Gerçek projektif uzay - Real projective space

Gelen matematik , gerçek yansıtmalı alan ya da RP ^{, n} ya da , bir topolojik uzay kökenli 0 geçen çizgilerin R ^{, n + 1} . Bu, n boyutunda kompakt , düzgün bir manifolddur ve bir Grassmann uzayının Gr (1, R ^{n + 1} ) özel durumudur . ${\displaystyle \mathbb {P} _{n}(\mathbb {R} )}$

Temel özellikler

Yapı

Tüm yansıtmalı alanlarda olduğu gibi, RP ⁿ alınarak oluşturulmuştur bölüm arasında R ^{, n + 1} {0} ∖ altında denklik ilişkisi x ~ λx tüm gerçek sayılar A, ≠ 0 . Tüm için x olarak R ^{, n + 1} ∖ {0} , bir zaman bir bulabilirsiniz X şekilde λx sahip norm  tam olarak iki tür vardır: 1. λ işareti ile farklılık.

Böylece , RP ^{, n} de belirlenmesi ile oluşturulabilir antipot noktaları biriminin N - küre , S ^{, n} de, R ^{, n + 1} .

Bir başka üst yarımküreye kısıtlayabilirsiniz S ⁿ ve sadece sınırlayıcı ekvator üzerinde zıddıdır noktalarını belirlemek. Bu, RP ^n'nin aynı zamanda sınırda antipodal noktaları ∂ D ⁿ = S ^{n −1} ile tanımlanan kapalı n boyutlu diske ( D ⁿ⁾ eşdeğer olduğunu gösterir .

Düşük boyutlu örnekler

RP ¹ , topolojik olarak bir daireye eşdeğer olan gerçek projektif çizgi olarak adlandırılır .

RP ² , gerçek projektif düzlem olarak adlandırılır . Bu alan edilemez gömülü olarak R ³ . Bununla birlikte, gömülebilir R ⁴ olabilir ve daldırılmış olarak R ³ . Projektif n- uzay için gömülebilirlik ve daldırılabilirlik soruları iyi çalışılmıştır.

RP ³ (olup diffeomorphic için) , SO (3) , bu nedenle bir grup yapısını kabul eder; kapsayan harita S ³ → RP ³ grup Spin bir haritasıdır (3) →, SO (3) Spin (3) a, Lie grubu olduğu genel kapak SO (3).

topoloji

İlgili antipot harita n -sphere (gönderen harita x göre - x ) bir oluşturur , Z ₂ grup işlem ile S ^{, n} . Yukarıda bahsedildiği gibi, bu eylem için yörünge alanı RP ^n'dir . Bu işlem aslında bir kaplama alanı veren eylem S ^{, n} bir şekilde çift kapağın bir RP ⁿ . Yana S ⁿ olan basit bağlantılı için n ≥ 2, aynı zamanda olarak hizmet veren evrensel kapak bu durumlarda. Bu izler temel grup ve RP ⁿ olduğu , Z ₂ olduğunda , n > 1 (zaman , n = 1 temel grubudur , Z bağlı olan homeomorfizma için S ¹ ). Temel grubu için jeneratör kapatılır eğri olarak antipodal noktalarını birleştiren bir eğri kullanılarak elde edilen S ^{, n} aşağı RP ⁿ .

Projektif n- uzayı kompakttır, bağlantılıdır ve 2. dereceden döngüsel gruba eşbiçimli bir temel gruba sahiptir: evrensel kaplama alanı , basit bağlantılı bir uzay olan n- küresinden antipodi bölüm haritası tarafından verilir . Çift kapaklıdır. R ^p üzerindeki antipod haritasının işareti vardır , bu nedenle oryantasyonu korur iff p çifttir . Yönlendirme karakter olarak önemsiz olmayan döngü: Bu şekilde olduğu görevini görür , yani yönelimi RP ⁿ yönlendirilebilir IFF olup , n  + 1 olduğunu bile, diğer bir deyişle n garip. ${\görüntüleme stili (-1)^{p}}$${\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {RP} ^{n})}$${\görüntüleme stili (-1)^{n+1}}$

Projektif n- uzayı aslında  iz 1'in tüm simetrik ( n  + 1) × ( n + 1) matrislerinden oluşan R ^{( n + 1) 2'nin} alt manifolduna difeomorfiktir ve bunlar aynı zamanda idempotent lineer dönüşümlerdir.

