi .
^ Chappell, Charles, D. (2006). "Mafsallı gaz taşıyan destek pedleri" . CS1 Maint: birden çok isim: yazar listesi ( bağlantı )
^ David Hoag (1963). "Apollo Kılavuzluk ve Navigasyon - Apollo IMU Gimbal Kilidi ile İlgili Hususlar - MIT Enstrümantasyon Laboratuvarı Dokümanı E-1344" .
^ Eric M. Jones; Paul Fjeld (2006). "Gimbal Angles, Gimbal Lock ve Noel için Dördüncü Gimbal" .
^ ANSI / RIA R15.06-1999

Dış bağlantılar

[1] Jonathan Strickland (2008). "Gimbal nedir ve NASA ile ne alakası var?" .

[2] Adrian Popa (4 Haziran 1998). "Re: Gimbal kilit terimi ile ne kastedilmektedir?" .

[3] Chris Verplaetse (1995). "Kalem Tasarımına ve Gezinme Arka Planına Genel Bakış" . 2009-02-14 tarihinde orjinalinden arşivlendi .

[4] Chappell, Charles, D. (2006). "Mafsallı gaz taşıyan destek pedleri" . CS1 Maint: birden çok isim: yazar listesi ( bağlantı )

[5] David Hoag (1963). "Apollo Kılavuzluk ve Navigasyon - Apollo IMU Gimbal Kilidi ile İlgili Hususlar - MIT Enstrümantasyon Laboratuvarı Dokümanı E-1344" .

[6] Eric M. Jones; Paul Fjeld (2006). "Gimbal Angles, Gimbal Lock ve Noel için Dördüncü Gimbal" .

[7] ANSI / RIA R15.06-1999

Languages

In other projects