Descartes'ın Yaprakları - Folium of Descartes

İn geometrisi , Descartes'ın folium bir bir cebirsel eğri denklemi tarafından tanımlanan

${\displaystyle x^{3}+y^{3}-3axy=0\,}$.

Adı, " yaprak " anlamına gelen Latince folium kelimesinden gelir .

Tarih

Eğri ilk olarak 1638'de René Descartes tarafından önerilmiş ve incelenmiştir . Ün iddiası, kalkülüsün gelişimindeki bir olayda yatmaktadır . Descartes , Fermat yakın zamanda teğet doğruları bulmak için bir yöntem keşfettiğinden, Pierre de Fermat'a rastgele bir noktada eğriye teğet doğruyu bulması için meydan okudu . Fermat sorunu kolayca çözdü, Descartes'ın yapamadığı bir şeydi. Analizin icadından bu yana, teğet doğrunun eğimi, örtük türev kullanılarak kolayca bulunabilir .

Eğrinin grafiklenmesi

Descartes'ın yaprağı kutupsal koordinatlarda şu şekilde ifade edilebilir:

${\displaystyle r={\frac {3a\sin \theta \cos \theta }{\sin ^{3}\theta +\cos ^{3}\theta }},}$

hangi solda çizilir. Bu eşdeğerdir

${\displaystyle r={\frac {3a\sec \theta \tan \theta}} {1+\tan ^{3}\theta }}.}$

Başka bir teknik, için ve cinsinden yazmak ve çözmektir . Bu, rasyonel parametrik denklemleri verir : ${\görüntüleme stili y=px}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili y}$${\görüntüleme stili p}$

${\displaystyle x={{3ap} \over {1+p^{3}}},\,y={{3ap^{2}} \over {1+p^{3}}}}$.

Parametrenin eğri üzerindeki konumla ilgili olduğunu şu şekilde görebiliriz:

• ${\görüntüleme stili p<-1}$karşılık gelir , sağ, "kanat" düşürmek.${\görüntüleme stili x>0}$${\görüntüleme stili y<0}$
• ${\görüntüleme stili -1<p<0}$, : sol üst "kanat"a karşılık gelir .${\görüntüleme stili x<0}$${\görüntüleme stili y>0}$
• ${\görüntüleme stili p>0}$, : eğrinin döngüsüne karşılık gelir .${\görüntüleme stili x>0}$${\görüntüleme stili y>0}$

Fonksiyonu çizmenin başka bir yolu simetriden türetilebilir . Simetri doğrudan denkleminden görülebilir (x ve y değiştirilebilir). Örneğin, 45 ° CW döndürme uygulayarak, döndürülen x ekseni üzerinde simetrik fonksiyon çizilebilir. ${\görüntüleme stili y=x}$

Bu işlem bir ikameye eşdeğerdir:

${\displaystyle x={{u+v} \over {\sqrt {2}}},\,y={{uv} \over {\sqrt {2}}}}$

ve verim

${\displaystyle v=\pm u{\sqrt {\frac {3a{\sqrt {2}}-2u}{6u+3a{\sqrt {2}}}}}}$

Kartezyen sistemindeki çizim, 45° döndürülmüş ve dolayısıyla eksene göre simetrik olan folium verir . ${\görüntüleme stili (u,v)}$${\görüntüleme stili u}$

Özellikler

Orijinde çift ​​nokta ve asimptot ile ilk kadranda bir döngü oluşturur.

${\displaystyle x+y+a=0\,}$.

Çizgiye göre simetriktir . Bu nedenle, ikisi orijinde ve noktada kesişir . ${\görüntüleme stili y=x}$${\görüntüleme stili (3a/2,3a/2)}$

Örtük türev, bu eğriye teğet olan doğrunun eğiminin formülünü verir.

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {ay-x^{2}}{y^{2}-ax}}}$

Yukarıdaki kutupsal gösterimlerden herhangi birini kullanarak, döngünün iç alanı olarak bulunur . Ayrıca, eğrinin "kanatları" ile eğimli asimptotu arasındaki alan da . ${\displaystyle 3a^{2}/2}$${\displaystyle 3a^{2}/2}$

Maclaurin'in trisektrisiyle ilişkisi

Descartes'ın yaprağı, afin dönüşüm yoluyla Maclaurin'in trisektrisiyle ilişkilidir . Bunu görmek için denklemle başlayın

${\displaystyle x^{3}+y^{3}=3axy\,}$,

ve 45 derece döndürülmüş bir koordinat sisteminde denklemi bulmak için değişkenleri değiştirin. Bu ayar tutar

${\displaystyle x={{X+Y} \over {\sqrt {2}}},y={{XY} \over {\sqrt {2}}}.}$

Olarak düzlem denklemidir ${\görüntüleme stili X,Y}$

${\displaystyle 2X(X^{2}+3Y^{2})=3{\sqrt {2}}a(X^{2}-Y^{2})}$.

Biz eğri streç Eğer bir faktör ile yönde olur bu ${\görüntüleme stili Y}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

${\displaystyle 2X(X^{2}+Y^{2})=a{\sqrt {2}}(3X^{2}-Y^{2}),}$

bu, Maclaurin'in trisektrisinin denklemidir.

Notlar

Referanslar

• J. Dennis Lawrence: Özel düzlem eğrileri kataloğu , 1972, Dover Publications. ISBN  0-486-60288-5 , s. 106–108
• George F. Simmons : Calculus Gems: Short Lives and Memorable Mathematics , New York 1992, McGraw-Hill, xiv,355. ISBN  0-07-057566-5 ; yeni baskı 2007, The Mathematical Association of America ( MAA )

Dış bağlantılar

• Weisstein, Eric W. "Descartes'ın Yaprakları" . Matematik Dünyası .
• MacTutor'un Ünlü Eğrileri Endeksi'nde "Descartes'ın Yaprakları"
• MathCurve'de "Kartezyen Folium"