Gerçek projektif uzayların geometrisi

Gerçek yansıtmalı uzay, standart yuvarlak küre tarafından çift örtüden gelen sabit bir pozitif skaler eğrilik metriğini kabul eder (antipodal harita yerel olarak bir izometridir).

Standart yuvarlak metrik için bu, aynı şekilde 1 kesit eğriliğine sahiptir .

Standart yuvarlak metrikte, yansıtmalı uzayın ölçüsü, kürenin ölçüsünün tam olarak yarısıdır.

Pürüzsüz yapı

Gerçek projektif uzaylar düzgün manifoldlardır . Açık S ^{, n} , homojen koordinatlarla, ( x ₁ ... x _{, n + 1} ), alt kümesini u _ı ile x _i ≠ 0 her u _ı içerisinde iki açık birim topları ayrık birleşimine homeomorphic R ⁿ thap harita RP ^n'nin aynı alt kümesine ve koordinat geçiş fonksiyonları düzgündür. Bu verir RP ⁿ bir düz yapı .

CW kompleksi olarak yapı

Gerçek yansıtmalı uzay RP ⁿ , her boyutta 1 hücreli bir CW kompleksinin yapısını kabul eder .

Homojen koordinatlarla, (içinde X ₁ ... x _{n + 1} üzerine) S ^{, n} , koordinat mahalle U ₁ = {( x ₁ ... x _{n + 1} ) | x ₁ ≠ 0} n -disk D ^n'nin içi ile tanımlanabilir . Zaman x _i = 0, bir yer alır RP ^{n -1} . Bu nedenle , n -1 iskelet RP ⁿ olduğu , RP ^{, n -1} ve bağlayan harita f  : S ^{n -1} → RP ^{n -1} 2-1'e kapsayan haritasıdır. Bir koyabilir

${\displaystyle \mathbf {RP} ^{n}=\mathbf {RP} ^{n-1}\cup _{f}D^{n}.}$

İndüksiyon Şekil olduğu RP ⁿ için her boyutta üzere 1 hücre ile kompleks bir CW n .

Hücrelerdir Schubert hücreleri üzerinde olduğu gibi, bayrak manifoldu . Yani, tam bir bayrak alın (standart bayrağı söyleyin) 0 = V ₀ < V ₁ <...< V _n ; o zaman kapalı k- hücresi V _k içinde uzanan çizgilerdir . Ayrıca açık k (iç -hücre k -hücre) içerisinde hatları V _k  \  V _{K -1} (çizgiler V _k , ancak V _{K -1} ).

Homojen koordinatlarda (bayrağa göre), hücreler

${\displaystyle {\begin{array}{c}[*:0:0:\dots :0]\\{[}*:*:0:\dots :0]\\\vdots \\{[}* :*:*:\noktalar :*].\end{dizi}}}$

Eklenen haritalar 2'ye 1 olduğundan, bu normal bir CW yapısı değildir. Ancak örtüsü, her boyutta 2 hücreli, küre üzerinde düzenli bir CW yapısıdır; gerçekten de, küre üzerindeki minimum düzenli CW yapısı.

Düzgün yapının ışığında, bir Mors fonksiyonunun varlığı RP ^n'nin bir CW kompleksi olduğunu gösterecektir . Böyle bir fonksiyon, homojen koordinatlarda,

${\displaystyle g(x_{1},\ldots ,x_{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}i\cdot |x_{i}|^{2}.}$

Her mahalle üzerinde U _i , g dejenere olmayan kritik noktasına sahiptir (0, ..., 1, ..., 0) 1 ortaya çıkar burada i Morse indeksi ile inci pozisyonda i . Bu, RP ^n'nin her boyutta 1 hücreli bir CW kompleksi olduğunu gösterir .

totolojik demetler

Gerçek yansıtmalı uzayın üzerinde totolojik demet adı verilen doğal bir çizgi demeti vardır . Daha doğrusu, buna totolojik alt demet denir ve ayrıca totolojik bölüm demeti olarak adlandırılan bir çift n -boyutlu demet vardır.

Gerçek projektif uzayların cebirsel topolojisi

Homotopi grupları

Yüksek homotopi grupları RP ⁿ tam olarak yüksek homotopinin gruplarıdır S ^{, n} bir ilişkili Homotopi uzun tam sırası ile, Faybreyşın .

Açıkça, fiber demeti:

${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}.}$

Bunu şu şekilde de yazabilirsiniz

${\displaystyle S^{0}\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}}$

veya

${\displaystyle O(1)\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}}$

karmaşık projektif uzay ile benzetme yoluyla .

Homotopi grupları şunlardır:

${\displaystyle \pi _{i}(\mathbf {RP} ^{n})={\begin{durumlar}0&i=0\\\mathbf {Z} &i=1,n=1\\\mathbf {Z } /2\mathbf {Z} &i=1,n>1\\\pi _{i}(S^{n})&i>1,n>0.\end{durumlar}}}$

homoloji

Yukarıdaki CW yapısıyla ilişkili hücresel zincir kompleksi, her boyutta 0, ..., n'de 1 hücreye sahiptir . Her k boyutu için , sınır haritaları d _k  : δ D ^k → RP ^{k −1} / RP ^{k −2} ekvatoru S ^{k −1} üzerinde daraltan ve ardından karşıt noktaları tanımlayan haritadır. Tek (çift) boyutlarda, bunun derecesi 0'dır (sırasıyla 2):

${\displaystyle \deg(d_{k})=1+(-1)^{k}.}$

Böylece entegre homoloji olduğu

${\displaystyle H_{i}(\mathbf {RP} ^{n})={\begin{vakalar}\mathbf {Z} &i=0{\text{ veya }}i=n{\text{ tek,} }\\\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} &0<i<n,\ i\ {\text{odd,}}\\0&{\text{else.}}\end{durumlar}}}$

Yukarıdaki homoloji hesaplamasının gösterdiği gibi, n tek ise RP ⁿ yönlendirilebilirdir .

Sonsuz gerçek projektif uzay

Sonsuz gerçek yansıtmalı uzay, sonlu yansıtmalı uzayların doğrudan limiti veya birleşimi olarak inşa edilir :

${\displaystyle \mathbf {RP} ^{\infty }:=\lim _{n}\mathbf {RP} ^{n}.}$

Bu uzay, ilk ortogonal grup olan O (1) uzayını sınıflandırır .

Bu uzayın çifte örtüsü , büzülebilir olan sonsuz küredir . Sonsuz yansıtmalı alanı bu nedenle Eilenberg-MacLane alanı K ( Z ₂ , 1). ${\ Displaystyle S^{\infty }}$

Her negatif olmayan q tamsayı için , modulo 2 homoloji grubu . ${\displaystyle H_{q}(\mathbf {RP} ^{\infty };\mathbf {Z}/2)=\mathbf {Z} /2}$

Onun cohomoloji halka modülo 2

${\displaystyle H^{*}(\mathbf {RP} ^{\infty };\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} [w_{1 }],}$

ilk Stiefel–Whitney sınıfı nerede : 1. dereceye sahip serbest cebirdir . ${\görüntüleme stili w_{1}}$${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$${\görüntüleme stili w_{1}}$

Ayrıca bakınız

• Karmaşık projektif uzay
• Kuaterniyonik projektif uzay
• Lens alanı
• Gerçek projektif düzlem

Notlar

Referanslar

• Bredon, Glen . Topoloji ve geometri , Matematikte Lisansüstü Metinleri, Springer Verlag 1993, 1996
• Davis, Donald. "Gerçek yansıtmalı uzayların daldırma ve gömme tablosu" . Erişim tarihi: 22 Eylül 2011 .
• Hatcher, Allen (2001). Cebirsel Topoloji . Cambridge Üniversitesi Yayınları . ISBN'si 978-0-521-79160-1.